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Analyse d’un circuit en série-parallèle

Analyse d’un circuit en série-parallèle

Comprendre l’Analyse d’un circuit en série-parallèle

Un système de commande pour un petit moteur est alimenté par une source de tension continue de 24V. Le circuit se compose d’une résistance \( R_1 \) placée en série avec un montage parallèle constitué de deux résistances \( R_2 \) et \( R_3 \). Le branchement est tel que :

  • La résistance \( R_1 \) est connectée directement à la source.
  • Ensuite, le circuit se divise en deux branches parallèles :
    • La première branche contient \( R_2 \).
    • La deuxième branche contient \( R_3 \).
      Les câbles et connexions étant supposés parfaits (résistance négligeable), on étudie uniquement l’influence des résistances.

Données:

\[ \begin{cases}
V = 24\,\text{V} \quad \text{(tension de la source)},\\[1mm]
R_1 = 10\,\Omega,\\[1mm]
R_2 = 20\,\Omega,\\[1mm]
R_3 = 30\,\Omega.
\end{cases} \]

Questions:

1. Calculer la résistance équivalente \( R_{\text{par}} \) du montage parallèle formé par \( R_2 \) et \( R_3 \).

2. Déterminer la résistance totale \( R_{\text{tot}} \) du circuit.

3. Calculer l’intensité totale \( I_{\text{tot}} \) fournie par la source.

4. Déterminer la tension aux bornes de la branche parallèle (\( V_{\text{par}} \)) ainsi que la tension aux bornes de \( R_1 \).

5. Calculer l’intensité circulant dans chaque branche, c’est-à-dire \( I_{R2} \) et \( I_{R3} \).

6. Vérifier que la somme des intensités dans les branches parallèles est égale à l’intensité circulant dans \( R_1 \).

Correction : Analyse d’un circuit en série-parallèle

1. Calcul de la résistance équivalente du montage parallèle (\( R_{\text{par}} \))

Pour deux résistances en parallèle, la relation entre la résistance équivalente et les résistances individuelles est donnée par la somme des inverses.

Formule :

\[ \frac{1}{R_{\text{par}}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \]

Données :
  • \( R_2 = 20\,\Omega \)
  • \( R_3 = 30\,\Omega \)
Calcul :

\[ \frac{1}{R_{\text{par}}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \]

Pour effectuer cette addition, on cherche un dénominateur commun (ici 60) :

\[ \frac{1}{20} = \frac{3}{60} \quad \text{et} \quad \frac{1}{30} = \frac{2}{60} \]

Ainsi :

\[ \frac{1}{R_{\text{par}}} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \]

Donc,

\[ R_{\text{par}} = 12\,\Omega \]

2. Calcul de la résistance totale du circuit (\( R_{\text{tot}} \))

Dans un circuit en série, la résistance totale est la somme de toutes les résistances. Ici, \( R_1 \) est en série avec la résistance équivalente \( R_{\text{par}} \).

Formule :

\[ R_{\text{tot}} = R_1 + R_{\text{par}} \]

Données :
  • \( R_1 = 10\,\Omega \)
  • \( R_{\text{par}} = 12\,\Omega \)
Calcul :

\[ R_{\text{tot}} = 10\,\Omega + 12\,\Omega = 22\,\Omega \]

3. Calcul de l’intensité totale fournie par la source (\( I_{\text{tot}} \))

La loi d’Ohm appliquée au circuit complet permet de déterminer le courant total fourni par la source.

Formule :

\[ I_{\text{tot}} = \frac{V}{R_{\text{tot}}} \]

Données :
  • \( V = 24\,\text{V} \)
  • \( R_{\text{tot}} = 22\,\Omega \)
Calcul :

\[ I_{\text{tot}} = \frac{24\,\text{V}}{22\,\Omega} \approx 1,0909\,\text{A} \]

4. Calcul de la tension aux bornes de \( R_1 \) et de la branche parallèle (\( V_{\text{par}} \))

La tension aux bornes de \( R_1 \) se calcule via la loi d’Ohm appliquée à \( R_1 \). La tension sur la branche parallèle est la différence entre la tension de la source et la tension sur \( R_1 \).

Formules :

\[ V_{R1} = I_{\text{tot}} \times R_1 \quad \text{et} \quad V_{\text{par}} = V – V_{R1} \]

Données :
  • \( I_{\text{tot}} = \frac{24}{22}\,\text{A} \),
  • \( R_1 = 10\,\Omega \),
  • \( V = 24\,\text{V} \)
Calcul :

Pour \( R_1 \):

\[ V_{R1} = \frac{24}{22}\,\text{A} \times 10\,\Omega \] \[ V_{R1} = \frac{240}{22}\,\text{V} \approx 10,909\,\text{V} \]

Pour la branche parallèle:

    \[ V_{\text{par}} = 24\,\text{V} – \frac{240}{22}\,\text{V} \] \[ V_{\text{par}} = \frac{24 \times 22 – 240}{22}\,\text{V} \]

    Calculons :

    \[ 24 \times 22 = 528 \quad \Rightarrow \quad V_{\text{par}} = \frac{528 – 240}{22}\,\text{V} = \frac{288}{22}\,\text{V} \approx 13,091\,\text{V} \]

    5. Calcul de l’intensité dans chaque branche (\( I_{R2} \) et \( I_{R3} \))

    Dans un montage parallèle, la tension est la même pour chaque branche. On applique la loi d’Ohm à chacune des résistances.

    Formules :

    \[ I_{R2} = \frac{V_{\text{par}}}{R_2} \quad \text{et} \quad I_{R3} = \frac{V_{\text{par}}}{R_3} \]

    Données :
    • \( V_{\text{par}} = \frac{288}{22}\,\text{V} \),
    • \( R_2 = 20\,\Omega \),
    • \( R_3 = 30\,\Omega \)
    Calcul :

    \[ I_{R2} = \frac{\frac{288}{22}\,\text{V}}{20\,\Omega} \] \[ I_{R2} = \frac{288}{22 \times 20}\,\text{A} \] \[ I_{R2} = \frac{288}{440}\,\text{A} \approx 0,6545\,\text{A} \]

    \[ I_{R3} = \frac{\frac{288}{22}\,\text{V}}{30\,\Omega} \] \[ I_{R3} = \frac{288}{22 \times 30}\,\text{A} \] \[ I_{R3} = \frac{288}{660}\,\text{A} \approx 0,4364\,\text{A} \]

    6. Vérification de la conservation de l’intensité (loi des nœuds)

    La loi des nœuds indique que l’intensité totale circulant dans le circuit doit être égale à la somme des intensités dans les branches parallèles.

    Formule :

    \[ I_{\text{tot}} = I_{R2} + I_{R3} \]

    Données :
    • \( I_{R2} \approx 0,6545\,\text{A} \)
    • \( I_{R3} \approx 0,4364\,\text{A} \)
    Calcul :

    \[ I_{R2} + I_{R3} \approx 0,6545\,\text{A} + 0,4364\,\text{A} = 1,0909\,\text{A} \]

    Cette somme est égale à \( I_{\text{tot}} \approx 1,0909\,\text{A} \), confirmant la validité des calculs.

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