Analyse Circuit par le Théorème de Superposition

Exercice : Théorème de Superposition

Analyse de Circuit par Théorème de Superposition

Contexte : Analyse de circuits électriques linéaires.

Le théorème de superpositionPrincipe fondamental en analyse de circuits linéaires permettant de calculer la réponse (tension ou courant) due à plusieurs sources indépendantes en considérant l'effet de chaque source séparément. est un outil puissant pour analyser les circuits linéairesCircuit électrique dont les composants (résistances, capacités, inductances) ont des caractéristiques qui ne dépendent pas de la tension ou du courant qui les traverse. La relation entre tension et courant est proportionnelle. contenant plusieurs sources indépendantesSource de tension ou de courant dont la valeur ne dépend pas d'autres tensions ou courants dans le circuit.. Il simplifie l'analyse en permettant de calculer la contribution de chaque source individuellement, puis en additionnant ces contributions pour obtenir la réponse totale. Cet exercice vous guidera à travers l'application de ce théorème pour déterminer le courant dans une branche spécifique d'un circuit DC simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à renforcer votre compréhension du théorème de superposition et votre capacité à analyser méthodiquement des circuits avec plusieurs sources. Il met l'accent sur la décomposition du problème et l'application correcte des règles d'extinction des sources.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe du théorème de superposition.
Savoir comment "éteindre" correctement les sources de tension et de courant indépendantes.
Appliquer le théorème pour calculer un courant dans un circuit DC linéaire.
Analyser des circuits simplifiés obtenus après extinction des sources.
Combiner algébriquement les contributions individuelles pour trouver la réponse totale.

Données de l'étude

Considérons le circuit électrique DC représenté ci-dessous, contenant deux sources de tension indépendantes et trois résistances.

Schéma du Circuit Électrique

Composant	Symbole	Valeur	Unité
Source de tension 1	V1	12	V
Source de tension 2	V2	6	V
Résistance 1	R1	2	Ω (Ohm)
Résistance 2	R2	4	Ω (Ohm)
Résistance 3	R3	3	Ω (Ohm)

Questions à traiter

En utilisant le théorème de superposition, déterminez :

Le courant Ix' traversant la résistance R2 dû uniquement à la source V1 (V2 éteinte).
Le courant Ix'' traversant la résistance R2 dû uniquement à la source V2 (V1 éteinte).
Le courant total Ix traversant la résistance R2 lorsque les deux sources sont actives.
La tension \(V_{R2}\) aux bornes de la résistance R2.
La puissance \(P_{R2}\) dissipée par la résistance R2.

Les bases sur le Théorème de Superposition

Le théorème de superposition s'applique aux circuits électriques linéaires et stipule que la réponse (tension ou courant) en un point quelconque du circuit due à l'action simultanée de plusieurs sources indépendantes est égale à la somme algébrique des réponses individuelles obtenues en faisant agir chaque source indépendante seule, tandis que les autres sont "éteintes".

1. Principe de Linéarité
Le théorème repose sur la propriété de linéarité des circuits. Dans un circuit linéaire, la relation entre la cause (source) et l'effet (tension ou courant résultant) est proportionnelle. Doubler la source double la réponse. La réponse à une somme de sources est la somme des réponses à chaque source.

2. Comment "Éteindre" les Sources Indépendantes
Pour appliquer le théorème, on analyse l'effet de chaque source une par une. Pour cela, on éteint toutes les autres sources indépendantes :

Une source de tensionComposant qui maintient une tension constante entre ses bornes, indépendamment du courant qui la traverse. indépendante est éteinte en la remplaçant par un court-circuitConnexion de résistance nulle (idéalement) entre deux points d'un circuit. La tension entre ces deux points devient nulle. (un fil conducteur, tension nulle).
Une source de courantComposant qui fournit un courant constant, indépendamment de la tension à ses bornes. indépendante est éteinte en la remplaçant par un circuit ouvertInterruption dans un circuit électrique, empêchant le passage du courant (résistance infinie, courant nul). (une interruption du circuit, courant nul).

Les sources dépendantes, si présentes, ne sont jamais éteintes et restent actives dans toutes les étapes d'analyse.

