Conception et Analyse d’un Alternateur Triphasé
Contexte : L'alternateurAussi appelé générateur synchrone, c'est une machine électrique qui convertit l'énergie mécanique en énergie électrique sous forme de courant alternatif. est le cœur de la production d'électricité.
Les alternateurs sont des machines tournantes essentielles que l'on retrouve dans toutes les centrales électriques (nucléaires, thermiques, hydrauliques). Comprendre leur fonctionnement et savoir modéliser leur comportement en charge est fondamental pour tout ingénieur en électrotechnique. Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés de l'analyse d'un alternateur à partir d'essais standards en laboratoire.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser le modèle équivalent de Behn-Eschenburg pour prédire la performance d'une machine synchrone, une compétence indispensable pour le dimensionnement et l'analyse des réseaux électriques.
Objectifs Pédagogiques
- Déterminer la vitesse de synchronisme d'un alternateur.
- Calculer l'impédance synchroneL'opposition totale (résistance + réactance) qu'un alternateur présente au passage du courant alternatif. à partir des essais à vide et en court-circuit.
- Modéliser la chute de tension en charge pour un facteur de puissance donné.
- Construire le diagramme vectoriel de Behn-Eschenburg pour visualiser le comportement de l'alternateur.
Données de l'étude
Schéma de Principe d'un Alternateur
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Puissance apparente nominale | \(S_n\) | 250 kVA |
| Tension nominale entre phases | \(U_n\) | 400 V |
| Fréquence nominale | \(f\) | 50 Hz |
| Nombre de paires de pôles | \(p\) | 3 |
| Résistance d'un enroulement statorique | \(R_s\) | négligeable |
Résultats des Essais
| Essai réalisé | Condition | Mesure |
|---|---|---|
| Essai à vide | \(I_e = 5 \text{ A}\) (courant d'excitation) | \(U_{v0} = 400 \text{ V}\) (tension à vide entre phases) |
| Essai en court-circuit | \(I_e = 5 \text{ A}\) (même courant d'excitation) | \(I_{cc} = 450 \text{ A}\) (courant de ligne) |
Questions à traiter
- Calculer la vitesse de rotation du rotor pour obtenir la fréquence nominale de 50 Hz.
- Déterminer l'impédance synchrone \(Z_s\) et la réactance synchrone \(X_s\) par phase de l'alternateur.
- L'alternateur débite son courant nominal \(I_n\) dans une charge purement inductive. Quelle est la valeur de la force électromotrice (f.é.m.) \(E_v\) par phase ?
- En déduire la tension simple \(V\) aux bornes d'une phase et la chute de tension \(\Delta V\).
- Tracer le diagramme de Behn-Eschenburg correspondant à ce point de fonctionnement.
Les bases sur l'Alternateur Synchrone
Un alternateur synchrone fonctionne sur le principe de l'induction électromagnétique de Faraday. Un champ magnétique tournant, créé par le rotor (inducteur), induit une tension alternative triphasée dans les enroulements fixes du stator (induit). La vitesse du rotor doit être rigoureusement synchronisée avec la fréquence du réseau.
1. Vitesse de Synchronisme (\(N_s\))
La vitesse de rotation du champ magnétique est directement liée à la fréquence \(f\) du courant et au nombre de paires de pôles \(p\) de la machine.
\[ N_s = \frac{60 \cdot f}{p} \]
Avec \(N_s\) en tours par minute (tr/min), \(f\) en Hertz (Hz).
2. Modèle Équivalent par Phase (Behn-Eschenburg)
Pour une phase, l'alternateur est modélisé comme une source de tension parfaite \(E_v\) (la f.é.m. induite à vide) en série avec son impédance synchrone \(Z_s\). \(Z_s\) se compose d'une résistance \(R_s\) et d'une réactance synchrone \(X_s\). La tension \(V\) aux bornes de la machine en charge est donnée par la loi d'Ohm vectorielle :
\[ \vec{E_v} = \vec{V} + (R_s + jX_s)\vec{I} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{E_v} = \vec{V} + Z_s \vec{I} \]
Correction : Conception et Analyse d’un Alternateur Triphasé
Question 1 : Calculer la vitesse de rotation du rotor.
