Exercices Électricité

Circuit de Charge pour Batterie de Vélo

Circuit de Charge pour Batterie de Vélo

Circuit de Charge pour Batterie de Vélo

Comprendre la Charge d'une Batterie de Vélo

Charger une batterie de vélo électrique, ou toute batterie rechargeable, implique de lui fournir de l'énergie électrique pour inverser les réactions chimiques qui se produisent lors de la décharge. Un chargeur de batterie est essentiellement une source de tension continue conçue pour fournir un courant à la batterie. Les chargeurs modernes sont souvent sophistiqués, adaptant le courant et la tension de charge en fonction de l'état de la batterie. Pour simplifier, on peut modéliser le chargeur comme une source de tension idéale (\(V_{\text{ch}}\)) avec une résistance interne (\(R_{\text{ch}}\)) ou une résistance de limitation. La batterie elle-même possède une tension interne (\(V_{\text{bat,init}}\) lorsqu'elle n'est pas complètement chargée, qui s'oppose à la tension du chargeur) et une résistance interne (\(R_{\text{bat,int}}\)). Le courant de charge dépend de la différence entre la tension du chargeur et la tension de la batterie, ainsi que des résistances totales du circuit.

Données de l'étude

Un chargeur de batterie de vélo fournit une tension \(V_{\text{ch}}\) et possède une résistance interne (ou de limitation) \(R_{\text{ch}}\). Il est utilisé pour charger une batterie de vélo ayant une tension initiale \(V_{\text{bat,init}}\) et une résistance interne \(R_{\text{bat,int}}\).

Caractéristiques :

  • Tension du chargeur (source idéale) : \(V_{\text{ch}} = 42 \, \text{V}\)
  • Résistance interne/de limitation du chargeur : \(R_{\text{ch}} = 1.0 \, \Omega\)
  • Tension initiale de la batterie : \(V_{\text{bat,init}} = 34 \, \text{V}\)
  • Résistance interne de la batterie : \(R_{\text{bat,int}} = 0.5 \, \Omega\)
  • Capacité nominale de la batterie : \(C_{\text{bat}} = 10 \, \text{Ah}\)
Schéma : Circuit de Charge de Batterie
Vch 42V + − Rch 1Ω A Rbat,int 0.5Ω Vbat,init 34V + − B → Icharge Vbornes_bat

Circuit de charge d'une batterie de vélo.

Questions à traiter

  1. Calculer la tension effective (\(V_{\text{eff\_charge}}\)) qui "pousse" le courant dans le circuit de charge (c'est la différence entre la tension du chargeur et la tension initiale de la batterie).
  2. Calculer la résistance totale (\(R_{\text{total\_charge}}\)) du circuit de charge.
  3. Calculer le courant de charge initial (\(I_{\text{charge}}\)) qui circule vers la batterie.
  4. Calculer la tension (\(V_{\text{bornes\_bat}}\)) aux bornes de la batterie pendant cette phase de charge initiale.
  5. Calculer la puissance (\(P_{\text{ch,source}}\)) fournie par la source de tension idéale \(V_{\text{ch}}\) du chargeur.
  6. Calculer la puissance (\(P_{Rch}\)) dissipée en chaleur dans la résistance \(R_{\text{ch}}\).
  7. Calculer la puissance (\(P_{Rbat,int}\)) dissipée en chaleur dans la résistance interne de la batterie \(R_{\text{bat,int}}\).
  8. Calculer la puissance utile (\(P_{\text{charge\_utile}}\)) qui sert effectivement à augmenter la charge de la batterie (c'est-à-dire la puissance reçue par la f.é.m. \(V_{\text{bat,init}}\)).
  9. Vérifier la conservation de la puissance : \(P_{\text{ch,source}} = P_{Rch} + P_{Rbat,int} + P_{\text{charge\_utile}}\).
  10. En supposant que le courant de charge reste constant à sa valeur initiale (ce qui est une simplification), estimer le temps de charge (\(T_{\text{charge}}\)) nécessaire pour charger complètement la batterie de 0% à 100% de sa capacité nominale \(C_{\text{bat}}\).