3. Sommation Algébrique
Une fois que l'on a calculé la réponse (par exemple, le courant Ix) due à chaque source agissant seule (Ix', Ix'', etc.), la réponse totale est obtenue en additionnant ces contributions. Il est crucial de faire attention au sens (signe) de chaque contribution. \[ I_x = I_x' + I_x'' + \dots \]

Correction : Analyse de Circuit par Théorème de Superposition

Question 1 : Calcul de Ix' (effet de V1 seule)

Principe

Pour trouver la contribution de V1 au courant Ix, nous devons éteindre toutes les autres sources indépendantes (ici, V2) et analyser le circuit simplifié résultant.

Mini-Cours

Éteindre une source de tension indépendante signifie la remplacer par un court-circuit (tension nulle, résistance nulle). Le circuit se simplifie, montrant que R2 et R3 sont en parallèle. Cette combinaison est ensuite en série avec R1.

Remarque Pédagogique

Conseil : Toujours redessiner le circuit simplifié. Cela évite les erreurs d'interprétation en montrant clairement les nouvelles relations entre les composants (série/parallèle).

Normes

Les calculs suivent les lois fondamentales de l'électricité (Loi d'Ohm, Lois de Kirchhoff) telles que définies par la Commission Électrotechnique Internationale (CEI).

Formule(s)

Formule des résistances en parallèle :

R_{\text{eq}} = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B}

Formule des résistances en série :

R_{\text{eq}} = R_A + R_B

Loi d'Ohm :

V = R \times I

Formule du diviseur de courant :

I_x = I_{\text{total}} \times \frac{R_{\text{autre}}}{R_x + R_{\text{autre}}}

Hypothèses

Le circuit est linéaire. Les composants sont idéaux (résistances constantes, sources de tension parfaites sans résistance interne, fils de connexion de résistance nulle).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Note
Source 1	\(V_1\)	12	V	Active
Source 2	\(V_2\)	0	V	\(\text{Éteinte (court-circuit)}\)
Résistance 1	\(R_1\)	2	\(\Omega\)
Résistance 2	\(R_2\)	4	\(\Omega\)
Résistance 3	\(R_3\)	3	\(\Omega\)

Astuces

Pour trouver \(I_x'\), on a besoin du courant total \(I_{\text{tot}}'\). Pour cela, le plus simple est de calculer la résistance équivalente \(R_{\text{tot}}'\) vue par la source \(V_1\).

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avec V1 seule active

Calcul(s)

1. Calcul de la résistance équivalente de R2 et R3 en parallèle \(R_{23}\) :

\begin{aligned} R_{23} &= \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \\ &= \frac{4 \text{ }\Omega \times 3 \text{ }\Omega}{4 \text{ }\Omega + 3 \text{ }\Omega} \\ &= \frac{12}{7} \text{ }\Omega \\ &\approx 1.714 \text{ }\Omega \end{aligned}

2. Calcul de la résistance totale vue par V1 (\(R_{\text{tot}}'\) = R1 en série avec R23) :

\begin{aligned} R_{\text{tot}}' &= R_1 + R_{23} \\ &= 2 \text{ }\Omega + \frac{12}{7} \text{ }\Omega \\ &= \frac{14 \text{ }\Omega + 12 \text{ }\Omega}{7} \\ &= \frac{26}{7} \text{ }\Omega \\ &\approx 3.714 \text{ }\Omega \end{aligned}

3. Calcul du courant total \(I_{\text{tot}}'\) débité par V1 :

\begin{aligned} I_{\text{tot}}' &= \frac{V_1}{R_{\text{tot}}'} \\ &= \frac{12 \text{ V}}{26/7 \text{ }\Omega} \\ &= \frac{12 \times 7}{26} \text{ A} \\ &= \frac{84}{26} \text{ A} \\ &= \frac{42}{13} \text{ A} \\ &\approx 3.231 \text{ A} \end{aligned}

4. Calcul de \(I_x'\) (courant dans R2) par diviseur de courant :

\begin{aligned} I_x' &= I_{\text{tot}}' \times \frac{R_3}{R_2 + R_3} \\ &= \frac{42}{13} \text{ A} \times \frac{3 \text{ }\Omega}{(4 + 3) \text{ }\Omega} \\ &= \frac{42}{13} \times \frac{3}{7} \text{ A} \\ &= \frac{6 \times 3}{13} \text{ A} \\ &= \frac{18}{13} \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma avec les valeurs \(I_{tot}'\) et \(I_x'\) indiquées

