Analyse de Réactance pour la Maintenance
Calculer l'impédance et la réactance d'un moteur pour diagnostiquer un éventuel défaut.
En régime sinusoïdal, les bobinages des moteurs électriques présentent une résistance \(R\) et une inductance \(L\). L'inductance provoque une opposition au passage du courant alternatif appelée réactance inductive \(X_L\). La combinaison de la résistance et de la réactance inductive donne l'impédance \(Z\) du moteur.
La réactance inductive \(X_L\) est donnée par :
L'impédance \(Z\) d'un circuit R-L série est :
Le courant efficace \(I_{eff}\) circulant dans le moteur est lié à la tension efficace \(U_{eff}\) à ses bornes et à son impédance \(Z\) par la loi d'Ohm en alternatif :
En maintenance, une variation de l'inductance \(L\) (par exemple, due à des spires en court-circuit dans un bobinage) peut modifier l'impédance du moteur et donc le courant qu'il absorbe. La mesure du courant peut ainsi aider à diagnostiquer un défaut.
Données du Problème
Un moteur monophasé, modélisé par une résistance \(R\) en série avec une inductance \(L\), est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace \(U_{eff} = 230 \text{ V}\) et de fréquence \(f = 50 \text{ Hz}\).
Les caractéristiques nominales du moteur (quand il est en bon état) sont :
- Résistance des enroulements : \(R_{nom} = 10.0 \text{ } \Omega\)
- Inductance des enroulements : \(L_{nom} = 50.0 \text{ mH} = 0.0500 \text{ H}\)
Lors d'un contrôle de maintenance, un technicien mesure le courant absorbé par le moteur et trouve \(I_{mes} = 4.50 \text{ A}\). Il suspecte une modification de l'inductance du moteur.
Questions
- Calculer la pulsation \(\omega\) de la tension d'alimentation.
- Calculer la réactance inductive nominale (\(X_{L,nom}\)) du moteur.
- Calculer l'impédance nominale (\(Z_{nom}\)) du moteur.
- Calculer le courant efficace nominal (\(I_{nom}\)) absorbé par le moteur en bon état.
- Le technicien mesure un courant \(I_{mes} = 4.50 \text{ A}\). Calculer la nouvelle impédance totale (\(Z_{mes}\)) du moteur.
- En supposant que la résistance \(R_{nom}\) n'a pas changé, calculer la nouvelle valeur de la réactance inductive (\(X_{L,mes}\)).
- Calculer la nouvelle valeur de l'inductance (\(L_{mes}\)) du moteur.
- Comparer \(L_{mes}\) à \(L_{nom}\). Le défaut suspecté par le technicien (modification de l'inductance) est-il confirmé ? Si oui, l'inductance a-t-elle augmenté ou diminué ?
Correction : Analyse de Réactance pour la Maintenance
1. Calcul de la Pulsation \(\omega\)
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).
Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314 \text{ rad/s}\).
2. Calcul de la Réactance Inductive Nominale (\(X_{L,nom}\))
La réactance inductive \(X_L\) est donnée par \(X_L = L\omega\).
Données :
\(L_{nom} = 0.0500 \text{ H}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
La réactance inductive nominale est \(X_{L,nom} \approx 15.7 \text{ } \Omega\).
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3. Calcul de l'Impédance Nominale (\(Z_{nom}\))
L'impédance \(Z\) est donnée par \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).
Données :
\(R_{nom} = 10.0 \text{ } \Omega\)
\(X_{L,nom} \approx 15.708 \text{ } \Omega\)
L'impédance nominale du moteur est \(Z_{nom} \approx 18.6 \text{ } \Omega\).
4. Calcul du Courant Efficace Nominal (\(I_{nom}\))
On utilise la loi d'Ohm en alternatif : \(I_{eff} = \frac{U_{eff}}{Z}\).
Données :
\(U_{eff} = 230 \text{ V}\)
\(Z_{nom} \approx 18.62 \text{ } \Omega\)
Le courant efficace nominal est \(I_{nom} \approx 12.4 \text{ A}\).
5. Calcul de la Nouvelle Impédance (\(Z_{mes}\))
On utilise la loi d'Ohm avec le courant mesuré : \(Z_{mes} = \frac{U_{eff}}{I_{mes}}\).