Correction : Analyse d’un Circuit de Charge pour Batterie de Vélo

Question 1 : Tension effective de charge (\(V_{\text{eff\_charge}}\))

Principe :

Lorsqu'on charge une batterie, la source de charge doit avoir une tension supérieure à celle de la batterie. La tension "effective" qui force le courant à circuler dans le circuit est la différence entre la tension du chargeur (\(V_{\text{ch}}\)) et la tension interne actuelle de la batterie (\(V_{\text{bat,init}}\)), car ces deux tensions s'opposent dans la boucle de charge.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{eff\_charge}} = V_{\text{ch}} - V_{\text{bat,init}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{ch}} = 42 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{bat,init}} = 34 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{eff\_charge}} &= 42 \, \text{V} - 34 \, \text{V} \\ &= 8 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La tension effective de charge est \(V_{\text{eff\_charge}} = 8 \, \text{V}\).

Question 2 : Résistance totale du circuit de charge (\(R_{\text{total\_charge}}\))

Principe :

Dans le circuit de charge, la résistance interne du chargeur (\(R_{\text{ch}}\)) et la résistance interne de la batterie (\(R_{\text{bat,int}}\)) sont en série. La résistance totale est donc leur somme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{total\_charge}} = R_{\text{ch}} + R_{\text{bat,int}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_{\text{ch}} = 1.0 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{bat,int}} = 0.5 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{total\_charge}} &= 1.0 \, \Omega + 0.5 \, \Omega \\ &= 1.5 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale du circuit de charge est \(R_{\text{total\_charge}} = 1.5 \, \Omega\).

Question 3 : Courant de charge initial (\(I_{\text{charge}}\))

Principe :

Le courant de charge initial est déterminé par la tension effective de charge et la résistance totale du circuit de charge, selon la loi d'Ohm.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{charge}} = \frac{V_{\text{eff\_charge}}}{R_{\text{total\_charge}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{eff\_charge}} = 8 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{total\_charge}} = 1.5 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{charge}} &= \frac{8 \, \text{V}}{1.5 \, \Omega} \\ &= \frac{16}{3} \, \text{A} \\ &\approx 5.333... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant de charge initial est \(I_{\text{charge}} \approx 5.33 \, \text{A}\).

Question 4 : Tension aux bornes de la batterie (\(V_{\text{bornes\_bat}}\))

Principe :

La tension mesurée aux bornes de la batterie pendant la charge est sa tension interne initiale (\(V_{\text{bat,init}}\)) PLUS la chute de tension due au courant de charge traversant sa résistance interne (\(R_{\text{bat,int}}\)). Soit \(V_{\text{bornes\_bat}} = V_{\text{bat,init}} + I_{\text{charge}} R_{\text{bat,int}}\). Alternativement, c'est aussi la tension du chargeur moins la chute de tension dans \(R_{ch}\) : \(V_{\text{bornes\_bat}} = V_{ch} - I_{charge}R_{ch}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{bornes\_bat}} = V_{\text{bat,init}} + I_{\text{charge}} R_{\text{bat,int}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{bat,init}} = 34 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{charge}} = \frac{16}{3} \, \text{A}\)
  • \(R_{\text{bat,int}} = 0.5 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{bornes\_bat}} &= 34 \, \text{V} + \left(\frac{16}{3} \, \text{A} \times 0.5 \, \Omega\right) \\ &= 34 \, \text{V} + \frac{8}{3} \, \text{V} \\ &= \frac{102 + 8}{3} \, \text{V} = \frac{110}{3} \, \text{V} \\ &\approx 36.666... \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification : \(V_{ch} - I_{charge}R_{ch} = 42\text{V} - (\frac{16}{3}\text{A} \times 1\Omega) = 42\text{V} - \frac{16}{3}\text{V} = \frac{126-16}{3}\text{V} = \frac{110}{3}\text{V}\).

