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Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Potentiel Électrique dans un Cône Conducteur

Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé

Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé

Comprendre le Potentiel électrique d'une Surface Conique Chargée

Un cône conducteur en équilibre électrostatique est une surface équipotentielle. Si une charge totale Q est déposée sur un cône conducteur isolé (ici, une coquille conique mince et ouverte à sa base), cette charge se répartit sur sa surface. Le potentiel électrique créé par cette distribution peut être calculé en un point donné, par exemple à son sommet (apex). Pour cela, on décompose la surface conique en anneaux élémentaires. Chaque anneau, portant une charge dq, crée un potentiel élémentaire dV au sommet. Le potentiel total est alors la somme (intégrale) de ces contributions sur toute la surface du cône.

Données de l'étude

On considère une surface conique conductrice mince (coquille conique), ouverte à sa base. Le cône a une hauteur h=4,0cm et un rayon de base R=3,0cm. Il porte une charge totale Q=+8,0nC uniformément répartie sur sa surface latérale.

On souhaite calculer le potentiel électrique VA à son sommet (apex) A.

Constante :

  • Constante de Coulomb : ke=14πε0≈9,0×109N⋅m2/C2
  • Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Cône Conducteur Chargé
z (axe) r O A (Sommet) h R L s dq r' Coquille conique chargée

Coquille conique de hauteur h, rayon de base R, et génératrice L, portant une charge Q. Un anneau élémentaire de charge dq est à une distance s du sommet.

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur de la génératrice (apothème) L du cône.
  2. Calculer l'aire de la surface latérale Alat du cône.
  3. Déterminer la densité de charge surfacique σ sur la surface latérale du cône.
  4. Considérer un anneau élémentaire sur la surface du cône, situé à une distance s du sommet (mesurée le long de la génératrice), et d'épaisseur infinitésimale ds (également mesurée le long de la génératrice). a. Exprimer le rayon r′ de cet anneau en fonction de s, R, et L. (Indice : utiliser les triangles semblables ou le sinus du demi-angle au sommet α, où sin⁡α=R/L). b. Exprimer l'aire dA de cet anneau élémentaire. c. Exprimer la charge dq portée par cet anneau élémentaire.
  5. Quelle est la distance de chaque point de cet anneau élémentaire au sommet A du cône ?
  6. Exprimer le potentiel élémentaire dVA créé par cet anneau de charge dq au sommet A.
  7. Calculer le potentiel total VA au sommet du cône en intégrant dVA sur toute la surface latérale du cône (c'est-à-dire pour s variant de 0 à L).
  8. Application numérique : Calculer la valeur de VA.

Correction : Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé

Question 1 : Longueur de la génératrice L

Principe :

La génératrice L, la hauteur h, et le rayon de base R d'un cône droit forment un triangle rectangle. On utilise le théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
L=R2+h2
Données spécifiques :
  • R=3,0cm=0,03m
  • h=4,0cm=0,04m
Calcul :
L=(0,03m)2+(0,04m)2=0,0009m2+0,0016m2=0,0025m2=0,05m(=5,0cm)
Résultat Question 1 : La longueur de la génératrice est L=0,05m.

Question 2 : Aire de la surface latérale Alat

Principe :

L'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de rayon de base R et de génératrice L est donnée par πRL.

Formule(s) utilisée(s) :
Alat=πRL
Données spécifiques :
  • R=0,03m
  • L=0,05m
Calcul :
Alat=π(0,03m)(0,05m)=0,0015πm2≈0,004712m2
Résultat Question 2 : L'aire latérale est Alat=0,0015πm2≈0,004712m2.

Question 3 : Densité de charge surfacique σ

Principe :

La charge Q est uniformément répartie sur la surface latérale Alat.

Formule(s) utilisée(s) :
σ=QAlat
Données spécifiques :
  • Q=+8,0nC=+8,0×10−9C
  • Alat=0,0015πm2
Calcul :
σ=8,0×10−9C0,0015πm2≈8,0×10−90,00471238C/m2≈1697,65×10−9C/m2≈1,698μC/m2
Résultat Question 3 : σ=8,0×10−90,0015πC/m2≈1,698μC/m2.

