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Pertes et Rendement d’un Transformateur

Pertes et Rendement d’un Transformateur

Pertes et Rendement d’un Transformateur

Comprendre les différentes pertes dans un transformateur réel et savoir calculer son rendement en fonction de la charge.

Un transformateur est un appareil statique qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction électromagnétique, généralement en modifiant les niveaux de tension et de courant. Son fonctionnement n'est pas idéal et il présente des pertes : les pertes fer (ou pertes à vide) et les pertes cuivre (ou pertes en charge, dues à l'effet Joule dans les enroulements).

Pour un transformateur monophasé, on a les relations de base (en négligeant les chutes de tension internes pour simplifier à ce niveau) :

  • Rapport de transformation : \(m = \frac{V_{20}}{V_1} = \frac{N_2}{N_1} \approx \frac{I_1}{I_2}\) (où \(V_{20}\) est la tension secondaire à vide).
  • Puissance apparente nominale : \(S_n = V_{1n} \cdot I_{1n} = V_{2n} \cdot I_{2n}\) (en VA).
  • Pertes fer (\(P_{fer}\)) : constantes quel que soit le niveau de charge, mesurées lors d'un essai à vide.
  • Pertes cuivre (\(P_{Joule}\)) : varient avec le carré du courant de charge. À pleine charge nominale, \(P_{J,n} = R_s \cdot I_{2n}^2\), où \(R_s\) est la résistance totale des enroulements ramenée au secondaire. Pour une charge \(x \cdot S_n\) (où \(x\) est le taux de charge), \(P_{Joule} = x^2 \cdot P_{J,n}\).
  • Puissance utile (ou de sortie) : \(P_u = S \cdot \cos \phi_2\), où \(\cos \phi_2\) est le facteur de puissance de la charge.
  • Puissance absorbée (ou d'entrée) : \(P_a = P_u + P_{fer} + P_{Joule}\).
  • Rendement : \(\eta = \frac{P_u}{P_a}\).

Données du Problème

On étudie un transformateur monophasé dont la plaque signalétique indique :

  • Puissance apparente nominale : \(S_n = 50 \text{ kVA}\)
  • Tension primaire nominale : \(V_{1n} = 20 \text{ kV}\)
  • Tension secondaire à vide : \(V_{20} = 400 \text{ V}\)
  • Essai à vide (sous \(V_{1n}\)) : Pertes fer \(P_{fer} = 200 \text{ W}\)
  • Essai en court-circuit (pour déterminer les pertes cuivre nominales) : Pertes Joule nominales \(P_{J,n} = 800 \text{ W}\) (ces pertes correspondent au courant nominal \(I_{2n}\)).

On considère que le transformateur alimente une charge.

V1n Pa V2 Pu Charge Transformateur Pertes (Fer + Cuivre)
Schéma d'un transformateur monophasé avec ses puissances et pertes.

Questions

  1. Convertir la puissance apparente nominale \(S_n\) du transformateur en Voltampères (VA) et la tension primaire nominale \(V_{1n}\) en Volts (V).
  2. Calculer le courant nominal secondaire \(I_{2n}\) du transformateur.
  3. Le transformateur alimente une charge qui correspond à 75% de sa puissance apparente nominale (\(x=0.75\)). Le facteur de puissance de cette charge est \(\cos\phi_2 = 0.9\) (inductif).
    1. Calculer la puissance apparente \(S_2\) fournie à la charge.
    2. Calculer la puissance active \(P_2\) (ou puissance utile \(P_u\)) fournie à cette charge.
    3. Calculer les pertes cuivre (\(P_{J,charge}\)) pour ce taux de charge.
    4. Calculer les pertes totales (\(P_{pertes}\)) dans le transformateur pour cette charge.
    5. Calculer la puissance active (\(P_1\)) absorbée par le transformateur au primaire.
    6. Calculer le rendement (\(\eta\)) du transformateur pour cette charge.
  4. Déterminer le taux de charge \(x_{opt}\) pour lequel le rendement du transformateur est maximal.
  5. Calculer la puissance utile \(P_{u,opt}\) et le rendement maximal \(\eta_{max}\) pour ce taux de charge optimal (en supposant que la charge reste avec \(\cos\phi_2 = 0.9\)).

Correction : Pertes et Rendement d’un Transformateur

1. Conversion des Unités

\(1 \text{ kVA} = 1000 \text{ VA}\) et \(1 \text{ kV} = 1000 \text{ V}\).