Réflexions

Le courant \(I_x'\) vaut environ 1.385 A. Il est positif, ce qui signifie qu'il circule dans le sens de la flèche \(I_x\) (de haut en bas), car la source V1 "pousse" le courant dans cette direction à travers la branche R2/R3.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser la formule du diviseur de courant (utiliser \(R_2\) au numérateur au lieu de \(R_3\)). Rappelez-vous : le courant est plus attiré par la branche de *plus faible* résistance, la formule utilise donc la résistance de l' *autre* branche au numérateur.

Points à retenir

Éteindre une source de tension = court-circuit.
Un court-circuit en parallèle d'une résistance "annule" cette résistance (le courant passe par le court-circuit). Ici, R2 et R3 se retrouvent en parallèle.
Le diviseur de courant est essentiel pour les branches parallèles.

Le saviez-vous ?

Le théorème de superposition a été formulé par Hermann von Helmholtz en 1853.

FAQ

Résultat Final

Le courant traversant R2 dû uniquement à V1 est \(I_x' = \frac{18}{13} \text{ A} \approx 1.385 \text{ A}\) (dirigé vers le bas).

A vous de jouer

Quel serait \(I_x'\) si R3 valait 6 Ohms ?

Question 2 : Calcul de Ix'' (effet de V2 seule)

Principe

Pour trouver la contribution de V2 au courant Ix, nous éteignons V1 (en la remplaçant par un court-circuit) et analysons le nouveau circuit simplifié.

Mini-Cours

Similaire à l'étape 1, éteindre V1 (court-circuit) place R1 et R2 en parallèle. Cette combinaison R12 est ensuite en série avec R3, vue depuis la source V2.

Remarque Pédagogique

Conseil : Notez la symétrie du problème. La méthode est identique à l'étape 1, seuls les composants changent de place. C'est une bonne occasion de vérifier votre maîtrise de l'analyse série/parallèle.

Normes

Les mêmes lois fondamentales de l'électricité (Ohm, Kirchhoff) s'appliquent.

Formule(s)

Formule des résistances en parallèle :

R_{\text{eq, parallèle}} = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B}

Formule des résistances en série :

R_{\text{eq, série}} = R_A + R_B

Loi d'Ohm pour le courant total :

I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{source}}}{R_{\text{totale}}}

Formule du diviseur de courant :

I_x = I_{\text{total}} \times \frac{R_{\text{autre}}}{R_x + R_{\text{autre}}}

Hypothèses

Identiques à la Question 1 : circuit linéaire, composants idéaux.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Note
Source 1	\(V_1\)	0	V	\(\text{Éteinte (court-circuit)}\)
Source 2	\(V_2\)	6	V	Active
Résistance 1	\(R_1\)	2	\(\Omega\)
Résistance 2	\(R_2\)	4	\(\Omega\)
Résistance 3	\(R_3\)	3	\(\Omega\)

Astuces

Le courant \(I_{\text{tot}}''\) part de V2. Il se divise au nœud R1/R2. \(I_x''\) est la part de ce courant qui traverse R2. Faites attention au sens : V2 pousse le courant dans le sens (haut vers bas) de \(I_x\). Le résultat \(I_x''\) sera donc positif.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avec V2 seule active

Calcul(s)

1. Calcul de la résistance équivalente de R1 et R2 en parallèle \(R_{12}\) :

\begin{aligned} R_{12} &= \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \\ &= \frac{2 \text{ }\Omega \times 4 \text{ }\Omega}{2 \text{ }\Omega + 4 \text{ }\Omega} \\ &= \frac{8}{6} \text{ }\Omega \\ &= \frac{4}{3} \text{ }\Omega \\ &\approx 1.333 \text{ }\Omega \end{aligned}

