Analyse de Phase dans un Circuit RLC

Comprendre l’Analyse de Phase dans un Circuit RLC

Vous travaillez en tant qu’ingénieur électrique pour une entreprise spécialisée dans la conception de systèmes audio de haute fidélité. Une partie essentielle de votre travail est de s’assurer que les circuits intégrés aux systèmes audio minimisent la distorsion du signal. Un aspect critique de cette tâche est la gestion de la phase des signaux électriques au sein d’un circuit RLC, qui doit être optimisée pour éviter des perturbations dans la qualité du son.

Données:

On vous donne un circuit RLC série où la résistance \( R \), l’inductance \( L \) et la capacité \( C \) sont connectées en série avec une source de tension alternative \( V(t) \) qui fournit une tension sinusoidale de forme \( V(t) = V_0 \sin(\omega t) \).

Les valeurs des composants sont les suivantes:

Résistance \( R = 8 \, \Omega \)
Inductance \( L = 50 \, \text{mH} \) (millihenrys)
Capacité \( C = 200 \, \mu\text{F} \) (microfarads)
Amplitude de tension \( V_0 = 10 \, \text{V} \)
Fréquence de la source \( f = 60 \, \text{Hz} \)

Questions:

1. Calcul de la pulsation \( \omega \):
Calculez la pulsation \( \omega \) de la source de tension en radians par seconde.

2. Impédance du circuit \( Z \):
Déterminez l’impédance totale \( Z \) du circuit, qui est la somme vectorielle de \( R \), \( j\omega L \) (impédance inductive), et \( \frac{1}{j\omega C} \) (impédance capacitive).

3. Calcul de l’angle de phase \( \phi \):
Calculez l’angle de phase \( \phi \) entre la tension d’entrée et le courant dans le circuit. L’angle de phase est défini par la tangente inverse du rapport entre la partie imaginaire et la partie réelle de l’impédance.

4. Amplitude du courant \( I_{\text{max}} \):
Trouvez l’amplitude maximale du courant \( I_{\text{max}} \) qui circule dans le circuit.

Correction : Analyse de Phase dans un Circuit RLC

1. Calcul de la pulsation \(\omega\)

La pulsation est définie par la formule :
\[\omega = 2\pi f\]
En substituant \( f = 60\,\text{Hz} \) :
\[\omega = 2\pi \times 60\]

\[\omega = 120\pi\,\text{rad/s}\]

Pour obtenir une valeur numérique approximative, on calcule :
\[\omega\approx 120 \times 3,1416\]

\[\omega\approx 376,99\,\text{rad/s}\]

Résultat : \(\omega \approx 377\,\text{rad/s}\)

2. Impédance du circuit \(Z\)

Dans un circuit RLC série, l’impédance se calcule par :
\[Z = R + j\left( \omega L – \frac{1}{\omega C} \right)\]

Calcul de la partie inductive :
\[\omega L = 376,99\,\text{rad/s} \times 0,05\,\text{H} \approx 18,85\,\Omega\]
Calcul de la partie capacitive :
\[\frac{1}{\omega C} = \frac{1}{376,99\,\text{rad/s} \times 2 \times 10^{-4}\,\text{F}}\]
Calculons d’abord le produit au dénominateur :
\[376,99 \times 2 \times 10^{-4} = 376,99 \times 0,0002 \approx 0,075398\]
Puis :
\[\frac{1}{0,075398} \approx 13,26\,\Omega\]
Partie imaginaire de \(Z\) :
\[\omega L – \frac{1}{\omega C} \approx 18,85 – 13,26 \approx 5,59\,\Omega\]

Ainsi, l’impédance complexe est :
\[Z = 8\,\Omega + j\,5,59\,\Omega\]

Calcul de la norme de l’impédance \(|Z|\) :

\[|Z| = \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right)^2}\]

\[|Z| = \sqrt{8^2 + (5,59)^2}\]
\[|Z| = \sqrt{64 + 31,25}\]

\[|Z| = \sqrt{95,25}\]

\[|Z| \approx 9,76\,\Omega\]

3. Calcul de l’angle de phase \(\varphi\)

L’angle de phase se détermine par :
\[\varphi = \arctan\left( \frac{\omega L – \frac{1}{\omega C}}{R} \right)\]
En substituant les valeurs :
\[\varphi = \arctan\left( \frac{5,59}{8} \right)\]
\[\varphi = \arctan(0,69875)\]
En calculant (en radians) :
\[\varphi \approx 0,61\,\text{rad} \quad (\text{ce qui correspond à environ }35^\circ)\]

4. Calcul de l’amplitude maximale du courant \(I_{\text{max}}\)

La loi d’Ohm dans un circuit en régime sinusoïdal donne :
\[I_{\text{max}} = \frac{V_0}{|Z|}\]
En substituant \( V_0 = 10\,\text{V} \) et \(|Z| \approx 9,76\,\Omega \) :
\[I_{\text{max}} = \frac{10\,\text{V}}{9,76\,\Omega}\]

\[I_{\text{max}} \approx 1,0246\,\text{A}\]

Résumé des résultats

Pulsation :
\[\omega \approx 377\,\text{rad/s}\]
Impédance totale du circuit :
\[Z = 8\,\Omega + j\,5,59\,\Omega \quad \text{avec } |Z| \approx 9,76\,\Omega\]
Angle de phase :
\[\varphi \approx 0,61\,\text{rad} \quad (\approx 35^\circ)\]
Amplitude maximale du courant :
\[I_{\text{max}} \approx 1,02\,\text{A}\]

Analyse de Phase dans un Circuit RLC

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