Question 4 : Anneau élémentaire

a. Rayon r′ de l'anneau

Par similitude des triangles (ou en utilisant le demi-angle au sommet α, où sin⁡α=R/L), le rayon r′ d'un anneau situé à une distance s du sommet le long de la génératrice est r′=ssin⁡α=s(R/L).

r′=sRL
b. Aire dA de l'anneau

L'aire d'un anneau de rayon r′ et d'épaisseur ds (mesurée le long de la génératrice) est sa circonférence multipliée par ds.

dA=2πr′ds=2π(sRL)ds
c. Charge dq sur l'anneau

La charge dq est σdA.

dq=σdA=σ(2πsRL)ds
Résultat Question 4 :
  • a. r′=sRL
  • b. dA=2πsRLds
  • c. dq=2πσsRLds

Question 5 : Distance de l'anneau au sommet A

Principe :

L'anneau est défini par sa distance s au sommet, mesurée le long de la génératrice. Chaque point de cet anneau est donc à une distance s du sommet A.

Résultat Question 5 : La distance de chaque point de l'anneau élémentaire au sommet A est s.

Question 6 : Potentiel élémentaire dVA

Principe :

Le potentiel créé par une charge dq à une distance s est dV=kedqs.

Calcul :
dVA=kedqs=ke2πσsRLdss=2πkeσRLds

Notez que s se simplifie, ce qui rend l'intégration très facile.

Résultat Question 6 : Le potentiel élémentaire au sommet A est dVA=2πkeσRLds.

Quiz Intermédiaire 1 : La simplification de s dans l'expression de dVA signifie que :

Question 7 : Potentiel total VA au sommet

Principe :

On intègre dVA pour s variant de 0 (sommet) à L (bord de la base).

Formule(s) utilisée(s) :
VA=∫0LdVA=∫0L2πkeσRLds
Calcul :
VA=2πkeσRL∫0Lds=2πkeσRL[s]0L=2πkeσRL(L−0)=2πkeσR

En substituant σ=QπRL :

VA=2πke(QπRL)R=2keQL
Résultat Question 7 : Le potentiel total au sommet est VA=2πkeσR=2keQL.

Question 8 : Application numérique pour VA

Principe :

On utilise la formule VA=2keQL avec les valeurs numériques.

Données spécifiques :
  • Q=+8,0×10−9C
  • ke=9,0×109N⋅m2/C2
  • L=0,05m
Calcul :
VA=2×(9,0×109N⋅m2/C2)×(8,0×10−9C)0,05m=2×720,05V=1440,05V=2880V
Résultat Question 8 : Le potentiel électrique au sommet A est VA=2880V.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la hauteur h du cône augmente tout en gardant le rayon de base R et la charge Q constants, comment le potentiel au sommet VA change-t-il ? (Note : L=R2+h2)

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour un conducteur en équilibre électrostatique portant une charge nette :

2. L'aire latérale d'un cône de révolution de rayon de base R et de génératrice L est :

3. Le potentiel électrique au sommet d'une coquille conique uniformément chargée de charge Q et de génératrice L est VA=2keQ/L. Si la charge Q double et la génératrice L double aussi, le potentiel VA :

Glossaire

Potentiel Électrique (V)
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. Unité : Volt (V).
Cône Conducteur (Coquille)
Surface conique faite d'un matériau conducteur. En équilibre électrostatique, les charges résident sur sa surface et la surface est équipotentielle.
Densité de Charge Surfacique (σ)
Charge électrique par unité de surface. Unité : Coulomb par mètre carré (C/m2).
Génératrice (L)
Dans un cône, segment de droite reliant le sommet à un point du cercle de base. Aussi appelée apothème pour la surface latérale.
Principe de Superposition
Le potentiel total en un point dû à plusieurs charges (ou distributions) est la somme algébrique des potentiels créés par chaque charge (ou distribution) individuelle.
Constante de Coulomb (ke)
Constante de proportionnalité, ke=1/(4πε0)≈9,0×109N⋅m2/C2.
Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé

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