Analyse de la Puissance dans un Circuit

En régime sinusoïdal permanent, la tension et le courant dans un circuit CA peuvent être représentés par des phaseurs. L'analyse de la puissance est cruciale pour comprendre l'efficacité énergétique et le comportement des charges.

Les concepts clés incluent :

Impédance (\(Z\)) : Opposition totale au passage du courant alternatif, exprimée comme \(Z = R + jX\), où \(R\) est la résistance et \(X\) la réactance. Son module est \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\) et sa phase \(\phi_Z = \arctan(X/R)\).
Réactance inductive (\(X_L\)) : \(X_L = \omega L = 2\pi f L\), où \(L\) est l'inductance et \(f\) la fréquence.
Réactance capacitive (\(X_C\)) : \(X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}\), où \(C\) est la capacité.
Puissance Active (ou Réelle, \(P\)) : Puissance effectivement consommée par la résistance et transformée en travail ou chaleur. Unité : Watt (W). \(P = V_{eff} I_{eff} \cos(\phi)\), où \(\phi\) est le déphasage entre tension et courant.
Puissance Réactive (\(Q\)) : Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs). Unité : Volt-Ampère Réactif (VAR). \(Q = V_{eff} I_{eff} \sin(\phi)\).
Puissance Apparente (\(S\)) : Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. Unité : Volt-Ampère (VA). \(S = V_{eff} I_{eff}\). Aussi, \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\).
Facteur de Puissance (FP) : Rapport entre la puissance active et la puissance apparente. \(FP = \cos(\phi) = P/S\). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance est utilisée.
Triangle des Puissances : Représentation vectorielle des relations entre \(P\), \(Q\) et \(S\).

Données du Problème

Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative.

Tension efficace de la source : \(V_s = 230 \text{ V}\)
Fréquence de la source : \(f = 50 \text{ Hz}\)
Résistance : \(R = 50 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 100 \text{ mH}\)
Capacité : \(C = 47 \, \mu\text{F}\)

Questions

Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) de la bobine.
Calculer la réactance capacitive (\(X_C\)) du condensateur.
Calculer l'impédance totale du circuit (\(Z_{tot}\)) en forme rectangulaire et polaire.
Calculer le courant efficace total (\(I_{eff}\)) circulant dans le circuit (module et phase par rapport à la tension source).
Calculer le déphasage (\(\phi\)) entre la tension source et le courant total. Indiquer si le circuit est globalement inductif, capacitif ou résistif.
Calculer le facteur de puissance (FP) du circuit.
Calculer la puissance active (\(P\)) consommée par le circuit.
Calculer la puissance réactive (\(Q\)) du circuit.
Calculer la puissance apparente (\(S\)) du circuit.
Dessiner le triangle des puissances pour ce circuit.

Correction : Analyse de la Puissance dans un Circuit

1. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))

La réactance inductive est donnée par \(X_L = 2\pi f L\).

Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
\(L = 100 \text{ mH} = 0.1 \text{ H}\)

\begin{aligned} X_L &= 2\pi \times 50 \text{ Hz} \times 0.1 \text{ H} \\ &= 100\pi \times 0.1 \, \Omega \\ &\approx 31.4159 \, \Omega \end{aligned}

La réactance inductive est \(X_L \approx 31.42 \, \Omega\).

2. Calcul de la Réactance Capacitive (\(X_C\))

La réactance capacitive est donnée par \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\).

Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
\(C = 47 \, \mu\text{F} = 47 \times 10^{-6} \text{ F}\)

\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{2\pi \times 50 \text{ Hz} \times 47 \times 10^{-6} \text{ F}} \\ &= \frac{1}{100\pi \times 47 \times 10^{-6}} \, \Omega \\ &= \frac{1}{0.014765...} \, \Omega \\ &\approx 67.725 \, \Omega \end{aligned}

La réactance capacitive est \(X_C \approx 67.73 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire : Réactances

3. Calcul de l'Impédance Totale (\(Z_{tot}\))

Pour un circuit RLC série, l'impédance totale est \(Z_{tot} = R + j(X_L - X_C)\).