Principe
La fréquence de la tension générée par un alternateur est directement proportionnelle à sa vitesse de rotation et au nombre de "pôles magnétiques" de son rotor. Pour produire une tension à la fréquence standard du réseau (50 Hz en Europe), la machine doit tourner à une vitesse très précise, appelée "vitesse de synchronisme".
Mini-Cours
Le champ magnétique du rotor, en tournant, "balaie" les enroulements du stator. À chaque fois qu'une paire de pôles (un Nord et un Sud) passe devant un enroulement, un cycle complet de tension (une sinusoïde) est créé. Ainsi, pour obtenir 50 cycles par seconde (50 Hz), la vitesse mécanique doit être parfaitement synchronisée avec cette exigence électrique.
Remarque Pédagogique
C'est le calcul le plus fondamental pour une machine synchrone. Il faut bien comprendre que si la vitesse n'est pas exactement celle-ci, la fréquence sera incorrecte et l'alternateur ne pourra pas être connecté au réseau électrique.
Normes
La fréquence des réseaux électriques est une norme internationale. Elle est de 50 Hz dans la plupart des pays d'Europe, d'Afrique et d'Asie, et de 60 Hz en Amérique du Nord. Toutes les machines de production doivent respecter cette contrainte avec une très grande précision.
Formule(s)
Formule de la Vitesse de Synchronisme
Hypothèses
Pour ce calcul, on suppose que l'on veut atteindre la fréquence nominale exacte, sans aucune fluctuation.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence nominale | \(f\) | 50 | Hz |
| Nombre de paires de pôles | \(p\) | 3 | - |
Astuces
Un bon repère à mémoriser : pour une machine à 1 paire de pôles (2 pôles), la vitesse de synchronisme à 50 Hz est de 3000 tr/min. Pour 2 paires, c'est la moitié (1500 tr/min), pour 3 paires, le tiers (1000 tr/min), etc.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Vitesse-Pôles-Fréquence
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Vitesse de Synchronisme Résultante
Réflexions
Ce résultat signifie que le moteur (turbine, diesel...) qui entraîne l'alternateur doit être régulé pour tourner précisément à 1000 tours par minute pour que l'électricité produite soit compatible avec le réseau.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de confondre le nombre de pôles et le nombre de paires de pôles. L'énoncé donne \(p=3\) paires de pôles, soit 6 pôles au total. La formule utilise bien le nombre de paires de pôles.
Points à retenir
La maîtrise de la formule de synchronisme est essentielle. Elle lie directement une caractéristique mécanique (vitesse) à une caractéristique électrique (fréquence) via la construction de la machine (pôles).
Le saviez-vous ?
Les alternateurs des centrales nucléaires ont des rotors massifs et tournent lentement (1500 tr/min), ils ont donc 2 paires de pôles. Les alternateurs de centrales thermiques plus petites peuvent tourner à 3000 tr/min et n'ont qu'une seule paire de pôles.
FAQ
Le facteur 60 sert à convertir la fréquence, qui est en Hertz (cycles par seconde), en une vitesse de rotation qui est en tours par minute.Pourquoi y a-t-il un "60" dans la formule ?
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse de rotation de cette machine si elle devait être connectée au réseau américain (60 Hz) ?
Question 2 : Déterminer l'impédance \(Z_s\) et la réactance \(X_s\) synchrones.
Principe
L'impédance synchrone est une modélisation de la chute de tension interne de l'alternateur. On la détermine en combinant deux essais simples : l'essai à vide, qui nous donne la "force" de la machine (sa f.é.m.), et l'essai en court-circuit, qui nous révèle sa réaction face à un courant élevé.
