Analyse de circuit par la loi des nœuds

Application de la loi des nœuds (Kirchhoff) pour déterminer tensions et courants dans un circuit DC.

Énoncé : Analyse de Circuit par la Loi des Nœuds

La loi des nœuds, aussi connue comme la première loi de Kirchhoff, stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (un point de connexion dans un circuit) est nulle. Cette loi est une conséquence de la conservation de la charge électrique. Elle est très utile pour analyser des circuits complexes, en particulier pour déterminer les tensions aux différents points du circuit.

Contexte

La méthode d'analyse par la loi des nœuds (ou méthode des potentiels aux nœuds) est une technique systématique pour résoudre les circuits électriques, qu'ils soient simples ou complexes. Elle est particulièrement efficace lorsque le circuit comporte plusieurs sources ou de nombreuses branches. Elle est largement utilisée en ingénierie électrique et électronique pour la conception et l'analyse de circuits.

Circuit électrique avec deux sources de tension et trois résistances.

Données du Problème

Source de tension \(V_1 = 12 \, \text{V}\)
Source de tension \(V_2 = 6 \, \text{V}\)
Résistance \(R_1 = 2 \, \Omega\)
Résistance \(R_2 = 4 \, \Omega\)
Résistance \(R_3 = 3 \, \Omega\)
Le potentiel du point de référence (masse) est fixé à \(0 \, \text{V}\).

Questions

Identifier le nœud principal N1 dans le circuit (autre que le nœud de référence).
Appliquer la loi des nœuds au nœud N1. Écrire l'équation reliant les courants \(I_1\), \(I_2\), et \(I_3\). On considérera les courants entrant au nœud comme positifs et les courants sortant comme négatifs (ou l'inverse, mais il faut être cohérent).
Exprimer chaque courant (\(I_1\), \(I_2\), \(I_3\)) en fonction des tensions connues (\(V_1\), \(V_2\)), du potentiel inconnu \(V_{N1}\) au nœud N1, et des résistances (\(R_1\), \(R_2\), \(R_3\)), en utilisant la loi d'Ohm. Attention au sens des courants et des tensions.
Substituer les expressions des courants dans l'équation de la loi des nœuds pour obtenir une équation avec \(V_{N1}\) comme seule inconnue.
Résoudre l'équation pour trouver la valeur numérique du potentiel \(V_{N1}\).
Calculer les valeurs numériques des courants \(I_1\), \(I_2\), et \(I_3\). Vérifier que la loi des nœuds est bien satisfaite avec ces valeurs.

Correction : Analyse de Circuit par la Loi des Nœuds

1. Identification du Nœud Principal

Un nœud principal est un point où trois branches ou plus du circuit se connectent. Le nœud de référence (masse, 0V) est aussi un nœud principal, mais on applique généralement la loi des nœuds aux autres nœuds principaux.

Analyse du Schéma

Dans le circuit fourni, le point N1 connecte les résistances R1, R2 et R3. C'est le seul nœud principal en dehors du nœud de référence (masse) où toutes les bornes négatives des sources et R2 sont connectées.

Résultat

Le seul nœud principal (non référence) à considérer est le nœud N1.

2. Application de la Loi des Nœuds en N1

La loi des nœuds stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud est nulle. \(\sum I_{entrant} = 0\). Ou, de manière équivalente, la somme des courants entrant est égale à la somme des courants sortant. Convention choisie ici : courants entrant positifs, courants sortant négatifs.

Analyse des Courants en N1

D'après le sens des flèches sur le schéma :

\(I_1\) entre dans N1.
\(I_3\) entre dans N1.
\(I_2\) sort de N1.

Équation

\sum I_{\text{en N1}} = 0 \] \[ I_1 - I_2 + I_3 = 0 \] Ou de manière équivalente (courants entrants = courants sortants) : \[ I_1 + I_3 = I_2

Résultat

L'équation de la loi des nœuds au nœud N1 est : \(I_1 + I_3 = I_2\).

3. Expression des Courants (Loi d'Ohm)

On utilise la loi d'Ohm (\(I = \frac{\Delta V}{R}\)) pour exprimer chaque courant en fonction des potentiels aux bornes de chaque résistance. Le courant circule du potentiel le plus élevé vers le potentiel le plus bas. Le potentiel à la borne + de V1 est \(V_1\). Le potentiel à la borne + de V2 est \(V_2\). Le potentiel à la masse est 0V. Le potentiel au nœud N1 est \(V_{N1}\).

Calculs

Courant \(I_1\) (traverse R1) :

\[ I_1 = \frac{V_1 - V_{N1}}{R_1} \] (Le courant va de la source V1 vers N1)

Courant \(I_3\) (traverse R3) :

\[ I_3 = \frac{V_2 - V_{N1}}{R_3} \] (Le courant va de la source V2 vers N1)

Courant \(I_2\) (traverse R2) :

\[ I_2 = \frac{V_{N1} - 0}{R_2} = \frac{V_{N1}}{R_2} \] (Le courant va de N1 vers la masse 0V)

Résultat

Les expressions des courants sont :

\(I_1 = \frac{V_1 - V_{N1}}{R_1}\)
\(I_2 = \frac{V_{N1}}{R_2}\)
\(I_3 = \frac{V_2 - V_{N1}}{R_3}\)

4. Substitution dans l'Équation des Nœuds

On remplace \(I_1\), \(I_2\), et \(I_3\) par leurs expressions dans l'équation \(I_1 + I_3 = I_2\).