Données :
\(R = 50 \, \Omega\)
\(X_L \approx 31.42 \, \Omega\)
\(X_C \approx 67.73 \, \Omega\)

Forme rectangulaire :

\begin{aligned} Z_{tot} &= 50 + j(31.42 - 67.73) \, \Omega \\ &= 50 - j36.31 \, \Omega \end{aligned}

Forme polaire \(Z_{tot} = |Z_{tot}| \angle \phi_Z\) :

\begin{aligned} |Z_{tot}| &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= \sqrt{50^2 + (-36.31)^2} \\ &= \sqrt{2500 + 1318.4161} \\ &= \sqrt{3818.4161} \approx 61.79 \, \Omega \end{aligned}

\begin{aligned} \phi_Z &= \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{-36.31}{50}\right) \\ &= \arctan(-0.7262) \approx -35.98^\circ \end{aligned}

L'impédance totale est \(Z_{tot} = 50 - j36.31 \, \Omega\) ou \(Z_{tot} \approx 61.79 \angle -35.98^\circ \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire : Impédance

4. Calcul du Courant Efficace Total (\(I_{eff}\))

Le courant est donné par la loi d'Ohm pour les phaseurs : \(I_{eff} = \frac{V_s}{Z_{tot}}\). On prend la tension source comme référence de phase (\(0^\circ\)).

Données :
\(V_s = 230 \angle 0^\circ \text{ V}\)
\(Z_{tot} \approx 61.79 \angle -35.98^\circ \, \Omega\)

\begin{aligned} I_{eff} &= \frac{230 \angle 0^\circ \text{ V}}{61.79 \angle -35.98^\circ \, \Omega} \\ &= \frac{230}{61.79} \angle (0^\circ - (-35.98^\circ)) \text{ A} \\ &\approx 3.722 \angle 35.98^\circ \text{ A} \end{aligned}

Le courant efficace total est \(I_{eff} \approx 3.72 \angle 35.98^\circ \text{ A}\).

5. Calcul du Déphasage (\(\phi\)) et Nature du Circuit

Le déphasage \(\phi\) est l'angle entre la tension source et le courant total. C'est l'opposé de l'angle de l'impédance, ou directement l'angle du courant si la tension est à \(0^\circ\). \(\phi = \phi_V - \phi_I\).

Données :
\(\phi_V = 0^\circ\)
\(\phi_I \approx 35.98^\circ\)
Ou \(\phi_Z \approx -35.98^\circ\), donc \(\phi = -\phi_Z\).

\phi = 0^\circ - 35.98^\circ = -35.98^\circ

Puisque \(X_L < X_C\), la réactance totale \(X = X_L - X_C\) est négative (\(-36.31 \, \Omega\)). Le circuit est donc globalement capacitif. Le courant est en avance sur la tension.

Le déphasage est \(\phi \approx -35.98^\circ\). Le circuit est globalement capacitif (courant en avance sur la tension).

6. Calcul du Facteur de Puissance (FP)

Le facteur de puissance est \(FP = \cos(\phi)\).

Données :
\(\phi \approx -35.98^\circ\)

\begin{aligned} FP &= \cos(-35.98^\circ) \\ &\approx 0.8092 \end{aligned}

Comme le courant est en avance (circuit capacitif), on dit que le FP est "en avance" (leading).

Le facteur de puissance est \(FP \approx 0.809\) en avance.

Quiz Intermédiaire : Facteur de Puissance

7. Calcul de la Puissance Active (\(P\))

La puissance active est \(P = V_s I_{eff} \cos(\phi)\) ou \(P = I_{eff}^2 R\).

Données :
\(V_s = 230 \text{ V}\)
\(I_{eff} \approx 3.722 \text{ A}\)
\(FP = \cos(\phi) \approx 0.8092\)
\(R = 50 \, \Omega\)

Méthode 1 :

\begin{aligned} P &= 230 \text{ V} \times 3.722 \text{ A} \times 0.8092 \\ &\approx 856.06 \text{ VA} \times 0.8092 \\ &\approx 692.78 \text{ W} \end{aligned}

Méthode 2 :

\begin{aligned} P &= (3.722 \text{ A})^2 \times 50 \, \Omega \\ &= 13.853284 \text{ A}^2 \times 50 \, \Omega \\ &\approx 692.66 \text{ W} \end{aligned}

(La légère différence est due aux arrondis intermédiaires.)

La puissance active est \(P \approx 692.7 \text{ W}\).

8. Calcul de la Puissance Réactive (\(Q\))

La puissance réactive est \(Q = V_s I_{eff} \sin(\phi)\) ou \(Q = I_{eff}^2 (X_L - X_C)\).