Résultat Question 4 : La tension aux bornes de la batterie pendant la charge initiale est \(V_{\text{bornes\_bat}} \approx 36.67 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pendant la charge, la tension aux bornes d'une batterie réelle est généralement :

Question 5 : Puissance (\(P_{\text{ch,source}}\)) fournie par la source \(V_{\text{ch}}\)

Principe :

La puissance fournie par la source de tension idéale \(V_{\text{ch}}\) du chargeur est \(P_{\text{ch,source}} = V_{\text{ch}} \times I_{\text{charge}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{ch,source}} = V_{\text{ch}} I_{\text{charge}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{ch}} = 42 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{charge}} = \frac{16}{3} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{ch,source}} &= 42 \, \text{V} \times \frac{16}{3} \, \text{A} \\ &= 14 \times 16 \, \text{W} \\ &= 224 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La puissance fournie par la source du chargeur est \(P_{\text{ch,source}} = 224 \, \text{W}\).

Question 6 : Puissance (\(P_{Rch}\)) dissipée dans \(R_{\text{ch}}\)

Principe :

La puissance dissipée dans la résistance \(R_{\text{ch}}\) est \(P_{Rch} = I_{\text{charge}}^2 R_{\text{ch}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{Rch} = I_{\text{charge}}^2 R_{\text{ch}}\]
Données spécifiques :
  • \(I_{\text{charge}} = \frac{16}{3} \, \text{A}\)
  • \(R_{\text{ch}} = 1.0 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{Rch} &= \left(\frac{16}{3} \, \text{A}\right)^2 \times 1.0 \, \Omega \\ &= \frac{256}{9} \, \text{W} \\ &\approx 28.444... \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La puissance dissipée dans \(R_{\text{ch}}\) est \(P_{Rch} \approx 28.44 \, \text{W}\).

Question 7 : Puissance (\(P_{Rbat,int}\)) dissipée dans \(R_{\text{bat,int}}\)

Principe :

La puissance dissipée dans la résistance interne de la batterie \(R_{\text{bat,int}}\) est \(P_{Rbat,int} = I_{\text{charge}}^2 R_{\text{bat,int}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{Rbat,int} = I_{\text{charge}}^2 R_{\text{bat,int}}\]
Données spécifiques :
  • \(I_{\text{charge}} = \frac{16}{3} \, \text{A}\)
  • \(R_{\text{bat,int}} = 0.5 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{Rbat,int} &= \left(\frac{16}{3} \, \text{A}\right)^2 \times 0.5 \, \Omega \\ &= \frac{256}{9} \times 0.5 \, \text{W} \\ &= \frac{128}{9} \, \text{W} \\ &\approx 14.222... \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La puissance dissipée dans \(R_{\text{bat,int}}\) est \(P_{Rbat,int} \approx 14.22 \, \text{W}\).

Question 8 : Puissance utile (\(P_{\text{charge\_utile}}\))

Principe :

La puissance utile est celle qui sert à augmenter l'énergie stockée dans la batterie. Elle est égale au produit de la tension interne initiale de la batterie (\(V_{\text{bat,init}}\)) par le courant de charge (\(I_{\text{charge}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{charge\_utile}} = V_{\text{bat,init}} I_{\text{charge}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{bat,init}} = 34 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{charge}} = \frac{16}{3} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{charge\_utile}} &= 34 \, \text{V} \times \frac{16}{3} \, \text{A} \\ &= \frac{544}{3} \, \text{W} \\ &\approx 181.333... \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La puissance utile de charge est \(P_{\text{charge\_utile}} \approx 181.33 \, \text{W}\).

Question 9 : Vérification de la conservation de la puissance

Principe :

