Analyse de la Réponse en Fréquence
Analyser la réponse en fréquence d'un filtre RC passe-bas simple, incluant le calcul du gain et du déphasage à différentes fréquences.
La réponse en fréquence d'un système (comme un filtre électronique) décrit comment l'amplitude et la phase d'un signal de sortie varient en fonction de la fréquence d'un signal d'entrée sinusoïdal. Elle est caractérisée par la fonction de transfert \(H(j\omega)\) ou \(H(f)\), où \(\omega = 2\pi f\).
La fonction de transfert est un nombre complexe. Son module \(|H(j\omega)|\) représente le gain en amplitude du système à la pulsation \(\omega\), et son argument \(\arg(H(j\omega))\) représente le déphasage introduit par le système à cette pulsation.
Le gain est souvent exprimé en décibels (dB) :
Pour un filtre RC passe-bas simple (résistance R en série avec un condensateur C, la sortie étant prise aux bornes du condensateur), la fonction de transfert est :
La fréquence de coupure (\(f_c\)) d'un filtre est la fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie est réduite de moitié par rapport à la puissance du signal d'entrée (ce qui correspond à une atténuation du gain en amplitude de -3 dB, soit un gain de \(1/\sqrt{2}\)). Pour un filtre RC passe-bas, elle est donnée par :
Données du Problème
On considère un filtre RC passe-bas alimenté par une source de tension sinusoïdale \(u_e(t)\). La tension de sortie \(u_s(t)\) est prise aux bornes du condensateur.
- Résistance : \(R = 1 \text{ k}\Omega = 1000 \, \Omega\)
- Capacité : \(C = 100 \text{ nF} = 100 \times 10^{-9} \text{ F}\)
Questions
- Calculer la fréquence de coupure \(f_c\) du filtre en Hertz (Hz).
- Calculer le module de la fonction de transfert \(|H(j\omega_c)|\) à la fréquence de coupure \(f_c\).
- Calculer le gain en décibels \(G_{dB}\) à la fréquence de coupure \(f_c\).
- Calculer le déphasage \(\phi_c\) (en degrés) introduit par le filtre à la fréquence de coupure \(f_c\). (Rappel : \(\phi = -\arctan(RC\omega)\)).
- Calculer le gain en décibels \(G_{dB}\) et le déphasage \(\phi\) pour une fréquence \(f_1 = 0.1 \cdot f_c\).
- Calculer le gain en décibels \(G_{dB}\) et le déphasage \(\phi\) pour une fréquence \(f_2 = 10 \cdot f_c\).
- Quel type de filtre ce circuit RC représente-t-il ? Justifier votre réponse en vous basant sur les gains calculés.
Correction : Analyse de la Réponse en Fréquence
1. Calcul de la Fréquence de Coupure (\(f_c\))
On utilise la formule \(f_c = 1 / (2\pi RC)\).
Données :
\(R = 1000 \, \Omega\)
\(C = 100 \times 10^{-9} \text{ F} = 10^{-7} \text{ F}\)
La fréquence de coupure est \(f_c \approx 1591.55 \text{ Hz}\) (ou environ \(1.59 \text{ kHz}\)).
2. Calcul du Module de la Fonction de Transfert \(|H(j\omega_c)|\) à \(f_c\)
Le module de la fonction de transfert \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\) est \(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (RC\omega)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi fRC)^2}}\).
À la fréquence de coupure \(f_c\), on a \(RC\omega_c = RC(2\pi f_c) = 2\pi f_c RC\). Puisque \(f_c = 1/(2\pi RC)\), alors \(2\pi f_c RC = 1\).
Le module de la fonction de transfert à la fréquence de coupure est \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2} \approx 0.707\).
3. Calcul du Gain en Décibels (\(G_{dB}\)) à \(f_c\)
On utilise la formule \(G_{dB} = 20 \cdot \log_{10}(|H(j\omega_c)|)\).
Données :
\(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\)
Le gain en décibels à la fréquence de coupure est \(G_{dB} \approx -3 \text{ dB}\).
Quiz Intermédiaire : Fréquence de coupure
4. Calcul du Déphasage (\(\phi_c\)) à \(f_c\)
Le déphasage est \(\phi = -\arctan(RC\omega) = -\arctan(2\pi fRC)\). À \(f_c\), on a \(2\pi f_c RC = 1\).
L'angle dont la tangente est 1 est \(\pi/4\) radians ou \(45^\circ\).
Le déphasage à la fréquence de coupure est \(\phi_c = -45^\circ\).
5. Gain et Déphasage à \(f_1 = 0.1 \cdot f_c\)
On calcule \(f_1\), puis \(|H(j\omega_1)|\) et \(\phi_1\).
