Calcul de l'Impédance d'un Circuit RLC Série

Comprendre l'Impédance

L'impédance, notée \(Z\), représente l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle généralise la notion de résistance aux circuits AC en incluant les effets des composants réactifs : les inductances et les capacités. L'impédance est une grandeur complexe qui possède un module (sa "valeur" en Ohms) et une phase (le déphasage qu'elle introduit entre la tension et le courant). La calculer est l'étape fondamentale pour analyser le comportement de n'importe quel circuit AC.

Données de l'étude

On étudie un circuit RLC série soumis à une tension alternative.

Caractéristiques des composants :

Résistance (\(R\)) : \(50 \, \Omega\)
Inductance (\(L\)) : \(200 \, \text{mH}\)
Capacité (\(C\)) : \(50 \, \mu\text{F}\)
Fréquence du signal (\(f\)) : \(60 \, \text{Hz}\)

Schéma du Circuit RLC Série

Questions à traiter

Calculer la pulsation \(\omega\) du circuit.
Calculer la réactance inductive \(X_{\text{L}}\).
Calculer la réactance capacitive \(X_{\text{C}}\).
Déterminer la réactance totale du circuit \(X = X_{\text{L}} - X_{\text{C}}\).
Exprimer l'impédance totale \(Z\) sous sa forme complexe (rectangulaire).
Calculer le module \(|Z|\) et l'angle de phase \(\phi\) de l'impédance (forme polaire).
Dessiner le triangle des impédances.

Correction : Calcul de l'Impédance

Question 1 : Pulsation (\(\omega\))

Formule :

\omega = 2 \pi f

Calcul :

\begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times 60 \, \text{Hz} \\ &\approx 377 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Résultat Q1 : La pulsation est \(\omega \approx 377 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Réactance Inductive (\(X_{\text{L}}\))

Formule :

X_{\text{L}} = L \omega

Calcul :

\begin{aligned} X_{\text{L}} &= (200 \times 10^{-3} \, \text{H}) \times 377 \, \text{rad/s} \\ &\approx 75.4 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Q2 : La réactance inductive est \(X_{\text{L}} \approx 75.4 \, \Omega\).

Question 3 : Réactance Capacitive (\(X_{\text{C}}\))

Formule :

X_{\text{C}} = \frac{1}{C \omega}

Calcul :

\begin{aligned} X_{\text{C}} &= \frac{1}{(50 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 377 \, \text{rad/s}} \\ &= \frac{1}{0.01885} \\ &\approx 53.05 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Q3 : La réactance capacitive est \(X_{\text{C}} \approx 53.05 \, \Omega\).

Question 4 : Réactance Totale (\(X\))

Principe :

La réactance totale d'un circuit série est la différence entre la réactance inductive et la réactance capacitive. Le signe du résultat indique le comportement global du circuit.

Formule :

X = X_{\text{L}} - X_{\text{C}}

Calcul :

\begin{aligned} X &= 75.4 \, \Omega - 53.05 \, \Omega \\ &= 22.35 \, \Omega \end{aligned}

Puisque X est positif, le circuit a un comportement globalement inductif.

Résultat Q4 : La réactance totale est \(X = 22.35 \, \Omega\).

Question 5 : Impédance en Forme Complexe (\(Z\))

Principe :

L'impédance complexe \(Z\) est la somme de sa partie réelle (la résistance \(R\)) et de sa partie imaginaire (la réactance totale \(X\)).

Formule :

Z = R + jX = R + j(X_{\text{L}} - X_{\text{C}})

Application :

Z = 50 + j(22.35) \, \Omega

Résultat Q5 : L'impédance complexe est \(Z = (50 + j22.35) \, \Omega\).

Question 6 : Module \(|Z|\) et Phase \(\phi\)

Principe :

La forme complexe (rectangulaire) peut être convertie en forme polaire, qui se compose d'un module (la "longueur" du vecteur impédance) et d'un angle (son orientation).

Formules :

|Z| = \sqrt{R^2 + X^2} \] \[\phi = \arctan\left(\frac{X}{R}\right)

Calculs :

\begin{aligned} |Z| &= \sqrt{50^2 + 22.35^2} \\ &= \sqrt{2500 + 499.52} \\ &= \sqrt{2999.52} \\ &\approx 54.77 \, \Omega \end{aligned}

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{22.35}{50}\right) \\ &= \arctan(0.447) \\ &\approx 24.09^\circ \end{aligned}

Résultat Q6 : Le module de l'impédance est \(|Z| \approx 54.77 \, \Omega\) et l'angle de phase est \(\phi \approx 24.09^\circ\).

Question 7 : Triangle des Impédances

Construction :

Le triangle des impédances est une représentation graphique de la relation \(Z = R + jX\).

La base du triangle est la résistance \(R\).
La hauteur est la réactance totale \(X\).
L'hypoténuse est le module de l'impédance \(|Z|\).
L'angle entre la base (\(R\)) et l'hypoténuse (\(|Z|\)) est l'angle de phase \(\phi\).

Triangle des Impédances

Quiz Final

1. Si la réactance totale \(X\) est négative, le circuit est globalement...

Capacitif.
Inductif.
Résistif.

2. Le module de l'impédance \(|Z|\) est calculé par :

La somme arithmétique R + X.
La somme vectorielle de R et X (Pythagore).
La différence |R - X|.

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