Données :

  • \(S_n = 50 \text{ kVA}\)
  • \(V_{1n} = 20 \text{ kV}\)

Puissance apparente nominale en VA :

\begin{aligned} S_n &= 50 \times 1000 \text{ VA} \\ &= 50000 \text{ VA} \end{aligned}

Tension primaire nominale en V :

\begin{aligned} V_{1n} &= 20 \times 1000 \text{ V} \\ &= 20000 \text{ V} \end{aligned}

\(S_n = 50000 \text{ VA}\)

\(V_{1n} = 20000 \text{ V}\)

2. Calcul du Courant Nominal Secondaire (\(I_{2n}\))

On utilise \(S_n = V_{20} \cdot I_{2n}\) (en approximant la tension nominale secondaire \(V_{2n}\) par la tension secondaire à vide \(V_{20}\)).

Données :

  • \(S_n = 50000 \text{ VA}\)
  • \(V_{20} = 400 \text{ V}\)
\begin{aligned} I_{2n} &= \frac{S_n}{V_{20}} \\ &= \frac{50000 \text{ VA}}{400 \text{ V}} \\ &= 125 \text{ A} \end{aligned}

Le courant nominal secondaire est \(I_{2n} = 125 \text{ A}\).

Quiz Intermédiaire

Question : La puissance apparente nominale \(S_n\) d'un transformateur représente :

3. Transformateur à 75% de Charge (\(x=0.75\)), \(\cos\phi_2 = 0.9\)

a. Puissance Apparente \(S_2\) Fournie à la Charge

\(S_2 = x \cdot S_n\).

Données :

  • \(x = 0.75\)
  • \(S_n = 50000 \text{ VA}\)
\begin{aligned} S_2 &= 0.75 \times 50000 \text{ VA} \\ &= 37500 \text{ VA} = 37.5 \text{ kVA} \end{aligned}

La puissance apparente fournie à la charge est \(S_2 = 37500 \text{ VA}\).

b. Puissance Active \(P_2\) (Utile \(P_u\)) Fournie à la Charge

\(P_2 = S_2 \cdot \cos\phi_2\).

Données :

  • \(S_2 = 37500 \text{ VA}\)
  • \(\cos\phi_2 = 0.9\)
\begin{aligned} P_2 &= 37500 \text{ VA} \times 0.9 \\ &= 33750 \text{ W} = 33.75 \text{ kW} \end{aligned}

La puissance active fournie à la charge est \(P_2 = 33750 \text{ W}\).

c. Pertes Cuivre (\(P_{J,charge}\))

\(P_{J,charge} = x^2 \cdot P_{J,n}\).

Données :

  • \(x = 0.75\)
  • \(P_{J,n} = 800 \text{ W}\)
\begin{aligned} P_{J,charge} &= (0.75)^2 \times 800 \text{ W} \\ &= 0.5625 \times 800 \text{ W} \\ &= 450 \text{ W} \end{aligned}

Les pertes cuivre pour cette charge sont \(P_{J,charge} = 450 \text{ W}\).

d. Pertes Totales (\(P_{pertes}\))

\(P_{pertes} = P_{fer} + P_{J,charge}\).

Données :

  • \(P_{fer} = 200 \text{ W}\)
  • \(P_{J,charge} = 450 \text{ W}\)
\begin{aligned} P_{pertes} &= 200 \text{ W} + 450 \text{ W} \\ &= 650 \text{ W} \end{aligned}

Les pertes totales pour cette charge sont \(P_{pertes} = 650 \text{ W}\).

e. Puissance Active (\(P_1\)) Absorbée au Primaire

\(P_1 = P_2 + P_{pertes}\).

Données :

  • \(P_2 = 33750 \text{ W}\)
  • \(P_{pertes} = 650 \text{ W}\)
\begin{aligned} P_1 &= 33750 \text{ W} + 650 \text{ W} \\ &= 34400 \text{ W} \end{aligned}

La puissance active absorbée au primaire est \(P_1 = 34400 \text{ W}\).

f. Rendement (\(\eta\)) pour cette Charge

\(\eta = P_2 / P_1\).

\begin{aligned} \eta &= \frac{33750 \text{ W}}{34400 \text{ W}} \\ &\approx 0.981104... \end{aligned}
\[ \eta \approx 98.11 \% \]

Le rendement du transformateur pour cette charge est \(\eta \approx 98.11 \%\).

Quiz Intermédiaire

Question : Lesquelles de ces pertes dans un transformateur sont considérées comme variables avec la charge ?

4. Taux de Charge (\(x_{opt}\)) pour Rendement Maximal

Le rendement est maximal lorsque les pertes cuivre sont égales aux pertes fer : \(P_{J,charge} = P_{fer}\). Sachant que \(P_{J,charge} = x^2 \cdot P_{J,n}\), on a \(x_{opt}^2 \cdot P_{J,n} = P_{fer}\).