Mini-Cours
L'essai à vide (stator ouvert) permet de tracer la caractéristique à vide \(E_v = f(I_e)\). L'essai en court-circuit (stator en court-circuit) donne la caractéristique \(I_{cc} = g(I_e)\). En choisissant un point de fonctionnement dans la zone linéaire de ces courbes (pour un même \(I_e\)), on peut considérer que toute la f.é.m. \(E_v\) est "consommée" par l'impédance interne \(Z_s\) pour faire circuler le courant \(I_{cc}\).
Remarque Pédagogique
Cette méthode est une approximation puissante et universellement utilisée. Elle permet de prédire le comportement de la machine en charge sans avoir besoin de la tester à pleine puissance, ce qui est souvent impossible en laboratoire.
Normes
Les procédures pour réaliser les essais à vide et en court-circuit sur les machines tournantes sont standardisées, par exemple par la norme internationale IEC 60034.
Formule(s)
Définition de l'Impédance Synchrone
Relation Impédance - Réactance (avec \(R_s \approx 0\))
Hypothèses
On fait l'hypothèse que le circuit magnétique de la machine n'est pas saturé. C'est pourquoi on utilise un point de fonctionnement où les caractéristiques sont encore des droites. On néglige également la résistance des enroulements du stator, comme indiqué dans l'énoncé.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension à vide (entre phases) | \(U_{\text{v0}}\) | 400 | V |
| Courant de court-circuit (de ligne) | \(I_{\text{cc}}\) | 450 | A |
Astuces
Dans la quasi-totalité des machines synchrones de moyenne et grande puissance, la réactance \(X_s\) est au moins 10 fois plus grande que la résistance \(R_s\). L'hypothèse de négliger \(R_s\) est donc tout à fait justifiée pour simplifier les calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Modèle Équivalent de Behn-Eschenburg (par phase)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la tension simple à vide \(V_{\text{v0}}\)
Étape 2 : Calcul de l'impédance synchrone \(Z_s\)
Étape 3 : Détermination de la réactance synchrone \(X_s\)
Schéma (Après les calculs)
Modèle de Behn-Eschenburg avec valeur calculée
Réflexions
La valeur de \(X_s\) représente l'opposition de l'alternateur au passage du courant alternatif, principalement due à la réaction d'induit (le champ magnétique créé par le stator qui s'oppose à celui du rotor). Une valeur faible indique une machine "rigide" avec une faible chute de tension, tandis qu'une valeur élevée indique une machine "molle".
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir la tension à vide composée (\(U_{\text{v0}}\)) en tension simple (\(V_{\text{v0}}\)) avant de calculer l'impédance. Le modèle de Behn-Eschenburg est un modèle par phase.
Points à retenir
La méthode est clé : \(Z_s = V_{\text{simple à vide}} / I_{\text{court-circuit}}\) pour un même courant inducteur. C'est la base de la modélisation de la machine synchrone.
Le saviez-vous ?
L'impédance synchrone n'est pas constante. Elle diminue lorsque la machine sature (pour des courants d'excitation élevés). Le modèle de Behn-Eschenburg est donc surtout précis pour des fonctionnements à faible charge.
FAQ
Parce que le courant d'excitation fixe la f.é.m. (\(E_v\)) interne de la machine. Utiliser le même \(I_e\) garantit que la f.é.m. qui génère la tension à vide est la même que celle qui génère le courant de court-circuit.Pourquoi utilise-t-on le même courant d'excitation \(I_e\) ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si une mesure plus précise donnait une résistance \(R_s = 0.05 \, \Omega\), quelle serait la nouvelle valeur de la réactance \(X_s\) ?
Question 3 : Calculer la f.é.m. \(E_v\) pour une charge inductive nominale.
Principe
La force électromotrice (\(E_v\)) est la tension "interne" générée par l'alternateur grâce à la rotation. Lorsqu'on connecte une charge, une partie de cette tension est "perdue" à travers l'impédance synchrone. Le but est de calculer la tension interne nécessaire pour qu'il reste exactement la tension nominale aux bornes de la charge.
