Détermination du Déphasage Tension-Courant

Comprendre le Déphasage

Dans un circuit en courant alternatif, la tension et le courant ne sont pas toujours parfaitement synchronisés. Le déphasage, noté par la lettre grecque phi (\(\phi\)), est l'angle qui mesure ce décalage temporel entre les deux signaux. Il est crucial pour comprendre le comportement d'un circuit : un déphasage nul indique un circuit purement résistif, un déphasage positif indique un circuit à dominante inductive (le courant est en retard sur la tension), et un déphasage négatif indique un circuit à dominante capacitive (le courant est en avance sur la tension). Cet angle est directement issu du rapport entre la partie réactive et la partie résistive de l'impédance du circuit.

Données de l'étude

Soit un circuit RLC série branché à une source de tension alternative.

Caractéristiques des composants :

Résistance (\(R\)) : \(40 \, \Omega\)
Inductance (\(L\)) : \(100 \, \text{mH}\)
Capacité (\(C\)) : \(100 \, \mu\text{F}\)
Fréquence du signal (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)

Schéma du Circuit RLC Série

Questions à traiter

Calculer les réactances inductive (\(X_{\text{L}}\)) et capacitive (\(X_{\text{C}}\)).
Déterminer la réactance totale du circuit (\(X\)).
Calculer l'angle de déphasage \(\phi\) entre la tension totale et le courant.
Le courant est-il en avance ou en retard sur la tension ? Justifier.
Dessiner le triangle des impédances pour représenter graphiquement le déphasage.

Correction : Détermination du Déphasage

Question 1 : Calcul des Réactances (\(X_{\text{L}}\) et \(X_{\text{C}}\))

Principe :

La première étape est de calculer la pulsation \(\omega = 2\pi f\), puis de l'utiliser pour trouver les oppositions individuelles de la bobine et du condensateur au courant alternatif.

Calcul de la pulsation :

\omega = 2 \times \pi \times 50 \, \text{Hz} \approx 314.16 \, \text{rad/s}

Calcul de \(X_{\text{L}}\) :

\begin{aligned} X_{\text{L}} &= L \omega \\ &= (100 \times 10^{-3} \, \text{H}) \times 314.16 \, \text{rad/s} \\ &\approx 31.42 \, \Omega \end{aligned}

Calcul de \(X_{\text{C}}\) :

\begin{aligned} X_{\text{C}} &= \frac{1}{C \omega} \\ &= \frac{1}{(100 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 314.16 \, \text{rad/s}} \\ &\approx 31.83 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Q1 : \(X_{\text{L}} \approx 31.42 \, \Omega\) et \(X_{\text{C}} \approx 31.83 \, \Omega\).

Question 2 : Réactance Totale (\(X\))

Principe :

La réactance totale du circuit, notée \(X\), est la différence entre la réactance inductive et capacitive. Elle représente la partie imaginaire de l'impédance totale.

Formule :

X = X_{\text{L}} - X_{\text{C}}

Calcul :

\begin{aligned} X &= 31.42 \, \Omega - 31.83 \, \Omega \\ &= -0.41 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Q2 : La réactance totale est \(X = -0.41 \, \Omega\).

Question 3 : Calcul de l'Angle de Déphasage (\(\phi\))

Principe :

L'angle de phase \(\phi\) est l'angle de l'impédance complexe. Il peut être trouvé géométriquement à partir du triangle des impédances. La fonction arc tangente du rapport de la réactance totale sur la résistance donne cet angle.

Formule :

\phi = \arctan\left(\frac{X}{R}\right)

Calcul :

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{-0.41}{40}\right) \\ &= \arctan(-0.01025) \\ &\approx -0.59^\circ \end{aligned}

Résultat Q3 : Le déphasage est \(\phi \approx -0.59^\circ\).

Question 4 : Interprétation du Déphasage

Principe :

Le signe de l'angle de phase \(\phi\) détermine quel signal est en avance sur l'autre. Par convention (tension comme référence 0° pour le circuit), un angle \(\phi\) négatif signifie que le courant est en avance sur la tension.

Justification :

Puisque l'angle de déphasage \(\phi \approx -0.59^\circ\) est **négatif**, cela signifie que la tension est en retard sur le courant, ou de manière équivalente, que **le courant est en avance sur la tension**.

Cela est cohérent avec le fait que la réactance totale \(X\) est négative, ce qui indique un comportement globalement **capacitif** du circuit. Dans un circuit capacitif, le courant est toujours en avance sur la tension.

Résultat Q4 : Le courant est en avance sur la tension car \(\phi < 0\).

Question 5 : Triangle des Impédances

Construction :

Le triangle représente graphiquement les impédances.

La résistance \(R\) est tracée sur l'axe horizontal.
La réactance \(X\) est tracée verticalement. Puisqu'elle est négative, on la trace vers le bas.
L'hypoténuse est le module de l'impédance \(|Z|\), et l'angle qu'elle forme avec l'axe horizontal est \(\phi\).

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