2. Calcul de la résistance totale vue par V2 (\(R_{\text{tot}}''\) = R3 en série avec R12) :

\begin{aligned} R_{\text{tot}}'' &= R_3 + R_{12} \\ &= 3 \text{ }\Omega + \frac{4}{3} \text{ }\Omega \\ &= \frac{9 \text{ }\Omega + 4 \text{ }\Omega}{3} \\ &= \frac{13}{3} \text{ }\Omega \\ &\approx 4.333 \text{ }\Omega \end{aligned}

3. Calcul du courant total \(I_{\text{tot}}''\) débité par V2 :

\begin{aligned} I_{\text{tot}}'' &= \frac{V_2}{R_{\text{tot}}''} \\ &= \frac{6 \text{ V}}{13/3 \text{ }\Omega} \\ &= \frac{6 \times 3}{13} \text{ A} \\ &= \frac{18}{13} \text{ A} \\ &\approx 1.385 \text{ A} \end{aligned}

4. Calcul de \(I_x''\) (courant dans R2) par diviseur de courant :

\begin{aligned} I_x'' &= I_{\text{tot}}'' \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} \\ &= \frac{18}{13} \text{ A} \times \frac{2 \text{ }\Omega}{(2 + 4) \text{ }\Omega} \\ &= \frac{18}{13} \times \frac{2}{6} \text{ A} \\ &= \frac{18}{13} \times \frac{1}{3} \text{ A} \\ &= \frac{6}{13} \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma avec les valeurs \(I_{tot}''\) et \(I_x''\) indiquées

Réflexions

Le courant \(I_x''\) vaut environ 0.462 A. Il est également positif, circulant de haut en bas, car V2 pousse le courant dans cette direction.

Points de vigilance

Ici, pour le diviseur de courant, \(R_1\) est "l'autre" résistance. La formule est \(I_x'' = I_{\text{tot}}'' \times \frac{R_1}{R_1+R_2}\). Ne confondez pas avec le calcul de l'étape 1.

Points à retenir

L'analyse est symétrique mais pas identique.
Le courant total \(I_{\text{tot}}''\) n'est pas le même que \(I_x''\). \(I_{\text{tot}}''\) est le courant qui sort de V2, \(I_x''\) est la partie qui traverse R2.

Le saviez-vous ?

Le même principe de superposition est utilisé en mécanique des ondes, où l'amplitude totale de deux ondes qui se rencontrent est la somme de leurs amplitudes individuelles.

FAQ

Résultat Final

Le courant traversant R2 dû uniquement à V2 est \(I_x'' = \frac{6}{13} \text{ A} \approx 0.462 \text{ A}\) (dirigé vers le bas).

A vous de jouer

Quel serait \(I_x''\) si R1 et R2 avaient la même valeur ?

Question 3 : Calcul du courant total Ix

Principe

Le théorème de superposition stipule que le courant total Ix est la somme algébrique des courants partiels (contributions) \(I_x'\) et \(I_x''\) calculés précédemment, en respectant leur sens.

Mini-Cours

La linéarité, au cœur de ce théorème, implique que la réponse totale est la somme des réponses individuelles. Si \(f(V_1 + V_2) = f(V_1) + f(V_2)\), alors \(I_x(V_1, V_2) = I_x(V_1, 0) + I_x(0, V_2)\). C'est ce que nous appliquons ici : \(I_x = I_x' + I_x''\).

Remarque Pédagogique

Conseil : C'est l'étape la plus simple, mais la plus critique. Une erreur de signe ici annule tout le travail précédent. Vérifiez toujours : "Le courant \(I_x'\) va-t-il dans le même sens que la flèche \(I_x\) ? Oui -> Positif. Non -> Négatif." Faites de même pour \(I_x''\).

Normes

Ce principe de sommation est une conséquence mathématique directe de l'analyse des systèmes linéaires, applicable bien au-delà de l'électronique (ex: mécanique des structures, acoustique).

Formule(s)

Formule de superposition pour le courant \(I_x\) :

\[ I_x = I_x' + I_x'' \]

Hypothèses

Les calculs de \(I_x'\) et \(I_x''\) sont supposés corrects.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Note
Courant dû à V1	\(I_x'\)	\(\frac{18}{13}\)	A	\(\text{Sens de } I_x\)
Courant dû à V2	\(I_x''\)	\(\frac{6}{13}\)	A	\(\text{Sens de } I_x\)

Astuces

Puisque les deux contributions vont dans le même sens (vers le bas), on s'attend à ce que les deux sources "s'aident" mutuellement. Le courant total doit être plus grand que chaque contribution individuelle, ce qui est le cas.

