Analyse de Circuit avec Lois d’Ohm et de Kirchhoff
Analyser un circuit électrique simple en courant continu en utilisant la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff pour déterminer les courants et les tensions.
L'analyse des circuits électriques repose sur des lois fondamentales. La loi d'Ohm établit une relation entre la tension (\(U\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) dans un conducteur ohmique :
Les lois de Kirchhoff complètent la loi d'Ohm pour analyser des circuits plus complexes :
- Loi des Nœuds (Loi des Courants de Kirchhoff - LCK / KCL) : La somme algébrique des courants électriques qui entrent par un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent. Autrement dit, la somme algébrique des courants en un nœud est nulle.
\[ \sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}} \quad \text{ou} \quad \sum I = 0 \]
- Loi des Mailles (Loi des Tensions de Kirchhoff - LTK / KVL) : Dans une maille quelconque d'un réseau électrique, la somme algébrique des tensions le long de cette maille est nulle.
\[ \sum U = 0 \]
Ces lois permettent de déterminer les tensions et les courants en différents points d'un circuit.
Données du Problème
Considérons le circuit en courant continu suivant :
- Source de tension continue : \(E = 12 \text{ V}\)
- Résistance \(R_1 = 2 \, \Omega\)
- Résistance \(R_2 = 6 \, \Omega\)
- Résistance \(R_3 = 3 \, \Omega\)
Dans ce circuit, \(R_2\) et \(R_3\) sont montées en parallèle, et cet ensemble est en série avec \(R_1\) et la source de tension \(E\).
Questions
- Calculer la résistance équivalente \(R_{23}\) de l'ensemble parallèle (\(R_2 \parallel R_3\)).
- Calculer la résistance équivalente totale \(R_{eq}\) du circuit vue par la source.
- Calculer le courant total \(I_1\) débité par la source \(E\).
- Calculer la tension \(U_{R1}\) aux bornes de la résistance \(R_1\).
- Calculer la tension \(U_{AB}\) aux bornes de l'ensemble parallèle (\(R_2 \parallel R_3\)).
- Calculer les courants \(I_2\) et \(I_3\) traversant respectivement les résistances \(R_2\) et \(R_3\). Vérifier la loi des nœuds au nœud A.
Correction : Analyse de Circuit avec Lois d’Ohm et de Kirchhoff
1. Calcul de la Résistance Équivalente (\(R_{23}\)) de (\(R_2 \parallel R_3\))
Pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente \(R_p\) est donnée par \(1/R_p = 1/R_a + 1/R_b\), ou \(R_p = (R_a \cdot R_b) / (R_a + R_b)\).
Données :
\(R_2 = 6 \, \Omega\)
\(R_3 = 3 \, \Omega\)
La résistance équivalente de \(R_2 \parallel R_3\) est \(R_{23} = 2 \, \Omega\).
2. Calcul de la Résistance Équivalente Totale (\(R_{eq}\))
La résistance \(R_1\) est en série avec l'ensemble \(R_{23}\). Pour des résistances en série, la résistance équivalente est la somme des résistances.
Données :
\(R_1 = 2 \, \Omega\)
\(R_{23} = 2 \, \Omega\) (calculé à l'étape 1)
La résistance équivalente totale du circuit est \(R_{eq} = 4 \, \Omega\).
3. Calcul du Courant Total (\(I_1\))
On utilise la loi d'Ohm pour le circuit complet : \(E = R_{eq} \cdot I_1\).
Données :
\(E = 12 \text{ V}\)
\(R_{eq} = 4 \, \Omega\) (calculé à l'étape 2)
Le courant total débité par la source est \(I_1 = 3 \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire : Loi d'Ohm
4. Calcul de la Tension (\(U_{R1}\)) aux Bornes de \(R_1\)
On utilise la loi d'Ohm pour la résistance \(R_1\) : \(U_{R1} = R_1 \cdot I_1\).