Données :
\(U_{eff} = 230 \text{ V}\)
\(I_{mes} = 4.50 \text{ A}\)
La nouvelle impédance mesurée du moteur est \(Z_{mes} \approx 51.1 \text{ } \Omega\).
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6. Calcul de la Nouvelle Réactance Inductive (\(X_{L,mes}\))
On a \(Z_{mes} = \sqrt{R_{nom}^2 + X_{L,mes}^2}\). On isole \(X_{L,mes}\).
Données :
\(Z_{mes} \approx 51.11 \text{ } \Omega\)
\(R_{nom} = 10.0 \text{ } \Omega\)
La nouvelle réactance inductive est \(X_{L,mes} \approx 50.1 \text{ } \Omega\).
7. Calcul de la Nouvelle Inductance (\(L_{mes}\))
On a \(X_{L,mes} = L_{mes}\omega\). On isole \(L_{mes}\).
Données :
\(X_{L,mes} \approx 50.12 \text{ } \Omega\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\)
La nouvelle inductance du moteur est \(L_{mes} \approx 0.160 \text{ H}\) (ou 160 mH).
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8. Comparaison et Conclusion
On compare \(L_{mes}\) à \(L_{nom}\).
Données :
\(L_{nom} = 0.0500 \text{ H} = 50.0 \text{ mH}\)
\(L_{mes} \approx 0.160 \text{ H} = 160 \text{ mH}\)
On constate que \(L_{mes} (160 \text{ mH}) > L_{nom} (50.0 \text{ mH})\).
L'inductance du moteur a considérablement augmenté. Une augmentation de l'inductance peut être le signe d'un problème dans les enroulements, mais plus typiquement, une diminution de l'inductance (due à des spires en court-circuit) entraînerait une augmentation du courant. Ici, le courant mesuré (\(4.50 \text{ A}\)) est plus faible que le courant nominal (\(\approx 12.4 \text{ A}\)), ce qui est cohérent avec une augmentation de l'impédance, elle-même due à une augmentation de la réactance inductive et donc de l'inductance.
Une augmentation de l'inductance pourrait être due à un changement dans le circuit magnétique du moteur (par exemple, entrefer modifié, problème de saturation différent), bien que cela soit moins courant qu'un court-circuit de spires qui diminuerait L.
Cependant, en se basant purement sur les calculs, l'inductance a augmenté.
Le défaut suspecté (modification de l'inductance) est confirmé. L'inductance a augmenté, passant d'environ 50 mH à environ 160 mH. Cela explique la diminution du courant absorbé.
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Glossaire des Termes Clés
Réactance Inductive (\(X_L\)) :
Opposition d'une bobine (inductance) au passage d'un courant alternatif. Elle dépend de l'inductance \(L\) et de la pulsation \(\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Inductance (L) :
Propriété d'un circuit électrique de s'opposer aux variations du courant qui le traverse. Unité : Henry (H).
Impédance (Z) :
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle combine les effets de la résistance et des réactances. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Courant Efficace (\(I_{eff}\) ou I) :
Valeur d'un courant continu qui produirait le même effet Joule dans une résistance que le courant alternatif considéré. Pour un signal sinusoïdal, \(I_{eff} = I_{max}/\sqrt{2}\).
Maintenance :
Ensemble des actions techniques, administratives et de management durant le cycle de vie d'un bien, destinées à le maintenir ou à le rétablir dans un état dans lequel il peut accomplir la fonction requise.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Outre un court-circuit partiel des spires (qui diminuerait L), quelles autres types de pannes pourraient affecter l'inductance d'un moteur électrique ?
2. Comment la présence d'un condensateur en série avec R et L (circuit RLC) modifierait-elle le calcul de l'impédance et l'analyse du courant ?
3. En maintenance, quels autres paramètres électriques (en plus du courant) pourraient être mesurés pour diagnostiquer l'état d'un moteur (par exemple, angle de phase, facteur de puissance) ?
4. Si la fréquence de l'alimentation du moteur variait accidentellement, comment cela affecterait-il la réactance inductive, l'impédance et le courant absorbé, même si R et L restaient constants ?
5. Dans le cas d'un moteur triphasé, comment l'analyse des courants et impédances par phase pourrait-elle aider à détecter un défaut sur un seul des enroulements ?
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