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Analyse d’un Circuit Mixte

Analyse d’un Circuit Mixte

Analyse d’un Circuit Mixte

Comprendre l'Analyse d’un Circuit Mixte

Un circuit mixte est un circuit électrique qui comporte à la fois des composants montés en série et des composants montés en parallèle. L'analyse de ces circuits est une compétence fondamentale en électrotechnique. Elle nécessite de combiner les règles des circuits série et parallèle pour simplifier progressivement le circuit jusqu'à obtenir une seule résistance équivalente. Cette méthode, basée sur les lois d'Ohm et de Kirchhoff, permet de déterminer le courant total, les tensions et les courants dans chaque branche du circuit.

Données de l'étude

On analyse le circuit mixte ci-dessous, alimenté par une source de tension continue.

Caractéristiques du système :

  • Tension de la source (\(V\)) : 24 V
  • Résistance \(R_1\) : 2 Ω
  • Résistance \(R_2\) : 12 Ω
  • Résistance \(R_3\) : 5 Ω
  • Résistance \(R_4\) : 3 Ω
Schéma du Circuit Mixte
+ - V = 24V R₁ = 2Ω R₂ = 12Ω R₃ = 5Ω R₄ = 3Ω A B

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{34}\)) de la branche contenant \(R_3\) et \(R_4\).
  2. Calculer la résistance équivalente (\(R_{234}\)) de la section parallèle du circuit (entre les nœuds A et B).
  3. Calculer la résistance équivalente totale du circuit (\(R_{eq}\)).
  4. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source.
  5. Calculer la chute de tension aux bornes de \(R_1\) (\(V_{R1}\)) et aux bornes de la section parallèle (\(V_{AB}\)).
  6. Calculer le courant dans chaque branche parallèle : \(I_{R2}\) (courant dans \(R_2\)) et \(I_{R34}\) (courant dans la branche de \(R_3\) et \(R_4\)).

Correction : Analyse d'un Circuit Mixte

Question 1 : Résistance Équivalente de la Branche \(R_3\)-\(R_4\) (\(R_{34}\))

Principe :

Les résistances \(R_3\) et \(R_4\) sont connectées en série. Pour trouver leur résistance équivalente, on additionne simplement leurs valeurs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{\text{série}} = R_a + R_b \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{34} &= R_3 + R_4 \\ &= 5 \, \Omega + 3 \, \Omega \\ &= 8 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente de la branche série est 8 Ω.

Question 2 : Résistance Équivalente Parallèle (\(R_{234}\))

Principe :

La résistance \(R_2\) est en parallèle avec la résistance équivalente \(R_{34}\) que nous venons de calculer. La formule pour deux résistances en parallèle est le produit de leurs valeurs divisé par leur somme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{\text{parallèle}} = \frac{R_a \times R_b}{R_a + R_b} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{234} &= \frac{R_2 \times R_{34}}{R_2 + R_{34}} \\ &= \frac{12 \, \Omega \times 8 \, \Omega}{12 \, \Omega + 8 \, \Omega} \\ &= \frac{96}{20} \, \Omega \\ &= 4.8 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance de la section parallèle est 4.8 Ω.

Quiz Intermédiaire 1 : La résistance équivalente de plusieurs résistances en parallèle est toujours...

Question 3 : Résistance Équivalente Totale (\(R_{eq}\))

Principe :

Le circuit est maintenant simplifié en une résistance \(R_1\) en série avec la résistance équivalente de la partie parallèle, \(R_{234}\). On les additionne pour obtenir la résistance totale du circuit.

Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{eq} &= R_1 + R_{234} \\ &= 2 \, \Omega + 4.8 \, \Omega \\ &= 6.8 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance équivalente totale du circuit est 6.8 Ω.