Données :

  • \(P_{fer} = 200 \text{ W}\)
  • \(P_{J,n} = 800 \text{ W}\)
\begin{aligned} x_{opt}^2 \cdot P_{J,n} &= P_{fer} \\ x_{opt}^2 &= \frac{P_{fer}}{P_{J,n}} \\ x_{opt} &= \sqrt{\frac{P_{fer}}{P_{J,n}}} \\ x_{opt} &= \sqrt{\frac{200 \text{ W}}{800 \text{ W}}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{0.25} \\ &= 0.5 \end{aligned}

Le taux de charge pour un rendement maximal est \(x_{opt} = 0.5\) (soit 50% de la charge nominale).

5. Puissance Utile (\(P_{u,opt}\)) et Rendement Maximal (\(\eta_{max}\))

Pour \(x_{opt} = 0.5\) et \(\cos\phi_2 = 0.9\). Puissance apparente fournie : \(S_{opt} = x_{opt} \cdot S_n\). Puissance utile : \(P_{u,opt} = S_{opt} \cdot \cos\phi_2\). Pertes cuivre à ce taux de charge : \(P_{J,opt} = x_{opt}^2 \cdot P_{J,n} = P_{fer}\). Puissance absorbée : \(P_{a,opt} = P_{u,opt} + P_{fer} + P_{J,opt}\). Rendement maximal : \(\eta_{max} = P_{u,opt} / P_{a,opt}\).

Puissance apparente à charge optimale :

\begin{aligned} S_{opt} &= 0.5 \times 50000 \text{ VA} \\ &= 25000 \text{ VA} \end{aligned}

Puissance utile à charge optimale :

\begin{aligned} P_{u,opt} &= 25000 \text{ VA} \times 0.9 \\ &= 22500 \text{ W} \end{aligned}

Pertes cuivre à charge optimale (égales aux pertes fer) :

\[ P_{J,opt} = P_{fer} = 200 \text{ W} \]

Puissance absorbée à charge optimale :

\begin{aligned} P_{a,opt} &= P_{u,opt} + P_{fer} + P_{J,opt} \\ &= 22500 \text{ W} + 200 \text{ W} + 200 \text{ W} \\ &= 22900 \text{ W} \end{aligned}

Rendement maximal :

\begin{aligned} \eta_{max} &= \frac{P_{u,opt}}{P_{a,opt}} \\ &= \frac{22500 \text{ W}}{22900 \text{ W}} \\ &\approx 0.98253... \end{aligned}
\[ \eta_{max} \approx 98.25 \% \]

La puissance utile pour le rendement maximal est \(P_{u,opt} = 22500 \text{ W}\).

Le rendement maximal est \(\eta_{max} \approx 98.25 \%\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Les pertes fer dans un transformateur dépendent principalement :

Question 2 : Si le taux de charge d'un transformateur est de 0.5 (50%), les pertes cuivre sont :

Question 3 : Le rendement d'un transformateur est maximal lorsque :

Question 4 : Un transformateur a une puissance utile de 900 W et une puissance absorbée de 1000 W. Son rendement est de :

Glossaire des Termes Clés

Transformateur :

Appareil électrique statique qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction mutuelle, généralement avec un changement de tension et de courant.

Pertes Fer (\(P_{fer}\)) :

Pertes d'énergie dans le noyau magnétique dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault. Elles sont quasi constantes quelle que soit la charge.

Pertes Cuivre (\(P_J\)) :

Pertes par effet Joule dans la résistance des enroulements. Elles varient avec le carré du courant de charge.

Puissance Apparente (\(S\)) :

Produit de la tension efficace par le courant efficace. Unité : Voltampère (VA).

Puissance Active (\(P\)) :

Puissance réellement transformée en travail ou en chaleur. Unité : Watt (W).

Facteur de Puissance (\(\cos\phi\)) :

Rapport entre la puissance active et la puissance apparente.

Rendement (\(\eta\)) :

Rapport entre la puissance utile (fournie à la charge) et la puissance absorbée (par le primaire).

Taux de Charge (\(x\)) :

Rapport entre la puissance apparente demandée par la charge et la puissance apparente nominale du transformateur.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi le rendement d'un transformateur n'est-il jamais de 100% ?

2. Comment le facteur de puissance de la charge affecte-t-il le courant tiré au secondaire pour une même puissance active demandée ? Et par conséquent, comment affecte-t-il les pertes cuivre ?

3. Les transformateurs de distribution électrique sont souvent conçus pour avoir un rendement maximal à un taux de charge inférieur à 100% (par exemple, 50% à 75%). Pourquoi cette stratégie de conception ?

4. Comment les essais à vide et en court-circuit permettent-ils de déterminer expérimentalement les pertes fer et les pertes cuivre nominales d'un transformateur ?

5. Quels sont les moyens mis en œuvre pour réduire les pertes fer et les pertes cuivre dans la conception des transformateurs modernes ?

Pertes et Rendement d’un Transformateur

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