Analyse d’un circuit en série-parallèle

Comprendre l'Analyse d'un Circuit Série-Parallèle

De nombreux circuits électriques réels ne sont ni purement série, ni purement parallèle, mais une combinaison des deux. Pour analyser ces circuits mixtes, la stratégie consiste généralement à les simplifier par étapes. On identifie d'abord les groupements de résistances qui sont clairement en série ou clairement en parallèle, on calcule leur résistance équivalente, puis on redessine mentalement (ou sur papier) le circuit simplifié. On répète ce processus jusqu'à obtenir une seule résistance équivalente totale vue par la source. Une fois le courant total déterminé à l'aide de la loi d'Ohm, on peut "remonter" dans les étapes de simplification pour calculer les courants et les tensions dans chaque partie du circuit original, en utilisant la loi d'Ohm, la loi des nœuds de Kirchhoff (pour la division des courants dans les branches parallèles) et la loi des mailles de Kirchhoff (pour la répartition des tensions dans les éléments en série).

Données de l'étude

Un circuit en courant continu est alimenté par une source de tension \(V_{\text{s}}\). Le circuit est composé comme suit : la résistance \(R_1\) est en série avec un groupement parallèle. Ce groupement est formé par la résistance \(R_2\) en parallèle avec une autre branche contenant les résistances \(R_3\) et \(R_4\) en série.

Valeurs des composants :

Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
Résistance \(R_1\) : \(2 \, \Omega\)
Résistance \(R_2\) : \(12 \, \Omega\)
Résistance \(R_3\) : \(4 \, \Omega\)
Résistance \(R_4\) : \(8 \, \Omega\)

Schéma : Circuit DC Série-Parallèle

Circuit DC série-parallèle.

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq34}}\)) de la branche contenant \(R_3\) et \(R_4\) en série.
Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eqP}}\)) du groupement parallèle formé par \(R_2\) et \(R_{\text{eq34}}\).
Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\)) de l'ensemble du circuit.
Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source.
Calculer la tension (\(V_1\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
Calculer la tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle (entre les nœuds A et B).
Calculer le courant (\(I_2\)) traversant la résistance \(R_2\).
Calculer le courant (\(I_{\text{R3R4}}\)) traversant la branche série \(R_3-R_4\). (Ce courant est le même pour \(R_3\) et \(R_4\)).
Calculer la tension (\(V_3\)) aux bornes de \(R_3\) et la tension (\(V_4\)) aux bornes de \(R_4\). Vérifier que \(V_3 + V_4 = V_{\text{AB}}\).
Calculer la puissance dissipée par chaque résistance (\(P_1, P_2, P_3, P_4\)).
Calculer la puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source et la comparer à la somme des puissances dissipées.

Correction : Analyse d’un Circuit en Série-Parallèle

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq34}}\)) de \(R_3\) et \(R_4\) en série

Principe :

Les résistances \(R_3\) et \(R_4\) sont en série, leur résistance équivalente est leur somme.

Formule(s) utilisée(s) :

R_{\text{eq34}} = R_3 + R_4

Données spécifiques :

\(R_3 = 4 \, \Omega\)
\(R_4 = 8 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} R_{\text{eq34}} &= 4 \, \Omega + 8 \, \Omega \\ &= 12 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 1 : La résistance équivalente de la branche \(R_3-R_4\) est \(R_{\text{eq34}} = 12 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eqP}}\)) du groupement parallèle

Principe :

Le groupement parallèle est formé par \(R_2\) en parallèle avec \(R_{\text{eq34}}\). La formule est \(R_{\text{eqP}} = \frac{R_2 \times R_{\text{eq34}}}{R_2 + R_{\text{eq34}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

R_{\text{eqP}} = \frac{R_2 \times R_{\text{eq34}}}{R_2 + R_{\text{eq34}}}

Données spécifiques :

\(R_2 = 12 \, \Omega\)
\(R_{\text{eq34}} = 12 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} R_{\text{eqP}} &= \frac{12 \, \Omega \times 12 \, \Omega}{12 \, \Omega + 12 \, \Omega} \\ &= \frac{144 \, \Omega^2}{24 \, \Omega} \\ &= 6 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 2 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_{\text{eqP}} = 6 \, \Omega\).

Question 3 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

La résistance \(R_1\) est en série avec le groupement parallèle \(R_{\text{eqP}}\). Donc, \(R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eqP}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eqP}}

Données spécifiques :

\(R_1 = 2 \, \Omega\)
\(R_{\text{eqP}} = 6 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} R_{\text{total}} &= 2 \, \Omega + 6 \, \Omega \\ &= 8 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 3 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{total}} = 8 \, \Omega\).

