Analyse d’un Circuit avec Condensateurs
Comprendre l’Analyse d’un Circuit avec Condensateurs
Dans un circuit, trois condensateurs C1, C2, et C3 sont connectés à une source de tension continue \(V_{\text{source}} = 12V\). Les valeurs des condensateurs sont respectivement \(4\mu F\), \(6\mu F\), et \(2\mu F\). C1 et C2 sont connectés en parallèle entre eux, et cette combinaison est ensuite connectée en série avec C3.
Données:
- Capacité des condensateurs: \(C_1 = 4\mu F\), \(C_2 = 6\mu F\), \(C_3 = 2\mu F\)
- Tension de la source: \(V_{\text{source}} = 12V\)
Questions:
- Calcul de la Capacité Équivalente du Circuit
- Déterminez la capacité équivalente des condensateurs et connectés en parallèle.
- Calculez ensuite la capacité équivalente totale du circuit, en prenant en compte connecté en série avec la combinaison parallèle de et .
- Calcul de la Charge et de la Tension sur Chaque Condensateur
- Calculez la charge totale stockée dans le circuit.
- Déterminez la tension à travers chaque condensateur.
- Énergie Stockée dans le Circuit
- Calculez l’énergie stockée dans chaque condensateur individuellement.
- Calculez l’énergie totale stockée dans le circuit.
Correction : Analyse d’un Circuit avec Condensateurs
1. Calcul de la capacité équivalente du circuit
Mettre deux condensateurs en parallèle revient à les placer côte à côte sur le même fil, ce qui leur permet de partager la même tension. La capacité totale est simplement la somme de leurs capacités individuelles, car c’est comme ajouter la taille de deux réservoirs d’eau attachés ensemble.
Formules
Pour la combinaison en parallèle : \[ C_{p} = C_{1} + C_{2} \]
Pour la combinaison en série : \[ \frac{1}{C_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{C_{p}} + \frac{1}{C_{3}} \quad\Longrightarrow\quad C_{\mathrm{eq}} = \frac{1}{\frac{1}{C_{p}} + \frac{1}{C_{3}}} \]
Données
- \(C_{1} = 4\,\mu\mathrm{F}\)
- \(C_{2} = 6\,\mu\mathrm{F}\)
- \(C_{3} = 2\,\mu\mathrm{F}\)
Calculs
1. En parallèle : \[ C_{p} = 4 + 6 \] \[ C_{p} = 10\,\mu\mathrm{F} \]
2. En série : \[ \frac{1}{C_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{2} = 0{,}1 + 0{,}5 = 0{,}6\] \[C_{\mathrm{eq}} = \frac{1}{0{,}6} \] \[C_{\mathrm{eq}} \approx 1{,}6667\,\mu\mathrm{F} \]
Résultats
2. Calcul de la charge totale et des tensions
Dans un circuit en série, la charge stockée est la même sur chaque condensateur. C’est comme si un seul courant traversait chaque condensateur à la suite. La tension fournie par la source se répartit entre eux en fonction de leur capacité.
Formules
Charge : \[ Q = C_{\mathrm{eq}} \times V_{\mathrm{source}} \]
Tension : \[ V = \frac{Q}{C} \]
Données
- \(C_{\mathrm{eq}} = 1{,}6667\,\mu\mathrm{F}\)
- \(V_{\mathrm{source}} = 12\,\mathrm{V}\)
- \(C_{p} = 10\,\mu\mathrm{F}\)
- \(C_{3} = 2\,\mu\mathrm{F}\)
- \(C_{1} = 4\,\mu\mathrm{F}\)
- \(C_{2} = 6\,\mu\mathrm{F}\)
Calculs
1. Charge totale : \[ Q = 1{,}6667 \times 12 \] \[ Q = 20\,\mu\mathrm{C} \]
2. Tension sur la paire parallèle : \[ V_{p} = \frac{20}{10} \] \[ V_{p} = 2\,\mathrm{V} \]
3. Tension sur C3 : \[ V_{3} = \frac{20}{2} \] \[ V_{3} = 10\,\mathrm{V} \]
4. Vérification : \[2 + 10 = 12\,\mathrm{V}\]
Résultats
3. Énergie stockée dans chaque condensateur et totale
L’énergie stockée par un condensateur dépend de sa capacité et du carré de la tension à ses bornes. C’est similaire à l’énergie cinétique, où la vitesse au carré joue un rôle.
Formule
\[ U = \frac{1}{2} C V^2 \]
Données
- \(C_{1} = 4\,\mu\mathrm{F}\), \(V_{1} = 2\,\mathrm{V}\)
- \(C_{2} = 6\,\mu\mathrm{F}\), \(V_{2} = 2\,\mathrm{V}\)
- \(C_{3} = 2\,\mu\mathrm{F}\), \(V_{3} = 10\,\mathrm{V}\)
Calculs
\[ U_{1} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2^2 \] \[ U_{1} = 8\,\mu\mathrm{J} \]
\[ U_{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times 2^2 \] \[ U_{2} = 12\,\mu\mathrm{J} \]
\[ U_{3} = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^2 \] \[ U_{3} = 100\,\mu\mathrm{J} \]
Résultats
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