Calcul du Générateur de Thévenin

Le théorème de Thévenin est un outil puissant en analyse de circuits électriques. Il permet de simplifier une partie complexe d'un circuit linéaire en un équivalent plus simple, constitué d'une source de tension idéale (\(V_{Th}\)) en série avec une résistance équivalente (\(R_{Th}\)). Cela facilite l'analyse du comportement d'une charge connectée à ce circuit.

Objectif

Calculer l'équivalent de Thévenin d'un circuit donné, puis l'utiliser pour déterminer le courant et la tension aux bornes d'une résistance de charge.

Données du Circuit

Source de tension : \(V_S = 24 \, \text{V}\)
Résistance \(R_1 = 10 \, \Omega\)
Résistance \(R_2 = 30 \, \Omega\)
Résistance \(R_3 = 60 \, \Omega\) (considérée comme la charge pour laquelle on cherche l'équivalent de Thévenin du reste du circuit)

Configuration : \(V_S\) est en série avec \(R_1\). Le point entre \(R_1\) et \(R_2\) est un nœud. \(R_2\) est connectée entre ce nœud et la masse. La résistance \(R_3\) est connectée aux bornes de \(R_2\) (c'est-à-dire entre le nœud après \(R_1\) et la masse).

Schéma du circuit original. On cherche l'équivalent de Thévenin vu des bornes de R3.

Questions

Calcul de la tension de Thévenin (\(V_{Th}\)) : Calculez la tension à vide entre les bornes A et B après avoir retiré la résistance de charge \(R_3\).
Calcul de la résistance de Thévenin (\(R_{Th}\)) : Calculez la résistance équivalente vue entre les bornes A et B après avoir retiré \(R_3\) et en désactivant la source de tension \(V_S\) (remplacée par un court-circuit).
Circuit équivalent de Thévenin : Dessinez le circuit équivalent de Thévenin.
Calcul avec la charge : Si \(R_3 = 60 \, \Omega\) est reconnectée aux bornes de l'équivalent de Thévenin, calculez le courant \(I_3\) qui la traverse et la tension \(V_3\) à ses bornes.

Correction : Calcul du Générateur de Thévenin

1. Calcul de la Tension de Thévenin (\(V_{Th}\))

Pour calculer \(V_{Th}\), on retire la résistance de charge \(R_3\), et on calcule la tension à vide entre les bornes A et B. Dans ce cas, A et B sont les bornes de \(R_2\). Le circuit devient un simple pont diviseur de tension formé par \(R_1\) et \(R_2\) alimenté par \(V_S\). La tension \(V_{Th}\) est la tension aux bornes de \(R_2\). \[ V_{Th} = V_{AB} = V_{R2} = V_S \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} \]

Données pour cette étape

\(V_S = 24 \, \text{V}\)
\(R_1 = 10 \, \Omega\)
\(R_2 = 30 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} V_{Th} &= V_S \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} \\ &= 24 \, \text{V} \times \frac{30 \, \Omega}{10 \, \Omega + 30 \, \Omega} \\ &= 24 \, \text{V} \times \frac{30 \, \Omega}{40 \, \Omega} \\ &= 24 \, \text{V} \times 0.75 \\ &= 18 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat

La tension de Thévenin est \(V_{Th} = 18 \, \text{V}\).

2. Calcul de la Résistance de Thévenin (\(R_{Th}\))

Pour calculer \(R_{Th}\), on retire la charge \(R_3\), on désactive les sources de tension indépendantes (on remplace \(V_S\) par un court-circuit), et on calcule la résistance équivalente vue depuis les bornes A et B. Après avoir court-circuité \(V_S\), \(R_1\) se retrouve en parallèle avec \(R_2\) vues depuis les bornes A et B. \[ R_{Th} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \]

Données pour cette étape

\(R_1 = 10 \, \Omega\)
\(R_2 = 30 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} R_{Th} &= \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \\ &= \frac{10 \, \Omega \times 30 \, \Omega}{10 \, \Omega + 30 \, \Omega} \\ &= \frac{300 \, \Omega^2}{40 \, \Omega} \\ &= 7.5 \, \Omega \end{aligned}

Résultat

La résistance de Thévenin est \(R_{Th} = 7.5 \, \Omega\).

3. Circuit Équivalent de Thévenin

Le circuit original, vu des bornes A et B (où \(R_3\) était connectée), peut être remplacé par une source de tension idéale \(V_{Th}\) en série avec une résistance \(R_{Th}\).

Circuit équivalent de Thévenin vu des bornes A et B.

Résultat

Le circuit équivalent de Thévenin est constitué d'une source de tension \(V_{Th} = 18 \, \text{V}\) en série avec une résistance \(R_{Th} = 7.5 \, \Omega\).

4. Calcul avec la Charge \(R_3\)

On reconnecte la résistance \(R_3 = 60 \, \Omega\) aux bornes A et B du générateur de Thévenin. Le courant \(I_3\) traversant \(R_3\) et la tension \(V_3\) à ses bornes peuvent maintenant être calculés facilement. \[ I_3 = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_3} \] \[ V_3 = I_3 \times R_3 \]

Données pour cette étape

\(V_{Th} = 18 \, \text{V}\)
\(R_{Th} = 7.5 \, \Omega\)
\(R_3 = 60 \, \Omega\)

Calculs

Calcul du courant \(I_3\) :

\begin{aligned} I_3 &= \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_3} \\ &= \frac{18 \, \text{V}}{7.5 \, \Omega + 60 \, \Omega} \\ &= \frac{18 \, \text{V}}{67.5 \, \Omega} \\ &\approx 0.2667 \, \text{A} \end{aligned}

Calcul de la tension \(V_3\) :

\begin{aligned} V_3 &= I_3 \times R_3 \\ &\approx (0.2667 \, \text{A}) \times (60 \, \Omega) \\ &\approx 16.00 \, \text{V} \end{aligned}

Résultats Finaux

Lorsque \(R_3 = 60 \, \Omega\) est connectée à l'équivalent de Thévenin :

Le courant traversant \(R_3\) est \(I_3 \approx 0.267 \, \text{A}\) (ou 267 mA).
La tension aux bornes de \(R_3\) est \(V_3 \approx 16.0 \, \text{V}\).

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