Calcul de l’Impédance Totale d’un Circuit
Calculer l'impédance totale d'un circuit RLC série en régime sinusoïdal permanent, en déterminant d'abord les réactances inductive et capacitive.
L'impédance (\(Z\)) dans un circuit en courant alternatif (CA) est l'opposition totale au passage du courant. Elle généralise la notion de résistance aux circuits contenant des inductances et des capacités. L'impédance est un nombre complexe qui combine la résistance (\(R\)) et la réactance (\(X\)).
Formules clés :
- Réactance inductive : \(X_L = \omega L = 2\pi f L\)
- Réactance capacitive : \(X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}\)
- Impédance d'un circuit RLC série : \(Z_{tot} = R + j(X_L - X_C)\)
- Module de l'impédance : \(|Z_{tot}| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\)
- Phase de l'impédance : \(\phi_Z = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\)
L'impédance peut être exprimée en forme rectangulaire (\(Z = R + jX\)) ou en forme polaire (\(Z = |Z| \angle \phi_Z\)).
Données du Problème
Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative.
- Fréquence de la source : \(f = 50 \text{ Hz}\)
- Résistance : \(R = 30 \, \Omega\)
- Inductance : \(L = 75 \text{ mH}\)
- Capacité : \(C = 100 \, \mu\text{F}\)
Questions
- Calculer la pulsation (\(\omega\)) de la source.
- Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) de la bobine.
- Calculer la réactance capacitive (\(X_C\)) du condensateur.
- Déterminer la réactance totale (\(X_{tot}\)) du circuit.
- Calculer l'impédance totale du circuit (\(Z_{tot}\)) en forme rectangulaire.
- Calculer le module de l'impédance totale (\(|Z_{tot}|\)).
- Calculer la phase de l'impédance totale (\(\phi_Z\)).
- Exprimer l'impédance totale (\(Z_{tot}\)) en forme polaire.
- Le circuit est-il globalement inductif, capacitif ou résistif à cette fréquence ? Justifier.
Correction : Calcul de l’Impédance Totale d’un Circuit
1. Calcul de la Pulsation (\(\omega\))
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la formule \(\omega = 2\pi f\).
Donnée : \(f = 50 \text{ Hz}\)
La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\).
2. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))
La réactance inductive est donnée par \(X_L = \omega L\).
Données :
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
\(L = 75 \text{ mH} = 75 \times 10^{-3} \text{ H}\)
La réactance inductive est \(X_L \approx 23.56 \, \Omega\).
3. Calcul de la Réactance Capacitive (\(X_C\))
La réactance capacitive est donnée par \(X_C = \frac{1}{\omega C}\).
Données :
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
\(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \text{ F}\)
La réactance capacitive est \(X_C \approx 31.83 \, \Omega\).
Quiz Intermédiaire : Réactances Individuelles
4. Détermination de la Réactance Totale (\(X_{tot}\))
Pour un circuit RLC série, la réactance totale est la différence entre la réactance inductive et la réactance capacitive : \(X_{tot} = X_L - X_C\).
Données :
\(X_L \approx 23.56 \, \Omega\)
\(X_C \approx 31.83 \, \Omega\)
La réactance totale du circuit est \(X_{tot} \approx -8.27 \, \Omega\).
5. Calcul de l'Impédance Totale (\(Z_{tot}\)) en Forme Rectangulaire
L'impédance totale en forme rectangulaire est \(Z_{tot} = R + jX_{tot}\).
Données :
\(R = 30 \, \Omega\)
\(X_{tot} \approx -8.27 \, \Omega\)
L'impédance totale en forme rectangulaire est \(Z_{tot} \approx 30 - j8.27 \, \Omega\).
Quiz Intermédiaire : Nature de l'Impédance
6. Calcul du Module de l'Impédance Totale (\(|Z_{tot}|\))
Le module de l'impédance \(Z_{tot} = R + jX_{tot}\) est \(|Z_{tot}| = \sqrt{R^2 + X_{tot}^2}\).
Données :
\(R = 30 \, \Omega\)
\(X_{tot} \approx -8.27 \, \Omega\)
Le module de l'impédance totale est \(|Z_{tot}| \approx 31.12 \, \Omega\).
7. Calcul de la Phase de l'Impédance Totale (\(\phi_Z\))
La phase de l'impédance \(Z_{tot} = R + jX_{tot}\) est \(\phi_Z = \arctan\left(\frac{X_{tot}}{R}\right)\).
Données :
\(R = 30 \, \Omega\)
\(X_{tot} \approx -8.27 \, \Omega\)
La phase de l'impédance totale est \(\phi_Z \approx -15.41^\circ\).
8. Expression de l'Impédance Totale (\(Z_{tot}\)) en Forme Polaire
La forme polaire de l'impédance est \(Z_{tot} = |Z_{tot}| \angle \phi_Z\).
Données :
\(|Z_{tot}| \approx 31.12 \, \Omega\)
\(\phi_Z \approx -15.41^\circ\)
L'impédance totale en forme polaire est \(Z_{tot} \approx 31.12 \angle -15.41^\circ \, \Omega\).
Quiz Intermédiaire : Angle de l'Impédance
9. Nature Globale du Circuit
La nature du circuit (inductif, capacitif ou résistif) est déterminée par le signe de la réactance totale \(X_{tot}\) ou par l'angle de l'impédance \(\phi_Z\).
Données :
\(X_{tot} \approx -8.27 \, \Omega\)
\(\phi_Z \approx -15.41^\circ\)
Puisque \(X_{tot}\) est négative (\(X_L < X_C\)) et que \(\phi_Z\) est négatif, le circuit est globalement capacitif à cette fréquence.
Cela signifie que le courant total dans le circuit sera en avance sur la tension totale appliquée au circuit.
Le circuit est globalement capacitif à 50 Hz.
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Glossaire des Termes Clés
Impédance (\(Z\)) :
Mesure de l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est un nombre complexe \(Z = R + jX\), où R est la résistance et X la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Résistance (\(R\)) :
Partie de l'impédance qui dissipe l'énergie sous forme de chaleur (effet Joule). Elle ne dépend pas de la fréquence. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance (\(X\)) :
Partie imaginaire de l'impédance, due aux éléments qui stockent de l'énergie (inductances et capacités). Elle dépend de la fréquence. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Inductive (\(X_L\)) :
Opposition au changement de courant due à une inductance. \(X_L = \omega L\). Augmente avec la fréquence.
Réactance Capacitive (\(X_C\)) :
Opposition au changement de tension due à une capacité. \(X_C = 1/(\omega C)\). Diminue avec la fréquence.
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Forme Rectangulaire (de l'impédance) :
Expression de l'impédance sous la forme \(Z = R + jX\).
Forme Polaire (de l'impédance) :
Expression de l'impédance sous la forme \(Z = |Z| \angle \phi_Z\), où \(|Z|\) est le module et \(\phi_Z\) est l'angle de phase.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment l'impédance totale d'un circuit RLC parallèle serait-elle calculée ? En quoi diffère-t-elle du circuit série ?
2. Expliquez le concept de résonance dans un circuit RLC série. Que se passe-t-il avec l'impédance à la fréquence de résonance ?
3. Si la fréquence de la source était de 60 Hz au lieu de 50 Hz, comment cela affecterait-il l'impédance totale du circuit étudié ? Serait-il plus inductif ou plus capacitif ?
4. Dans quelles applications pratiques est-il crucial de connaître et de contrôler l'impédance d'un circuit ?
5. Comment l'admittance (inverse de l'impédance) peut-elle simplifier l'analyse des circuits en parallèle ?
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