Données :
\(V_s = 230 \text{ V}\)
\(I_{eff} \approx 3.722 \text{ A}\)
\(\phi \approx -35.98^\circ\)
\(X_L - X_C \approx -36.31 \, \Omega\)

Méthode 1 :

\begin{aligned} Q &= 230 \text{ V} \times 3.722 \text{ A} \times \sin(-35.98^\circ) \\ &\approx 856.06 \text{ VA} \times (-0.5875) \\ &\approx -502.87 \text{ VAR} \end{aligned}

Méthode 2 :

\begin{aligned} Q &= (3.722 \text{ A})^2 \times (-36.31 \, \Omega) \\ &= 13.853284 \text{ A}^2 \times (-36.31 \, \Omega) \\ &\approx -503.00 \text{ VAR} \end{aligned}

Le signe négatif indique que la puissance réactive est capacitive (fournie au circuit par les éléments capacitifs ou absorbée par les éléments inductifs si Q était positif).

La puissance réactive est \(Q \approx -502.9 \text{ VAR}\) (capacitive).

9. Calcul de la Puissance Apparente (\(S\))

La puissance apparente est \(S = V_s I_{eff}\) ou \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\).

Données :
\(V_s = 230 \text{ V}\)
\(I_{eff} \approx 3.722 \text{ A}\)
\(P \approx 692.7 \text{ W}\)
\(Q \approx -502.9 \text{ VAR}\)

Méthode 1 :

\begin{aligned} S &= 230 \text{ V} \times 3.722 \text{ A} \\ &\approx 856.06 \text{ VA} \end{aligned}

Méthode 2 :

\begin{aligned} S &= \sqrt{(692.7)^2 + (-502.9)^2} \\ &= \sqrt{479833.29 + 252908.41} \\ &= \sqrt{732741.7} \approx 856.00 \text{ VA} \end{aligned}

La puissance apparente est \(S \approx 856.1 \text{ VA}\).

Quiz Intermédiaire : Types de Puissance

10. Dessin du Triangle des Puissances

Le triangle des puissances illustre la relation vectorielle \(S = P + jQ\). Ici, Q est négatif, donc le vecteur Q pointera vers le bas.

Valeurs :
\(P \approx 692.7 \text{ W}\)
\(Q \approx -502.9 \text{ VAR}\)
\(S \approx 856.1 \text{ VA}\)
\(\phi \approx -35.98^\circ\)

Le triangle des puissances est tracé avec P horizontal, Q vertical vers le bas, et S comme hypoténuse, formant un angle \(\phi\) avec P.

Glossaire des Termes Clés

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. C'est un nombre complexe \(Z = R + jX\).

Réactance (\(X\)) :

Partie imaginaire de l'impédance, due aux inductances (\(X_L\)) et capacités (\(X_C\)) du circuit.

Puissance Active (\(P\)) :

Puissance moyenne consommée par le circuit, transformée en travail utile ou en chaleur. Unité : Watt (W).

Puissance Réactive (\(Q\)) :

Puissance oscillant entre la source et les éléments réactifs du circuit. Ne produit pas de travail utile. Unité : Volt-Ampère Réactif (VAR).

Puissance Apparente (\(S\)) :

Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S = V_{eff} I_{eff}\)). Module de la puissance complexe. Unité : Volt-Ampère (VA).

Facteur de Puissance (FP) :

Cosinus de l'angle de déphasage (\(\phi\)) entre la tension et le courant. \(FP = \cos(\phi) = P/S\). Indique l'efficacité de l'utilisation de la puissance.

Déphasage (\(\phi\)) :

Différence de phase angulaire entre la tension et le courant dans un circuit CA.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi est-il important pour les fournisseurs d'électricité et les industriels d'avoir un facteur de puissance proche de 1 ? Quelles sont les méthodes de correction du facteur de puissance ?

2. Comment la fréquence de la source affecte-t-elle les puissances dans un circuit RLC série ? Que se passe-t-il à la résonance ?

3. Expliquez la différence entre puissance instantanée et puissance moyenne (active) en régime sinusoïdal.

4. Dans quels types d'applications la gestion de la puissance réactive est-elle particulièrement critique ?

5. Qu'est-ce que la puissance complexe et comment son utilisation simplifie-t-elle l'analyse des circuits CA ?

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