Données :
\(f_c \approx 1591.55 \text{ Hz}\)
\(RC = 10^{-4} \text{ s}\)
\(f_1 = 0.1 \cdot f_c \approx 0.1 \cdot 1591.55 \text{ Hz} \approx 159.155 \text{ Hz}\).
Terme \(2\pi f_1 RC = 2\pi \cdot (0.1 f_c) \cdot RC = 0.1 \cdot (2\pi f_c RC) = 0.1 \cdot 1 = 0.1\).
Module :
Gain en dB :
Déphasage :
À \(f_1 = 0.1 f_c\), le gain est \(G_{dB1} \approx -0.043 \text{ dB}\) et le déphasage \(\phi_1 \approx -5.71^\circ\).
Quiz Intermédiaire : Comportement Basse Fréquence
6. Gain et Déphasage à \(f_2 = 10 \cdot f_c\)
On calcule \(f_2\), puis \(|H(j\omega_2)|\) et \(\phi_2\).
Données :
\(f_c \approx 1591.55 \text{ Hz}\)
\(RC = 10^{-4} \text{ s}\)
\(f_2 = 10 \cdot f_c \approx 10 \cdot 1591.55 \text{ Hz} \approx 15915.5 \text{ Hz}\).
Terme \(2\pi f_2 RC = 2\pi \cdot (10 f_c) \cdot RC = 10 \cdot (2\pi f_c RC) = 10 \cdot 1 = 10\).
Module :
Gain en dB :
Déphasage :
À \(f_2 = 10 f_c\), le gain est \(G_{dB2} \approx -20.04 \text{ dB}\) et le déphasage \(\phi_2 \approx -84.29^\circ\).
Quiz Intermédiaire : Comportement Haute Fréquence
7. Type de Filtre
On observe le comportement du gain en fonction de la fréquence.
Résultats :
À \(f_1 = 0.1 f_c\) (basse fréquence) : \(G_{dB1} \approx -0.043 \text{ dB}\) (gain proche de 0 dB, donc peu d'atténuation).
À \(f_c\) : \(G_{dB} \approx -3 \text{ dB}\) (atténuation significative).
À \(f_2 = 10 f_c\) (haute fréquence) : \(G_{dB2} \approx -20.04 \text{ dB}\) (forte atténuation).
Le filtre laisse passer les basses fréquences (gain proche de 0 dB pour \(f \ll f_c\)) et atténue fortement les hautes fréquences (gain fortement négatif pour \(f \gg f_c\)).
Ce circuit représente un filtre passe-bas.
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Glossaire des Termes Clés
Réponse en Fréquence :
Caractérisation du comportement d'un système linéaire en fonction de la fréquence du signal d'entrée. Elle comprend le gain en amplitude et le déphasage.
Fonction de Transfert (\(H(j\omega)\)) :
Rapport complexe entre la transformée de Fourier du signal de sortie et celle du signal d'entrée d'un système linéaire invariant dans le temps.
Gain en Amplitude (\(|H(j\omega)|\)) :
Rapport des amplitudes entre le signal de sortie et le signal d'entrée à une fréquence donnée.
Déphasage (\(\arg(H(j\omega))\) ou \(\phi\)) :
Différence de phase entre le signal de sortie et le signal d'entrée à une fréquence donnée.
Décibel (dB) :
Unité logarithmique utilisée pour exprimer des rapports, notamment de gains ou d'atténuations. Pour un gain en amplitude, \(G_{dB} = 20 \log_{10}(\text{Gain})\).
Fréquence de Coupure (\(f_c\)) :
Fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie d'un filtre est réduite de moitié (-3 dB par rapport au gain maximal dans la bande passante).
Filtre Passe-Bas :
Filtre qui laisse passer les signaux de basse fréquence et atténue les signaux de haute fréquence.
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radians par seconde (rad/s).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la réponse en fréquence d'un filtre RL passe-bas se compare-t-elle à celle d'un filtre RC passe-bas ? Quelles sont les similitudes et les différences dans leurs fonctions de transfert et fréquences de coupure ?
2. Qu'est-ce qu'un diagramme de Bode (diagrammes de gain et de phase) et comment est-il utilisé pour représenter la réponse en fréquence d'un système ?
3. Comment la mise en cascade de plusieurs filtres affecte-t-elle la réponse en fréquence globale du système ?
4. Expliquez le concept de "bande passante" d'un filtre.
5. Outre les filtres passe-bas, quels autres types de filtres de base existe-t-il (par exemple, passe-haut, passe-bande, coupe-bande) et comment leurs réponses en fréquence diffèrent-elles ?
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