Schéma (Avant les calculs)

Superposition conceptuelle des courants

Calcul(s)

Somme algébrique des courants \(I_x'\) et \(I_x''\) :

\begin{aligned} I_x &= I_x' + I_x'' \\ &= \frac{18}{13} \text{ A} + \frac{6}{13} \text{ A} \\ &= \frac{18 + 6}{13} \text{ A} \\ &= \frac{24}{13} \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma final du circuit complet avec \(I_x\)

Réflexions

La valeur \(I_x = \frac{24}{13} A \approx 1.846 A\) représente le courant réel circulant dans la résistance R2 lorsque les deux sources V1 et V2 sont actives simultanément. Ce résultat aurait pu être obtenu par d'autres méthodes (lois de Kirchhoff, méthode des mailles, méthode des nœuds), mais la superposition a permis de décomposer le problème.

Points de vigilance

La principale source d'erreur avec la superposition est le sens des courants. Si \(I_x''\) avait circulé dans le sens opposé (de bas en haut), le calcul aurait été \(I_x = I_x' - I_x'' = \frac{18}{13} \text{ A} - \frac{6}{13} \text{ A} = \frac{12}{13} \text{ A}\).

Points à retenir

La superposition simplifie l'analyse des circuits linéaires multi-sources.
La réponse totale est la somme ALGÉBRIQUE des réponses individuelles.
Le sens de référence (la flèche \(I_x\)) est le "juge" : même sens = +, sens opposé = -.

Le saviez-vous ?

Le théorème "jumeau" de la superposition est le Théorème de Thévenin/Norton, qui simplifie le *reste* du circuit vu depuis une branche, plutôt que de simplifier les sources.

FAQ

Résultat Final

Le courant total traversant R2 est \(I_x = \frac{24}{13} \text{ A} \approx 1.846 \text{ A}\) (dirigé vers le bas).

A vous de jouer

Recalculez Ix si V2 était inversée (borne + en bas), valant donc -6V. Quelle serait la nouvelle valeur de Ix en A (arrondie à 3 décimales) ?

Indice : Seule la contribution Ix'' changera de signe. \(I_x = I_x' + (-I_x'')\)

Question 4 : Calcul de la tension \(V_{R2}\)

Principe

Une fois le courant total \(I_x\) traversant la résistance \(R_2\) connu, on peut trouver la tension \(V_{R2}\) à ses bornes en utilisant simplement la loi d'Ohm. La tension est proportionnelle au courant.

Mini-Cours

La loi d'Ohm (\(V=RI\)) est la relation fondamentale pour un composant linéaire passif comme une résistance. La tension \(V_{R2}\) est la "chute de tension" provoquée par le passage du courant \(I_x\) à travers la résistance \(R_2\).

Remarque Pédagogique

Conseil : La convention de signe est importante. Pour un composant passif (résistance), le courant circule toujours du potentiel le plus haut (+) vers le potentiel le plus bas (-). Puisque \(I_x\) va de haut en bas, la borne "haute" de R2 est au potentiel \(V_{R2}\) et la borne "basse" est à la masse (0V).

Normes

La définition du Volt (V), de l'Ohm (\(\Omega\)) et de l'Ampère (A) est standardisée par le Système International d'unités (SI).

Formule(s)

Loi d'Ohm appliquée à R2 :

V_{R2} = R_2 \times I_x

Hypothèses

La résistance R2 obéit parfaitement à la loi d'Ohm.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Note
Courant total dans R2	\(I_x\)	\(\frac{24}{13}\)	A	\(\text{Calculé en Q3}\)
Résistance 2	\(R_2\)	4	\(\Omega\)	\(\text{Donnée de l'énoncé}\)

Astuces

Puisque la tension est aussi linéaire, on aurait pu la calculer avec la superposition : \(V_{R2} = V_{R2}' + V_{R2}''\). \(V_{R2}' = R_2 \times I_x' = 4 \text{ }\Omega \times \frac{18}{13} \text{ A} = \frac{72}{13} \text{ V}\). \(V_{R2}'' = R_2 \times I_x'' = 4 \text{ }\Omega \times \frac{6}{13} \text{ A} = \frac{24}{13} \text{ V}\). La somme \( \frac{72}{13} \text{ V} + \frac{24}{13} \text{ V} = \frac{96}{13} \text{ V}\). Le résultat est identique.