Mini-Cours
L'équation de Behn-Eschenburg \(\vec{E_v} = \vec{V} + jX_s\vec{I}\) est une somme de vecteurs. Le déphasage entre la tension \(\vec{V}\) et le courant \(\vec{I}\) est crucial. Pour une charge purement inductive (comme un gros moteur à l'arrêt), le courant est en retard de 90° sur la tension. Cette relation de phase a un impact direct sur la façon dont les tensions s'additionnent.
Remarque Pédagogique
Visualisez-le comme une "lutte" : la f.é.m. \(E_v\) "pousse" pour maintenir la tension, tandis que la chute de tension \(jX_s\vec{I}\) "tire" contre elle. Pour une charge inductive, ces deux forces sont dans la même direction, leur effet est donc maximal, ce qui exige une f.é.m. élevée.
Formule(s)
Équation vectorielle de Behn-Eschenburg
Formule simplifiée pour charge purement inductive
Hypothèses
On continue de négliger la résistance \(R_s\). On considère que l'alternateur fonctionne à son régime nominal (tension et courant nominaux) et que la charge est parfaitement inductive (\(\cos \phi = 0\)).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance Apparente | \(S_{\text{n}}\) | 250,000 | VA |
| Tension Composée | \(U_{\text{n}}\) | 400 | V |
| Réactance Synchrone | \(X_s\) | 0.513 | \(\Omega\) |
Schéma (Avant les calculs)
Disposition attendue des vecteurs
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du courant nominal par phase \(I_{\text{n}}\)
Étape 2 : Calcul de la tension simple nominale \(V_{\text{n}}\)
Étape 3 : Calcul de la f.é.m. \(E_v\)
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Behn-Eschenburg (Charge Inductive Pure)
Réflexions
Pour fournir 231 V à la charge, la machine doit générer en interne 416 V ! Cela montre l'impact très important de la réaction d'induit pour une charge inductive. L'alternateur doit être fortement excité (courant \(I_e\) élevé) pour atteindre cette f.é.m.
Points de vigilance
Ne pas utiliser l'addition arithmétique simple pour d'autres types de charge. Si la charge avait été résistive ou capacitive, il aurait fallu faire une composition vectorielle (type Pythagore), ce qui aurait donné un résultat différent et inférieur.
Points à retenir
La f.é.m. interne \(E_v\) n'est pas une constante ; elle dépend du point de fonctionnement (courant de charge \(I\) et déphasage \(\phi\)). C'est la tension que l'on aurait à vide si l'on gardait le même courant d'excitation que celui nécessaire en charge.
Le saviez-vous ?
Les grands réseaux électriques sont majoritairement inductifs. Pour compenser cet effet et limiter les chutes de tension, les producteurs d'électricité utilisent d'énormes bancs de condensateurs qui fournissent de la puissance réactive "capacitive".
FAQ
Le 'j' représente le déphasage de +90° introduit par une inductance pure. La tension aux bornes d'une inductance est toujours en avance de 90° sur le courant qui la traverse. C'est un opérateur mathématique pour gérer les vecteurs dans le plan complexe.Pourquoi le terme est \(jX_s\vec{I}\) et non juste \(X_s\vec{I}\) ?
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez \(E_v\) si la charge était purement résistive (\(I_n=360.84 \text{ A}\), \(V_n=230.94 \text{ V}\)). (Indice : Pythagore)
Question 4 : En déduire la tension simple \(V\) et la chute de tension \(\Delta V\).
Principe
La tension simple \(V\) est la tension qui existe réellement aux bornes de chaque phase de l'alternateur lorsqu'il est en charge. La chute de tension \(\Delta V\) est la "perte" de tension entre ce que la machine génère en interne (\(E_v\)) et ce qu'elle délivre réellement (\(V\)). C'est un indicateur clé de la performance de la régulation de tension.
Mini-Cours
La chute de tension \(\Delta V\) ne doit pas être confondue avec la "régulation de tension", qui est une valeur en pourcentage : \(\%Reg = \frac{E_v - V}{V} \times 100\). La chute de tension est une valeur absolue en Volts, tandis que la régulation est une valeur relative qui permet de comparer des machines de tailles différentes.
