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Analyse de la Résonance en Circuit RLC Parallèle

Analyse de la Résonance en Circuit RLC Parallèle

Comprendre la Résonance Parallèle

La résonance dans un circuit RLC parallèle (aussi appelé circuit "bouchon" ou "tank") se produit à une fréquence spécifique, la fréquence de résonance \(f_0\), où les effets de l'inductance et de la capacité s'annulent mutuellement. Contrairement à la résonance série où l'impédance est minimale, à la résonance parallèle, l'impédance du circuit est à son **maximum**. Le circuit se comporte alors comme une simple résistance. À cette fréquence, le courant total fourni par la source est minimal, car les courants réactifs dans la bobine et le condensateur, étant de même amplitude mais déphasés de 180°, s'annulent.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC parallèle alimenté par une source de courant alternative.

Caractéristiques des composants :

  • Résistance (\(R\)) : \(1 \, \text{k}\Omega\)
  • Inductance (\(L\)) : \(50 \, \text{mH}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(200 \, \text{nF}\)
  • Courant de la source (\(I_{\text{source}}\)) : \(10 \, \text{mA}\)
Schéma du Circuit RLC Parallèle
I_source R L C

Questions à traiter

  1. Calculer la fréquence de résonance angulaire (\(\omega_0\)) et la fréquence de résonance (\(f_0\)).
  2. Calculer l'impédance du circuit \(Z_0\) à la fréquence de résonance.
  3. Déterminer la tension \(V_0\) aux bornes du circuit à la résonance.
  4. Calculer les courants dans chaque branche (\(I_R\), \(I_L\), \(I_C\)) à la résonance.
  5. Calculer le facteur de qualité \(Q\) du circuit.

Analyse de la Résonance en Circuit RLC Parallèle

Question 1 : Fréquence de Résonance (\(\omega_0\) et \(f_0\))

Principe :

La fréquence de résonance est la fréquence pour laquelle les réactances inductive et capacitive sont égales en magnitude (\(X_L = X_C\)), ce qui provoque l'annulation de leurs effets.

Formule :
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \text{et} \quad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{(50 \times 10^{-3} \, \text{H}) \times (200 \times 10^{-9} \, \text{F})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \\ &= \frac{1}{1 \times 10^{-4}} \\ &= 10000 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_0 &= \frac{10000}{2\pi} \\ &\approx 1591.5 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Q1 : \(\omega_0 = 10000 \, \text{rad/s}\) et \(f_0 \approx 1.59 \, \text{kHz}\).

Question 2 : Impédance à la Résonance (\(Z_0\))

Principe :

À la résonance, les courants dans la bobine et le condensateur s'annulent. L'admittance totale (\(Y_0\)) est alors minimale et égale à l'inverse de la résistance (\(1/R\)). L'impédance (\(Z_0 = 1/Y_0\)), est donc maximale et purement résistive.

Formule :
\[ Z_0 = R \]
Application :
\[ Z_0 = 1 \, \text{k}\Omega = 1000 \, \Omega \]
Résultat Q2 : L'impédance à la résonance est \(Z_0 = 1000 \, \Omega\).

Question 3 : Tension à la Résonance (\(V_0\))

Principe :

La tension aux bornes du circuit parallèle est la même pour toutes les branches. Elle est obtenue par la loi d'Ohm, en utilisant le courant total de la source et l'impédance du circuit à la résonance.

Formule :
\[ V_0 = Z_0 \times I_{\text{source}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_0 &= 1000 \, \Omega \times (10 \times 10^{-3} \, \text{A}) \\ &= 10 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Q3 : La tension aux bornes du circuit est \(V_0 = 10 \, \text{V}\).

Question 4 : Courants de Branche à la Résonance

Principe :

Les courants dans chaque branche sont calculés avec la loi d'Ohm, en utilisant la tension de résonance \(V_0\). Il faut d'abord calculer les réactances \(X_L\) et \(X_C\) à la fréquence de résonance \(\omega_0\).

Calcul des réactances à \(\omega_0\) :
\[ X_L = L\omega_0 = (50 \times 10^{-3}) \times 10000 = 500 \, \Omega \]
\[ X_C = \frac{1}{C\omega_0} = \frac{1}{(200 \times 10^{-9}) \times 10000} = 500 \, \Omega \]

Comme attendu à la résonance, \(X_L = X_C\).

Calcul des courants :
\[ I_R = \frac{V_0}{R} = \frac{10 \, \text{V}}{1000 \, \Omega} = 10 \, \text{mA} \]
\[ I_L = \frac{V_0}{X_L} = \frac{10 \, \text{V}}{500 \, \Omega} = 20 \, \text{mA} \]
\[ I_C = \frac{V_0}{X_C} = \frac{10 \, \text{V}}{500 \, \Omega} = 20 \, \text{mA} \]

Note : le courant de la source (\(10 \, \text{mA}\)) est égal au courant dans la résistance. Les courants dans L et C sont plus grands mais s'annulent mutuellement.

Résultat Q4 : Les courants sont \(I_R = 10 \, \text{mA}\), \(I_L = 20 \, \text{mA}\), et \(I_C = 20 \, \text{mA}\).

Question 5 : Facteur de Qualité (\(Q\))

Principe :

Le facteur de qualité \(Q\) d'un circuit parallèle mesure l' "acuité" de la résonance. Il représente le rapport entre le courant circulant dans les branches réactives (\(I_L\) ou \(I_C\)) et le courant total de la source (\(I_R\)) à la résonance. Un Q élevé signifie une résonance très sélective.

Formule :
\[ Q = R \sqrt{\frac{C}{L}} \quad \text{ou} \quad Q = \frac{I_L}{I_R} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 1000 \times \sqrt{\frac{200 \times 10^{-9}}{50 \times 10^{-3}}} \\ &= 1000 \times \sqrt{4 \times 10^{-6}} \\ &= 1000 \times (2 \times 10^{-3}) \\ &= 2 \end{aligned} \]
Résultat Q5 : Le facteur de qualité est \(Q=2\).
Analyse de la Résonance - Exercice d'Application

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