Schéma (Avant les calculs)

Focus sur la Résistance R2

Calcul(s)

Application de la loi d'Ohm :

\begin{aligned} V_{R2} &= R_2 \times I_x \\ &= 4 \text{ }\Omega \times \frac{24}{13} \text{ A} \\ &= \frac{96}{13} \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Circuit final avec tensions et courants

Réflexions

La tension aux bornes de R2 est d'environ 7.385 V. Cette tension est aussi la tension au nœud commun R1/R2/R3, puisque l'autre borne de R2 est à la masse (0V).

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser le courant total \(I_x\) et non l'une de ses composantes (\(I_x'\) ou \(I_x''\)) pour ce calcul final.

Points à retenir

La loi d'Ohm est le lien direct entre le courant et la tension pour une résistance.
La superposition s'applique aussi aux tensions : \(V_{\text{total}} = V' + V''\).

Le saviez-vous ?

Le voltmètre, l'appareil qui mesure la tension, se branche toujours 'en parallèle' aux bornes du composant à mesurer.

FAQ

Résultat Final

La tension aux bornes de R2 est \(V_{R2} = \frac{96}{13} \text{ V} \approx 7.385 \text{ V}\).

A vous de jouer

Quelle serait la tension \(V_{R2}\) si \(R_2\) était de 8 Ohms (indice: refaire les calculs de \(I_x\) d'abord) ?

Question 5 : Calcul de la puissance \(P_{R2}\)

Principe

La puissance dissipée (sous forme de chaleur) par une résistance est le produit de la tension à ses bornes et du courant qui la traverse. Elle représente l'énergie consommée par seconde.

Mini-Cours

La puissance \(P\) est une grandeur non-linéaire. Elle dépend du carré du courant (\(P=RI^2\)) ou du carré de la tension (\(P=V^2/R\)). À cause de cette relation au carré, le principe de superposition ne s'applique PAS à la puissance. \(P_{\text{tot}} \neq P' + P''\).

Remarque Pédagogique

Conseil : Calculez TOUJOURS la puissance en DERNIER. Utilisez les valeurs totales (courant total \(I_x\) ou tension totale \(V_{R2}\)) que vous venez de trouver. N'essayez jamais de sommer les puissances calculées à chaque étape de la superposition.

Normes

La puissance se mesure en Watts (W), en l'honneur de James Watt. \(1 \text{ Watt} = 1 \text{ Volt} \times 1 \text{ Ampère}\).

Formule(s)

Formules de la puissance pour une résistance :

P_{R2} = V_{R2} \times I_x

P_{R2} = R_2 \times (I_x)^2

P_{R2} = \frac{(V_{R2})^2}{R_2}

Hypothèses

Toute l'énergie électrique consommée par R2 est dissipée sous forme de chaleur (effet Joule).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Note
Courant total dans R2	\(I_x\)	\(\frac{24}{13}\)	A	\(\text{Calculé en Q3}\)
Tension aux bornes de R2	\(V_{R2}\)	\(\frac{96}{13}\)	V	\(\text{Calculé en Q4}\)
Résistance 2	\(R_2\)	4	\(\Omega\)	\(\text{Donnée de l'énoncé}\)

Astuces

Utiliser \(P = R I^2\) ou \(P = V^2 / R\) est souvent plus simple que \(P = V I\) car cela évite d'utiliser deux valeurs calculées (on n'utilise qu'une valeur calculée et une donnée de l'énoncé), ce qui limite la propagation d'erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

Résistance R2 dissipant de la chaleur

Calcul(s)

Calcul avec la formule \(P = R \times I^2\) :

\begin{aligned} P_{R2} &= R_2 \times (I_x)^2 \\ &= 4 \text{ }\Omega \times \left(\frac{24}{13} \text{ A}\right)^2 \\ &= 4 \text{ }\Omega \times \frac{576}{169} \text{ A}^2 \\ &= \frac{2304}{169} \text{ W} \end{aligned}

