Calcul de la concentration d'électrons libres

Dans le domaine de l’électronique des semi-conducteurs, la concentration d’électrons libres est une mesure essentielle qui influence les propriétés de conduction d’un matériau. Cette concentration peut varier en fonction de la température et de la quantité de dopage du matériau. Pour cet exercice, nous considérerons un semi-conducteur de type N, où le dopage est réalisé avec du phosphore pour améliorer la conductivité électrique.

Données Fournies

Type de semi-conducteur : Silicium (Si)
Densité atomique du silicium (Si) : \(N_{Si} \approx 5 \times 10^{22} \, \text{atomes/cm}^3\) (Information non directement utile pour ce calcul)
Concentration de dopant (phosphore, P) : \(N_D = 1 \times 10^{16} \, \text{atomes/cm}^3\)
Température du semi-conducteur : \(T = 300 \, \text{K}\) (température ambiante)
Produit de la concentration des porteurs de charge à l’équilibre pour le silicium à 300 K : \(n_i^2 = 2.25 \times 10^{20} \, \text{cm}^{-6}\) (où \(n_i\) est la concentration intrinsèque)

Question

Calculer la concentration d’électrons libres (\(n\)) dans ce semi-conducteur de type N à la température donnée. Utilisez les données fournies et considérez que tous les atomes de phosphore donnent un électron libre (ionisation complète).

Correction : Calcul de la concentration d’électrons libres

1. Compréhension du Dopage de Type N

Un semi-conducteur de type N est créé en introduisant des impuretés donneuses (comme le phosphore, P, qui a 5 électrons de valence) dans un semi-conducteur intrinsèque (comme le silicium, Si, qui a 4 électrons de valence). Chaque atome de phosphore remplace un atome de silicium dans le réseau cristallin. Quatre de ses électrons de valence forment des liaisons covalentes avec les atomes de silicium voisins. Le cinquième électron est faiblement lié et peut facilement devenir un électron libre dans la bande de conduction, même à température ambiante.

On suppose une ionisation complète, ce qui signifie que chaque atome dopant donneur (\(N_D\)) contribue à un électron libre. Dans un semi-conducteur de type N, les électrons sont les porteurs majoritaires. La concentration d'électrons libres (\(n\)) est donc principalement déterminée par la concentration des atomes donneurs (\(N_D\)).

2. Calcul de la Concentration d'Électrons Libres (\(n\))

À température ambiante (300 K) et pour des niveaux de dopage modérés (comme \(10^{16} \, \text{atomes/cm}^3\), qui est bien inférieur à la densité atomique du Si), on peut considérer que l'ionisation des donneurs est complète. De plus, la concentration des donneurs (\(N_D\)) est généralement beaucoup plus grande que la concentration intrinsèque (\(n_i\)). Dans ce cas, la concentration des électrons libres (\(n\)) est approximativement égale à la concentration des atomes donneurs (\(N_D\)). \[ n \approx N_D \] On peut vérifier que \(N_D \gg n_i\). Calculons \(n_i\) : \[ n_i = \sqrt{n_i^2} = \sqrt{2.25 \times 10^{20} \, \text{cm}^{-6}} = 1.5 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3} \] Effectivement, \(N_D (10^{16}) \gg n_i (1.5 \times 10^{10})\). L'approximation \(n \approx N_D\) est donc valide.

Données pour cette étape

Concentration de dopant donneur : \(N_D = 1 \times 10^{16} \, \text{atomes/cm}^3\)
Hypothèse : Ionisation complète des donneurs.
Condition vérifiée : \(N_D \gg n_i\)

Calcul

n \approx N_D = 1 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}

Note : La loi d'action de masse (\(n \cdot p = n_i^2\), où \(p\) est la concentration de trous) est toujours valable. On pourrait calculer la concentration des porteurs minoritaires (trous) : \[ p = \frac{n_i^2}{n} \approx \frac{2.25 \times 10^{20} \, \text{cm}^{-6}}{1 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}} = 2.25 \times 10^{4} \, \text{cm}^{-3} \] On voit bien que \(n \gg p\), confirmant que les électrons sont très majoritaires.