Question 4 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total fourni par la source est donné par la loi d'Ohm : \(I_{\text{total}} = V_{\text{s}} / R_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}

Données spécifiques :

\(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
\(R_{\text{total}} = 8 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{24 \, \text{V}}{8 \, \Omega} \\ &= 3 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat Question 4 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\).

Question 5 : Tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

La chute de tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_1 = R_1 \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

V_1 = R_1 I_{\text{total}}

Données spécifiques :

\(R_1 = 2 \, \Omega\)
\(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)

Calcul :

\begin{aligned} V_1 &= 2 \, \Omega \times 3 \, \text{A} \\ &= 6 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat Question 5 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_1 = 6 \, \text{V}\).

Question 6 : Tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle

Principe :

La tension \(V_{\text{AB}}\) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_{\text{eq34}}\)) est la même pour chaque branche. Elle peut être calculée par \(V_{\text{AB}} = V_{\text{s}} - V_1\) (loi des mailles) ou \(V_{\text{AB}} = R_{\text{eqP}} \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

V_{\text{AB}} = V_{\text{s}} - V_1

Données spécifiques :

\(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
\(V_1 = 6 \, \text{V}\)

Calcul :

\begin{aligned} V_{\text{AB}} &= 24 \, \text{V} - 6 \, \text{V} \\ &= 18 \, \text{V} \end{aligned}

Vérification avec l'autre méthode : \(V_{\text{AB}} = R_{\text{eqP}} \times I_{\text{total}} = 6 \, \Omega \times 3 \, \text{A} = 18 \, \text{V}\).

Résultat Question 6 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_{\text{AB}} = 18 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(R_2\) était égale à \(R_{eq34}\), comment se répartirait le courant \(I_{total}\) (qui devient \(I_{branche1}\) avant de se diviser) entre la branche de \(R_2\) et la branche de \(R_{eq34}\) ?

Il se diviserait en deux parts égales.
Plus de courant passerait par \(R_2\).
Plus de courant passerait par \(R_{eq34}\).
Tout le courant passerait par \(R_2\).

Question 7 : Courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\)

Principe :

Le courant dans la branche \(R_2\) est \(I_2 = V_{\text{AB}} / R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :

I_2 = \frac{V_{\text{AB}}}{R_2}

Données spécifiques :

\(V_{\text{AB}} = 18 \, \text{V}\)
\(R_2 = 12 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} I_2 &= \frac{18 \, \text{V}}{12 \, \Omega} \\ &= 1.5 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat Question 7 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_2 = 1.5 \, \text{A}\).

Question 8 : Courant (\(I_{\text{R3R4}}\)) traversant la branche série \(R_3-R_4\)

Principe :

Le courant dans la branche contenant \(R_3\) et \(R_4\) (de résistance équivalente \(R_{\text{eq34}}\)) est \(I_{\text{R3R4}} = V_{\text{AB}} / R_{\text{eq34}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

I_{\text{R3R4}} = \frac{V_{\text{AB}}}{R_{\text{eq34}}}

Données spécifiques :

\(V_{\text{AB}} = 18 \, \text{V}\)
\(R_{\text{eq34}} = 12 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} I_{\text{R3R4}} &= \frac{18 \, \text{V}}{12 \, \Omega} \\ &= 1.5 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat Question 8 : Le courant traversant la branche \(R_3-R_4\) est \(I_{\text{R3R4}} = 1.5 \, \text{A}\). (Ce courant est le même pour \(I_3\) et \(I_4\)).

Question 9 : Tensions (\(V_3\)) et (\(V_4\))

Principe :

Puisque \(R_3\) et \(R_4\) sont en série et traversées par \(I_{\text{R3R4}}\), on a \(V_3 = R_3 I_{\text{R3R4}}\) et \(V_4 = R_4 I_{\text{R3R4}}\). La somme \(V_3+V_4\) doit être égale à \(V_{\text{AB}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

V_3 = R_3 I_{\text{R3R4}}\] \[V_4 = R_4 I_{\text{R3R4}}

Données spécifiques :

\(I_{\text{R3R4}} = 1.5 \, \text{A}\)
\(R_3 = 4 \, \Omega\)
\(R_4 = 8 \, \Omega\)
\(V_{\text{AB}} = 18 \, \text{V}\)

Calcul :

V_3 = 4 \, \Omega \times 1.5 \, \text{A} \] \[ V_3 = 6 \, \text{V}\] \[ V_4 = 8 \, \Omega \times 1.5 \, \text{A} \] \[ V_4 = 12 \, \text{V}

Vérification : \(V_3 + V_4 = 6 \, \text{V} + 12 \, \text{V} = 18 \, \text{V}\), ce qui est égal à \(V_{\text{AB}}\).