Calcul

\begin{aligned} I_1 + I_3 &= I_2 \\ \frac{V_1 - V_{N1}}{R_1} + \frac{V_2 - V_{N1}}{R_3} &= \frac{V_{N1}}{R_2} \end{aligned}

Résultat

L'équation contenant l'inconnue \(V_{N1}\) est : \( \frac{V_1 - V_{N1}}{R_1} + \frac{V_2 - V_{N1}}{R_3} = \frac{V_{N1}}{R_2} \).

5. Résolution pour Trouver \(V_{N1}\)

On réarrange l'équation pour isoler \(V_{N1}\). On remplace ensuite par les valeurs numériques.

Données pour cette étape

\(V_1 = 12 \, \text{V}\)
\(V_2 = 6 \, \text{V}\)
\(R_1 = 2 \, \Omega\)
\(R_2 = 4 \, \Omega\)
\(R_3 = 3 \, \Omega\)

Calcul

Réarrangement de l'équation :

\begin{aligned} \frac{V_1}{R_1} - \frac{V_{N1}}{R_1} + \frac{V_2}{R_3} - \frac{V_{N1}}{R_3} &= \frac{V_{N1}}{R_2} \\ \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_3} &= \frac{V_{N1}}{R_1} + \frac{V_{N1}}{R_2} + \frac{V_{N1}}{R_3} \\ \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_3} &= V_{N1} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right) \\ V_{N1} &= \frac{\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_3}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} \end{aligned}

Remplacement par les valeurs numériques :

\begin{aligned} \frac{V_1}{R_1} &= \frac{12 \, \text{V}}{2 \, \Omega} = 6 \, \text{A} \\ \frac{V_2}{R_3} &= \frac{6 \, \text{V}}{3 \, \Omega} = 2 \, \text{A} \\ \frac{1}{R_1} &= \frac{1}{2 \, \Omega} = 0,5 \, \Omega^{-1} \\ \frac{1}{R_2} &= \frac{1}{4 \, \Omega} = 0,25 \, \Omega^{-1} \\ \frac{1}{R_3} &= \frac{1}{3 \, \Omega} \approx 0,333 \, \Omega^{-1} \\ \\ V_{N1} &= \frac{6 \, \text{A} + 2 \, \text{A}}{0,5 \, \Omega^{-1} + 0,25 \, \Omega^{-1} + 0,333 \, \Omega^{-1}} \\ &= \frac{8 \, \text{A}}{1,083 \, \Omega^{-1}} \\ &\approx 7,387 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat

Le potentiel au nœud N1 est \(V_{N1} \approx 7,39 \, \text{V}\).

6. Calcul des Courants \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) et Vérification

On utilise les expressions trouvées à l'étape 3 et la valeur de \(V_{N1}\) calculée à l'étape 5 pour déterminer les courants. On vérifie ensuite si \(I_1 + I_3 = I_2\).

Données pour cette étape

\(V_1 = 12 \, \text{V}\)
\(V_2 = 6 \, \text{V}\)
\(R_1 = 2 \, \Omega\)
\(R_2 = 4 \, \Omega\)
\(R_3 = 3 \, \Omega\)
\(V_{N1} \approx 7,387 \, \text{V}\)

Calculs

Calcul de \(I_1\) :

\begin{aligned} I_1 &= \frac{V_1 - V_{N1}}{R_1} \\ &= \frac{12 \, \text{V} - 7,387 \, \text{V}}{2 \, \Omega} \\ &= \frac{4,613 \, \text{V}}{2 \, \Omega} \\ &\approx 2,3065 \, \text{A} \end{aligned}

Calcul de \(I_3\) :

\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{V_2 - V_{N1}}{R_3} \\ &= \frac{6 \, \text{V} - 7,387 \, \text{V}}{3 \, \Omega} \\ &= \frac{-1,387 \, \text{V}}{3 \, \Omega} \\ &\approx -0,4623 \, \text{A} \end{aligned} \] (Le signe négatif indique que le courant \(I_3\) circule en réalité dans le sens opposé à la flèche dessinée, c'est-à-dire de N1 vers V2).

Calcul de \(I_2\) :

\begin{aligned} I_2 &= \frac{V_{N1}}{R_2} \\ &= \frac{7,387 \, \text{V}}{4 \, \Omega} \\ &\approx 1,8468 \, \text{A} \end{aligned}

Vérification de la loi des nœuds (\(I_1 + I_3 = I_2\)) :

\[ \begin{aligned} I_1 + I_3 &\approx 2,3065 \, \text{A} + (-0,4623 \, \text{A}) \\ &\approx 1,8442 \, \text{A} \\ I_2 &\approx 1,8468 \, \text{A} \end{aligned} \] (La petite différence est due aux arrondis dans les calculs intermédiaires).

Résultat

Les courants sont approximativement :

\(I_1 \approx 2,31 \, \text{A}\)
\(I_2 \approx 1,85 \, \text{A}\)
\(I_3 \approx -0,46 \, \text{A}\) (sens réel opposé à la flèche)

La loi des nœuds est vérifiée aux arrondis près : \(2,31 \, \text{A} - 0,46 \, \text{A} = 1,85 \, \text{A}\).

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