Question 4 : Courant Total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total fourni par la source est calculé en utilisant la loi d'Ohm, en divisant la tension totale de la source par la résistance équivalente totale du circuit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I = \frac{V}{R} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{V}{R_{eq}} \\ &= \frac{24 \, \text{V}}{6.8 \, \Omega} \\ &\approx 3.53 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le courant total dans le circuit est d'environ 3.53 A.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la tension de la source V doublait, le courant total I_total serait...

Question 5 : Chutes de Tension (\(V_{R1}\) et \(V_{AB}\))

Principe :

La chute de tension aux bornes d'une résistance est donnée par la loi d'Ohm (\(V = I \times R\)). Le courant total traverse \(R_1\). La tension restante de la source se retrouve aux bornes de la section parallèle (entre les nœuds A et B), conformément à la loi des mailles de Kirchhoff.

Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R1} &= I_{\text{total}} \times R_1 \\ &= 3.53 \, \text{A} \times 2 \, \Omega \\ &= 7.06 \, \text{V} \\ \\ V_{AB} &= V - V_{R1} \\ &= 24 \, \text{V} - 7.06 \, \text{V} \\ &= 16.94 \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification : \(V_{AB}\) peut aussi se calculer avec \(I_{\text{total}} \times R_{234} = 3.53 \, \text{A} \times 4.8 \, \Omega \approx 16.94 \, \text{V}\).

Résultat Question 5 : \(V_{R1} \approx\) 7.06 V et \(V_{AB} \approx\) 16.94 V.

Question 6 : Courants dans les Branches Parallèles (\(I_{R2}\), \(I_{R34}\))

Principe :

La tension aux bornes de chaque branche parallèle est la même (\(V_{AB}\)). On peut donc appliquer la loi d'Ohm à chaque branche pour trouver le courant qui la traverse. La somme de ces courants doit être égale au courant total, selon la loi des nœuds de Kirchhoff.

Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{R2} &= \frac{V_{AB}}{R_2} \\ &= \frac{16.94 \, \text{V}}{12 \, \Omega} \\ &\approx 1.41 \, \text{A} \\ \\ I_{R34} &= \frac{V_{AB}}{R_{34}} \\ &= \frac{16.94 \, \text{V}}{8 \, \Omega} \\ &\approx 2.12 \, \text{A} \end{aligned} \]

Vérification de la loi des nœuds : \(I_{R2} + I_{R34} = 1.41 \, \text{A} + 2.12 \, \text{A} = 3.53 \, \text{A} \approx I_{\text{total}}\). La vérification est concluante.

Résultat Question 6 : \(I_{R2} \approx\) 1.41 A et \(I_{R34} \approx\) 2.12 A.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit mixte, que fait-on en premier pour le simplifier ?

2. Selon la loi des nœuds de Kirchhoff, au nœud A...

3. Si on court-circuitait la résistance \(R_2\), que deviendrait la résistance équivalente totale \(R_{eq}\) ?

Glossaire

Circuit Mixte
Association de composants électriques connectés à la fois en série et en parallèle.
Résistance Équivalente (\(R_{eq}\))
Résistance unique qui pourrait remplacer un groupement de résistances sans changer la valeur du courant total et de la tension totale du circuit.
Loi d'Ohm
Loi fondamentale qui stipule que la tension (\(V\)) aux bornes d'une résistance est directement proportionnelle au courant (\(I\)) qui la traverse : \(V = I \times R\).
Loi des Nœuds (Première loi de Kirchhoff)
La somme des courants électriques qui entrent dans un nœud (un point de connexion) est égale à la somme des courants qui en sortent.
Loi des Mailles (Deuxième loi de Kirchhoff)
Dans toute boucle fermée (maille) d'un circuit, la somme algébrique des tensions est nulle. Autrement dit, la tension fournie par la source est égale à la somme des chutes de tension aux bornes des composants.
Chute de Tension
Différence de potentiel électrique observée aux bornes d'un composant passif (comme une résistance) lorsqu'il est traversé par un courant.
Analyse d’un Circuit Mixte

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