Données :
\(R_1 = 2 \, \Omega\)
\(I_1 = 3 \text{ A}\) (calculé à l'étape 3)
La tension aux bornes de \(R_1\) est \(U_{R1} = 6 \text{ V}\).
5. Calcul de la Tension (\(U_{AB}\)) aux Bornes de (\(R_2 \parallel R_3\))
La tension \(U_{AB}\) peut être calculée de deux manières :
1. En utilisant la loi d'Ohm pour l'ensemble \(R_{23}\) traversé par \(I_1\) : \(U_{AB} = R_{23} \cdot I_1\).
2. En utilisant la loi des mailles sur la maille principale : \(E - U_{R1} - U_{AB} = 0 \rightarrow U_{AB} = E - U_{R1}\).
Données :
\(R_{23} = 2 \, \Omega\)
\(I_1 = 3 \text{ A}\)
\(E = 12 \text{ V}\)
\(U_{R1} = 6 \text{ V}\) (calculé à l'étape 4)
Méthode 1 :
Méthode 2 :
La tension aux bornes de l'ensemble parallèle est \(U_{AB} = 6 \text{ V}\).
6. Calcul des Courants (\(I_2\)) et (\(I_3\)), et Vérification de la LCK
Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) sont soumises à la même tension \(U_{AB}\). On utilise la loi d'Ohm pour chacune : \(I_2 = U_{AB}/R_2\) et \(I_3 = U_{AB}/R_3\). Ensuite, on vérifie la loi des courants de Kirchhoff (LCK) au nœud A : \(I_1 = I_2 + I_3\).
Données :
\(U_{AB} = 6 \text{ V}\) (calculé à l'étape 5)
\(R_2 = 6 \, \Omega\)
\(R_3 = 3 \, \Omega\)
\(I_1 = 3 \text{ A}\)
Calcul de \(I_2\):
Calcul de \(I_3\):
Vérification de la LCK au nœud A :
La loi des nœuds est vérifiée.
Les courants sont \(I_2 = 1 \text{ A}\) et \(I_3 = 2 \text{ A}\). La LCK est vérifiée.
Quiz Intermédiaire : Loi des Nœuds
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Glossaire des Termes Clés
Loi d'Ohm :
Loi physique qui lie l'intensité du courant électrique traversant un dipôle électrique à la tension à ses bornes et à sa résistance (\(U=RI\)).
Lois de Kirchhoff :
Ensemble de deux lois (loi des nœuds et loi des mailles) utilisées pour l'étude des circuits électriques.
Nœud :
Point d'un circuit électrique où trois conducteurs ou plus se rencontrent.
Maille :
Partie d'un circuit électrique formant un chemin fermé. En parcourant une maille, on revient au point de départ.
Résistance (\(R\)) :
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Résistance Équivalente :
Résistance unique qui aurait le même effet dans un circuit que l'ensemble des résistances qu'elle remplace.
Courant Continu (CC ou DC) :
Courant électrique dont l'intensité et le sens restent constants au cours du temps.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment les lois d'Ohm et de Kirchhoff s'appliquent-elles dans des circuits en courant alternatif (AC) ? Quelles modifications ou considérations supplémentaires sont nécessaires (par exemple, l'impédance) ?
2. Décrivez une méthode (par exemple, la méthode des courants de maille ou la méthode des potentiels aux nœuds) pour analyser des circuits plus complexes comportant plusieurs sources et plusieurs mailles.
3. Quel est le rôle du théorème de Thévenin ou du théorème de Norton dans la simplification de l'analyse des circuits ?
4. Comment la puissance est-elle dissipée dans les résistances d'un circuit ? Quelle est la formule de la puissance dissipée par une résistance ?
5. Si les résistances du problème avaient des tolérances (par exemple, \(\pm 5\%\)), comment cela affecterait-il la précision des courants et tensions calculés ?
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