Résultat Question 9 : Les tensions sont \(V_3 = 6 \, \text{V}\) et \(V_4 = 12 \, \text{V}\).

Question 10 : Puissance dissipée par chaque résistance

Principe :

La puissance dissipée par une résistance \(R\) traversée par un courant \(I\) est \(P = I^2R\).

Calculs :

Pour \(R_1\): \(I_1 = I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)

\begin{aligned} P_1 &= I_1^2 R_1 \\ &= (3 \, \text{A})^2 \times 2 \, \Omega \\ &= 9 \times 2 \\ &= 18 \, \text{W} \end{aligned}

Pour \(R_2\): \(I_2 = 1.5 \, \text{A}\)

\begin{aligned} P_2 &= I_2^2 R_2 \\ &= (1.5 \, \text{A})^2 \times 12 \, \Omega \\ &= 2.25 \times 12 \\ &= 27 \, \text{W} \end{aligned}

Pour \(R_3\): \(I_3 = I_{\text{R3R4}} = 1.5 \, \text{A}\)

\begin{aligned} P_3 &= I_{\text{R3R4}}^2 R_3 \\ &= (1.5 \, \text{A})^2 \times 4 \, \Omega \\ &= 2.25 \times 4 \\ &= 9 \, \text{W} \end{aligned}

Pour \(R_4\): \(I_4 = I_{\text{R3R4}} = 1.5 \, \text{A}\)

\begin{aligned} P_4 &= I_{\text{R3R4}}^2 R_4 \\ &= (1.5 \, \text{A})^2 \times 8 \, \Omega \\ &= 2.25 \times 8 \\ &= 18 \, \text{W} \end{aligned}

Résultat Question 10 :

\(P_1 = 18 \, \text{W}\)
\(P_2 = 27 \, \text{W}\)
\(P_3 = 9 \, \text{W}\)
\(P_4 = 18 \, \text{W}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Si la valeur de \(R_1\) augmente, le courant total \(I_{total}\) va :

Augmenter.
Rester le même.
Devenir nul.
Diminuer.

Question 11 : Puissance totale fournie par la source et vérification

Principe :

La puissance totale fournie par la source est \(P_{\text{source}} = V_{\text{s}} \times I_{\text{total}}\). Elle doit être égale à la somme des puissances dissipées par toutes les résistances du circuit.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{\text{source}} = V_{\text{s}} I_{\text{total}}\] \[P_{\text{dissipée\_totale}} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4

Données :

\(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
\(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
\(P_1 = 18 \, \text{W}\)
\(P_2 = 27 \, \text{W}\)
\(P_3 = 9 \, \text{W}\)
\(P_4 = 18 \, \text{W}\)

Calcul :

\begin{aligned} P_{\text{source}} &= 24 \, \text{V} \times 3 \, \text{A} \\ &= 72 \, \text{W} \\ P_{\text{dissipée\_totale}} &= P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \\ &= 18 \, \text{W} + 27 \, \text{W} + 9 \, \text{W} + 18 \, \text{W} \\ &= 72 \, \text{W} \end{aligned}

Comparaison : \(P_{\text{source}} = 72 \, \text{W}\) et \(P_{\text{dissipée\_totale}} = 72 \, \text{W}\).

Résultat Question 11 : La puissance fournie par la source est \(P_{\text{source}} = 72 \, \text{W}\), ce qui est égal à la puissance totale dissipée par les résistances.

Glossaire

Circuit Série-Parallèle (Mixte): Un circuit électrique qui contient des combinaisons de composants connectés à la fois en série et en parallèle.
Résistance Équivalente: La valeur d'une résistance unique qui aurait le même effet global sur le circuit que le groupement de résistances qu'elle remplace.
Loi d'Ohm: Stipule que \(V = IR\), où \(V\) est la tension, \(I\) le courant, et \(R\) la résistance.
Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL): La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants en sortant.
Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL): La somme algébrique des tensions autour de toute boucle fermée (maille) est nulle.
Puissance Électrique (P): Taux de transfert d'énergie électrique, mesuré en Watts (W). Pour une résistance, \(P = VI = I^2R = V^2/R\).

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Données de l'étude

Schéma : Circuit DC Série-Parallèle

Questions à traiter

Correction : Analyse d’un Circuit en Série-Parallèle

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq34}}\)) de \(R_3\) et \(R_4\) en série

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eqP}}\)) du groupement parallèle

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 3 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 5 : Tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 7 : Courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 8 : Courant (\(I_{\text{R3R4}}\)) traversant la branche série \(R_3-R_4\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 9 : Tensions (\(V_3\)) et (\(V_4\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 10 : Puissance dissipée par chaque résistance

Principe :

Calculs :

Question 11 : Puissance totale fournie par la source et vérification

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données :

Calcul :

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