Vérification avec la formule \(P = V \times I\) :

\begin{aligned} P_{R2} &= V_{R2} \times I_x \\ &= \left(\frac{96}{13} \text{ V}\right) \times \left(\frac{24}{13} \text{ A}\right) \\ &= \frac{2304}{169} \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Circuit final avec Puissance \(P_{R2}\)

Réflexions

La résistance R2 dissipe environ 13.6 Watts. Cette information est cruciale dans la conception d'un circuit réel pour choisir une résistance capable de supporter cette chaleur sans brûler (par exemple, une résistance de 20W).

Points de vigilance

NE PAS FAIRE : \(P' = R_2 (I_x')^2 = 4 \text{ }\Omega \times (\frac{18}{13} \text{ A})^2 \approx 7.69 \text{ W}\). \(P'' = R_2 (I_x'')^2 = 4 \text{ }\Omega \times (\frac{6}{13} \text{ A})^2 \approx 0.85 \text{ W}\). La somme \(P'+P'' \approx 8.54 \text{ W}\), ce qui est TRES différent de la vraie puissance de \(13.63 \text{ W}\). La superposition ne s'applique pas à la puissance !

Points à retenir

La puissance (\(P=RI^2\)) n'est pas linéaire.
Le théorème de superposition ne s'applique PAS à la puissance.
Calculez toujours la puissance à la fin, en utilisant le courant TOTAL ou la tension TOTALE.

Le saviez-vous ?

La puissance moyenne peut être superposée, mais seulement dans des cas très spécifiques en régime AC (courant alternatif) lorsque les sources ont des fréquences différentes et qu'on s'intéresse à la puissance moyenne sur une longue période.

FAQ

Résultat Final

La puissance dissipée par R2 est \(P_{R2} = \frac{2304}{169} \text{ W} \approx 13.633 \text{ W}\).

A vous de jouer

En utilisant le résultat de 'A vous de jouer' de la Q3 (où \(I_x = 0.923 A\)), quelle serait la nouvelle puissance \(P_{R2}\) ?

Outil Interactif : Influence des Sources sur Ix

Utilisez les curseurs pour faire varier les tensions V1 et V2 et observez comment le courant Ix dans R2 change. Le graphique montre l'évolution de Ix en fonction de V1 (pour la valeur de V2 sélectionnée).

Paramètres d'Entrée

Tension V1 (V) 12 V

Tension V2 (V) 6 V

Résultats Clés

Courant Ix' (dû à V1) (A) -

Courant Ix'' (dû à V2) (A) -

Courant Total Ix (A) -

Glossaire des Termes Clés

Circuit Linéaire: Circuit électrique dont les composants (résistances, capacités, inductances idéales) ont des caractéristiques constantes, indépendantes de la tension ou du courant. La relation tension-courant est proportionnelle (obéit à la loi d'Ohm pour les résistances).
Source Indépendante: Source de tension ou de courant dont la valeur (tension ou courant fourni) ne dépend d'aucune autre tension ou courant dans le circuit. Sa valeur est fixe ou varie en fonction du temps de manière prédéfinie.
Source de Tension: Composant (idéal) qui maintient une tension constante (ou définie) entre ses bornes, quel que soit le courant qui le traverse.
Source de Courant: Composant (idéal) qui fournit un courant constant (ou défini), quelle que soit la tension à ses bornes.
Théorème de Superposition: Principe affirmant que dans un circuit linéaire, la réponse totale due à plusieurs sources indépendantes est la somme algébrique des réponses dues à chaque source agissant seule, les autres étant éteintes.
Court-Circuit: Une connexion de résistance idéalement nulle entre deux points. Implique une tension nulle entre ces points. Utilisé pour éteindre une source de tension idéale.
Circuit Ouvert: Une interruption dans un circuit qui empêche le passage du courant (résistance idéalement infinie). Implique un courant nul à travers l'interruption. Utilisé pour éteindre une source de courant idéale.
Diviseur de Courant: Formule utilisée pour calculer comment le courant se répartit entre plusieurs branches parallèles. Le courant dans une branche est proportionnel à la résistance totale des autres branches parallèles.

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