La puissance totale fournie par la source du chargeur doit être égale à la somme de toutes les puissances dissipées ou utilisées dans le circuit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{ch,source}} = P_{Rch} + P_{Rbat,int} + P_{\text{charge\_utile}}\]
Données calculées :
  • \(P_{\text{ch,source}} = 224 \, \text{W}\)
  • \(P_{Rch} = \frac{256}{9} \, \text{W}\)
  • \(P_{Rbat,int} = \frac{128}{9} \, \text{W}\)
  • \(P_{\text{charge\_utile}} = \frac{544}{3} \, \text{W} = \frac{1632}{9} \, \text{W}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} P_{Rch} + P_{Rbat,int} + P_{\text{charge\_utile}} &= \frac{256}{9} + \frac{128}{9} + \frac{1632}{9} \, \text{W} \\ &= \frac{256+128+1632}{9} \, \text{W} \\ &= \frac{2016}{9} \, \text{W} \\ &= 224 \, \text{W} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(P_{\text{ch,source}} = 224 \, \text{W}\) :

\[224 \, \text{W} = 224 \, \text{W} \quad (\text{Vérifié})\]
Résultat Question 9 : La conservation de la puissance est vérifiée.

Quiz Intermédiaire 2 : La résistance interne d'une batterie pendant la charge :

Question 10 : Estimation du temps de charge (\(T_{\text{charge}}\))

Principe :

Le temps de charge peut être estimé en divisant la capacité de la batterie (en Ampères-heures) par le courant de charge moyen (en Ampères). Ici, nous utilisons le courant de charge initial comme une approximation du courant moyen, ce qui est une simplification importante car le courant de charge diminue généralement à mesure que la batterie se charge et que sa tension augmente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_{\text{charge}} = \frac{C_{\text{bat (Ah)}}}{I_{\text{charge}}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_{\text{bat (Ah)}} = 10 \, \text{Ah}\)
  • \(I_{\text{charge}} = \frac{16}{3} \, \text{A} \approx 5.333 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_{\text{charge}} &= \frac{10 \, \text{Ah}}{\frac{16}{3} \, \text{A}} \\ &= \frac{10 \times 3}{16} \, \text{h} \\ &= \frac{30}{16} \, \text{h} = \frac{15}{8} \, \text{h} \\ &= 1.875 \, \text{h} \end{aligned} \]

Conversion en heures et minutes : \(1.875 \, \text{h} = 1 \, \text{heure} + 0.875 \times 60 \, \text{minutes} = 1 \, \text{heure} + 52.5 \, \text{minutes}\).

Résultat Question 10 : Le temps de charge estimé (en supposant un courant constant) est de \(1.875 \, \text{heures}\) (environ 1 heure et 52.5 minutes).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lors de la charge d'une batterie, la tension du chargeur doit être :

2. La résistance interne d'une batterie :

3. Si la capacité d'une batterie est de \(20 \, \text{Ah}\) et qu'elle est chargée avec un courant constant de \(2 \, \text{A}\), le temps de charge théorique (de 0% à 100%) est de :

Glossaire

Batterie Rechargeable
Dispositif capable de stocker de l'énergie électrique sous forme chimique et de la restituer sous forme de courant électrique. Elle peut être rechargée en inversant le processus.
Tension Nominale de Batterie
Tension de référence d'une batterie, souvent une moyenne de sa tension pendant la décharge.
Tension Interne de Batterie (\(V_{\text{bat,init}}\) ou f.é.m.)
Force électromotrice de la batterie, qui s'oppose à la tension du chargeur pendant la charge.
Résistance Interne de Batterie (\(R_{\text{bat,int}}\))
Résistance inhérente à la batterie due à ses composants chimiques et physiques, provoquant des pertes d'énergie (chaleur) pendant la charge et la décharge.
Chargeur de Batterie
Appareil fournissant l'énergie électrique nécessaire pour recharger une batterie.
Courant de Charge (\(I_{\text{charge}}\))
Courant qui circule de la source de charge vers la batterie pendant le processus de charge.
Capacité de Batterie (\(C_{\text{bat}}\))
Quantité totale de charge qu'une batterie peut stocker et délivrer, typiquement mesurée en Ampères-heures (Ah) ou milliampères-heures (mAh).
Puissance Utile de Charge
Partie de la puissance fournie par le chargeur qui est effectivement utilisée pour augmenter l'énergie stockée dans la batterie (en surmontant sa tension interne).
Rendement de Charge
Rapport entre la puissance utile de charge et la puissance totale fournie par la source du chargeur.
Circuit de Charge pour Batterie de Vélo

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