Remarque Pédagogique
Comprendre la chute de tension est crucial. Imaginez que vous voulez alimenter une usine avec une tension de 400 V. Si votre alternateur a une forte chute de tension, vous pourriez n'avoir que 350 V à l'arrivée, ce qui pourrait endommager les équipements. Il faut donc être capable de la calculer pour la compenser.
Formule(s)
Calcul de la tension simple
Calcul de la chute de tension
Hypothèses
On se place dans le cas de fonctionnement nominal défini par l'énoncé. La tension aux bornes est donc la tension nominale.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension Composée Nominale | \(U_{\text{n}}\) | 400 | V |
| F.é.m. calculée en charge | \(E_v\) | 416.05 | V |
Schéma (Avant les calculs)
Illustration de la Chute de Tension
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la tension simple \(V\)
Étape 2 : Calcul de la chute de tension \(\Delta V\)
Schéma (Après les calculs)
Chute de Tension avec Valeurs
Réflexions
Une chute de tension de 185 V sur une tension de 231 V est énorme ! C'est une chute de près de 80%. Cela confirme que les charges purement inductives sont le pire cas pour la régulation de tension d'un alternateur. Dans la réalité, on évite de fonctionner dans de telles conditions.
Points de vigilance
Attention à ne pas faire une soustraction vectorielle. La chute de tension est conventionnellement définie comme la différence des modules, c'est une mesure de l'amplitude de la variation de tension.
Points à retenir
La chute de tension dépend fortement de la nature (inductive, capacitive, résistive) de la charge. Pour un même courant, une charge inductive crée une forte chute, une charge résistive une chute modérée, et une charge capacitive peut même créer une "chute" négative (une élévation de tension !).
Le saviez-vous ?
Ce phénomène d'élévation de tension avec une charge capacitive est appelé "Effet Ferranti". Il peut se produire sur de très longues lignes à haute tension à vide ou à faible charge, car la ligne elle-même se comporte comme un condensateur.
FAQ
Pas directement. La chute de tension est principalement due à des effets magnétiques (réactance). Elle ne dissipe pas de chaleur comme le ferait une résistance. Cependant, pour la compenser, il faut augmenter le courant d'excitation, ce qui augmente les pertes par effet Joule dans le rotor.Cette chute de tension est-elle une perte d'énergie ?
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la régulation de tension en pourcentage (%) pour ce point de fonctionnement ? (\(\%Reg = \frac{\Delta V}{V} \times 100\))
Question 5 : Tracer le diagramme de Behn-Eschenburg.
Principe
Le diagramme de Behn-Eschenburg est la traduction graphique de l'équation vectorielle de l'alternateur. Il permet de "voir" les relations entre les différentes grandeurs électriques (tensions, courant) et de comprendre intuitivement l'effet du déphasage de la charge.
Mini-Cours
La construction est une "chaîne" de vecteurs.
- On trace le vecteur \(\vec{V}\), souvent pris comme référence sur l'axe horizontal.
- On trace le vecteur \(\vec{I}\), déphasé de l'angle \(\phi\) par rapport à \(\vec{V}\) (en arrière pour une charge inductive).
- On construit le vecteur de la chute de tension \(\vec{U_s} = jX_s\vec{I}\). Ce vecteur est toujours en avance de 90° sur le vecteur \(\vec{I}\).
- On additionne bout à bout \(\vec{V}\) et \(\vec{U_s}\) pour trouver le vecteur \(\vec{E_v}\).
Remarque Pédagogique
Faire ce diagramme à l'échelle sur du papier millimétré est un excellent exercice pour s'approprier les relations vectorielles. Cela transforme une équation abstraite en une construction géométrique concrète.
