Calcul de la Puissance Active P
Calculer les différentes puissances (active, réactive, apparente) et le facteur de puissance d'un appareil monophasé.
En régime sinusoïdal monophasé, un récepteur électrique est caractérisé par la tension efficace \(U\) à ses bornes, le courant efficace \(I\) qui le traverse, et le déphasage \(\phi\) entre la tension et le courant.
- La puissance active (\(P\)) est la puissance réellement transformée par le récepteur (en chaleur, lumière, travail mécanique, etc.). Elle s'exprime en Watts (W).
\[ P = U \cdot I \cdot \cos \phi \]
- La puissance apparente (\(S\)) est le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. Elle s'exprime en Voltampères (VA).
\[ S = U \cdot I \]
- La puissance réactive (\(Q\)) est liée à l'énergie échangée par les éléments réactifs (bobines, condensateurs) du circuit. Elle s'exprime en Voltampères réactifs (var).
\[ Q = U \cdot I \cdot \sin \phi \]
- Le facteur de puissance (\(k\)) est égal à \(\cos \phi\). Il représente l'efficacité avec laquelle la puissance apparente est convertie en puissance active. \(k = \frac{P}{S}\).
Ces puissances sont liées par la relation du triangle des puissances : \(S^2 = P^2 + Q^2\).
Données du Problème
Un moteur électrique monophasé est alimenté par une tension sinusoïdale efficace \(U = 230 \text{ V}\).
L'intensité efficace du courant absorbé par le moteur est \(I = 4.0 \text{ A}\).
Le déphasage entre la tension aux bornes du moteur et le courant qui le traverse est \(\phi = 30^\circ\). On considère que le moteur est de type inductif (le courant est en retard sur la tension).
Questions
- Calculer le facteur de puissance \(\cos \phi\) de l'appareil.
- Calculer la puissance active \(P\) consommée par le moteur.
- Calculer la puissance apparente \(S\) fournie au moteur.
- Calculer la puissance réactive \(Q\) consommée par le moteur.
- Si un autre appareil, purement résistif (comme un radiateur), consommait la même puissance active \(P\) sous la même tension \(U = 230 \text{ V}\), quel courant efficace \(I_R\) cet appareil absorberait-il ? Comparer cette valeur au courant \(I\) absorbé par le moteur.
Correction : Calcul de la Puissance Active P
1. Calcul du Facteur de Puissance \(\cos \phi\)
Le facteur de puissance est le cosinus de l'angle de déphasage \(\phi\).
Données :
\(\phi = 30^\circ\)
Le facteur de puissance du moteur est \(\cos \phi \approx 0.866\).
Quiz Intermédiaire
2. Calcul de la Puissance Active \(P\)
On utilise la formule \(P = U \cdot I \cdot \cos \phi\).
Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(I = 4.0 \text{ A}\)
\(\cos \phi \approx 0.866\) (calculé à l'étape 1)
La puissance active consommée par le moteur est \(P \approx 797 \text{ W}\).
3. Calcul de la Puissance Apparente \(S\)
On utilise la formule \(S = U \cdot I\).
Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(I = 4.0 \text{ A}\)
La puissance apparente fournie au moteur est \(S = 920 \text{ VA}\).
Quiz Intermédiaire
4. Calcul de la Puissance Réactive \(Q\)
On utilise la formule \(Q = U \cdot I \cdot \sin \phi\). Il faut d'abord calculer \(\sin \phi\).
Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(I = 4.0 \text{ A}\)
\(\phi = 30^\circ\)
Calcul de \(\sin \phi\) :
Calcul de \(Q\) :
Vérification avec \(S^2 = P^2 + Q^2\): \(Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{920^2 - 796.72^2} = \sqrt{846400 - 634762.7} \approx \sqrt{211637.3} \approx 460.04 \text{ var}\). Les résultats sont cohérents.
La puissance réactive consommée par le moteur est \(Q = 460 \text{ var}\).
5. Courant \(I_R\) pour un Appareil Purement Résistif
Pour un appareil purement résistif, le facteur de puissance \(\cos \phi = 1\) (car \(\phi = 0^\circ\)). La puissance active \(P\) est alors égale à la puissance apparente \(S\). On utilise \(P = U I_R\).
Données :
\(P \approx 796.72 \text{ W}\) (puissance active du moteur)
\(U = 230 \text{ V}\)
Comparaison : Le courant absorbé par le moteur est \(I = 4.0 \text{ A}\), tandis que le courant absorbé par un appareil purement résistif consommant la même puissance active serait \(I_R \approx 3.46 \text{ A}\).
Le moteur (charge inductive) absorbe un courant plus élevé pour fournir la même puissance active, en raison du déphasage (facteur de puissance inférieur à 1). Cela signifie qu'une partie du courant "ne travaille pas" directement mais sert à magnétiser les enroulements (puissance réactive).
Le courant absorbé par un appareil purement résistif serait \(I_R \approx 3.46 \text{ A}\).
Ce courant \(I_R\) est inférieur au courant \(I = 4.0 \text{ A}\) absorbé par le moteur pour la même puissance active, car le moteur a un facteur de puissance inférieur à 1.
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Glossaire des Termes Clés
Puissance Active (P) :
Puissance réellement consommée par un récepteur et transformée en une autre forme d'énergie (chaleur, lumière, travail mécanique). Unité : Watt (W).
Puissance Apparente (S) :
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant dans un circuit AC. Elle représente la puissance totale fournie par la source. Unité : Voltampère (VA).
Puissance Réactive (Q) :
Puissance associée à l'énergie qui oscille entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) du circuit sans être consommée. Unité : Voltampère réactif (var).
Facteur de Puissance (\(k\) ou \(\cos \phi\)) :
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(P/S\)). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance électrique est utilisée. Valeur comprise entre 0 et 1.
Déphasage (\(\phi\)) :
Différence de phase (angle) entre la tension et le courant dans un circuit AC. Pour une charge inductive, le courant est en retard sur la tension (\(\phi > 0\)). Pour une charge capacitive, le courant est en avance sur la tension (\(\phi < 0\)).
Valeur Efficace (U, I) :
Valeur d'un courant continu (ou d'une tension continue) qui produirait le même effet Joule dans une résistance qu'un courant alternatif (ou une tension alternative) donné.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi est-il important pour les fournisseurs d'électricité que les installations industrielles aient un bon facteur de puissance ?
2. Comment peut-on améliorer le facteur de puissance d'une installation qui est fortement inductive (par exemple, contenant de nombreux moteurs) ?
3. Si l'angle de déphasage \(\phi\) était de -30° (charge capacitive), comment cela changerait-il la valeur de la puissance réactive Q ?
4. Qu'est-ce que le "triangle des puissances" et comment illustre-t-il la relation entre P, Q et S ?
5. Dans le cas d'une résistance pure, que valent \(\phi\), \(\cos \phi\), et la puissance réactive Q ?
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