Formule(s)
Équation vectorielle à tracer
Hypothèses
Le modèle de Behn-Eschenburg avec résistance nulle est utilisé. Les valeurs de tension et de courant sont des valeurs efficaces.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité / Angle |
|---|---|---|---|
| Tension simple | \(V\) | 230.94 | V (Phase 0°) |
| Courant nominal | \(I_{\text{n}}\) | 360.84 | A |
| Déphasage tension-courant | \(\phi\) | -90 | degrés |
| Module chute de tension | \(X_s I_{\text{n}}\) | 185.11 | V |
Schéma (Avant les calculs)
Base de construction du diagramme
Calcul(s)
Il n'y a pas de nouveaux calculs, il s'agit d'une construction graphique basée sur les résultats précédents.
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Behn-Eschenburg (Charge Inductive Pure)
Réflexions
Le diagramme est plat : tous les vecteurs de tension sont alignés. C'est un cas particulier qui simplifie les calculs mais illustre parfaitement pourquoi la f.é.m. doit être maximale pour ce type de charge. L'angle \(\delta\) entre \(\vec{V}\) et \(\vec{E_v}\) est nul ici, ce qui n'est pas le cas pour d'autres charges.
Points de vigilance
L'erreur classique est de mal orienter le vecteur \(jX_s\vec{I}\). Il faut se souvenir qu'il est toujours en avance de 90° sur \(\vec{I}\). Si \(\vec{I}\) est à -90°, \(jX_s\vec{I}\) sera à -90° + 90° = 0°, donc aligné avec \(\vec{V}\).
Points à retenir
Le diagramme de Behn-Eschenburg est un outil visuel puissant. Sa forme change radicalement avec le facteur de puissance de la charge, illustrant l'influence de ce dernier sur la régulation de tension de l'alternateur.
Le saviez-vous ?
L'angle \(\delta\) entre le vecteur de la tension \(\vec{V}\) et celui de la f.é.m. \(\vec{E_v}\) s'appelle "l'angle interne" ou "angle de puissance". La puissance active fournie par l'alternateur est directement proportionnelle au sinus de cet angle.
FAQ
Pour une charge purement capacitive, le courant \(\vec{I}\) serait en avance de 90° sur \(\vec{V}\) (vers le haut). Le vecteur \(jX_s\vec{I}\) serait alors orienté à 180° par rapport à \(\vec{V}\). Dans ce cas, on aurait \(E_v = V - X_s I_{\text{n}}\), et la tension en charge \(V\) serait supérieure à la f.é.m. \(E_v\) !Et si la charge était capacitive ?
Résultat Final
A vous de jouer
Sur une feuille, esquissez rapidement le diagramme pour une charge purement résistive (\(\phi=0°\)). Comment les vecteurs \(\vec{V}\), \(jX_s\vec{I}\) et \(\vec{E_v}\) sont-ils positionnés les uns par rapport aux autres ?
Outil Interactif : Simulateur de Chute de Tension
Utilisez cet outil pour simuler l'impact du courant de charge et du facteur de puissance sur la tension aux bornes de l'alternateur, pour une f.é.m. à vide (\(E_v\)) constante.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente le nombre de paires de pôles d'un alternateur, que doit-on faire de sa vitesse de rotation pour maintenir la même fréquence ?
2. L'essai en court-circuit à vitesse nominale permet de déterminer :
3. Dans le modèle de Behn-Eschenburg, la réactance synchrone \(X_s\) modélise principalement :
4. Pour une même valeur de courant débité, quel type de charge provoque la plus grande chute de tension ?
5. Si la tension aux bornes d'un alternateur augmente lorsque l'on connecte une charge, cette charge est probablement :
- Alternateur
- Machine électrique synchrone convertissant une énergie mécanique en énergie électrique à courant alternatif.
- Réactance Synchrone (\(X_s\))
- Paramètre modélisant l'effet de la réaction magnétique d'induit et des inductances de fuite. C'est la principale cause de la chute de tension interne.
- Diagramme de Behn-Eschenburg
- Représentation vectorielle qui relie la f.é.m. à vide (\(E_v\)), la tension aux bornes (\(V\)) et la chute de tension interne (\(Z_s I\)) dans un alternateur.
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