Analyse d’un Hacheur Buck

Comprendre l’Analyse d’un Hacheur Buck

L’objectif de cet exercice est d’analyser un hacheur de type « Buck » qui réduit une tension d’entrée continue à une tension de sortie continue inférieure. Vous devrez calculer la tension de sortie, le courant dans l’inductance, et l’énergie stockée dans le condensateur.

Données de l’Exercice:

Tension d’entrée \((V_{in})\) : 24 V
Tension de sortie souhaitée \((V_{out})\) : 12 V
Fréquence de commutation (f) : 10 kHz
Inductance (L) : 100 µH
Condensateur (C) : 100 µF
Résistance de charge \((R_{load})\) : 10 ohms

Partie 1: Calcul du rapport cyclique (Duty Cycle)

Calculez le rapport cyclique pour obtenir la tension de sortie souhaitée.

Partie 2: Courant Moyen et Ondulation de l’Inductance

L’ondulation de courant dans l’inductance dépend du rapport cyclique, de l’inductance, de la tension d’entrée et de la fréquence de commutation.

Calculez l’ondulation de courant dans l’inductance.
Calculez le courant moyen dans l’inductance.

Partie 3: Tension sur le Condensateur et Énergie Stockée

L’ondulation de tension sur le condensateur, \(\Delta V_C\), dépend du courant d’ondulation dans l’inductance et de la fréquence de commutation

Calculez l’ondulation de tension sur le condensateur.
Calculez l’énergie stockée dans le condensateur.

Correction : Analyse d’un Hacheur Buck

1. Calcul du rapport cyclique (Duty Cycle)

Pour un hacheur Buck, la tension de sortie en régime permanent est donnée par :

\[ V_{\text{out}} = D \times V_{\text{in}} \]

Données :

Tension d’entrée, \(V_{\text{in}} = 24\,\text{V}\)
Tension de sortie souhaitée, \(V_{\text{out}} = 12\,\text{V}\)

Calcul :

\[ D = \frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} \] \[ D = \frac{12\,\text{V}}{24\,\text{V}} \] \[ D = 0,5 \quad (\text{soit } 50\,\%) \]

2. Courant moyen et ondulation de l’inductance

a) Calcul de l’ondulation du courant dans l’inductance

Lors de la phase « on », la variation (ramp-up) du courant dans l’inductance se calcule par :

\[ \Delta I = \frac{(V_{\text{in}} – V_{\text{out}}) \times T_{\text{on}}}{L} \]

avec \[ T_{\text{on}} = \frac{D}{f} \]

Données :

\(V_{\text{in}} = 24\,\text{V}\)
\(V_{\text{out}} = 12\,\text{V}\)
Rapport cyclique, \(D = 0,5\)
Fréquence de commutation, \(f = 10\,\text{kHz}\)
Inductance, \(L = 100\,\mu\text{H} = 100 \times 10^{-6}\,\text{H}\)

Calcul :

1. Calcul du temps de conduction :

\[ T_{\text{on}} = \frac{D}{f} \] \[ T_{\text{on}} = \frac{0,5}{10\,000} \] \[ T_{\text{on}} = 50 \times 10^{-6}\,\text{s} \] \[ T_{\text{on}} = 50\,\mu\text{s} \]

2. Calcul de l’ondulation de courant :

\[ \Delta I = \frac{(24\,\text{V} – 12\,\text{V}) \times (50 \times 10^{-6}\,\text{s})}{100 \times 10^{-6}\,\text{H}} \] \[ \Delta I = \frac{12\,\text{V} \times 50 \times 10^{-6}\,\text{s}}{100 \times 10^{-6}\,\text{H}} \] \[ \Delta I = \frac{600 \times 10^{-6}\,\text{V}\cdot\text{s}}{100 \times 10^{-6}\,\text{H}} \] \[ \Delta I = 6\,\text{A} \]
(ondulation de courant, valeur crête à crête)

b) Calcul du courant moyen dans l’inductance

En régime permanent, le courant moyen dans l’inductance est égal au courant de charge.

Données :

Tension de sortie, \(V_{\text{out}} = 12\,\text{V}\)
Résistance de charge, \(R_{\text{load}} = 10\,\Omega\)

Formule :

\[ I_{\text{mean}} = \frac{V_{\text{out}}}{R_{\text{load}}} \]

Calcul :

\[ I_{\text{mean}} = \frac{12\,\text{V}}{10\,\Omega} = 1,2\,\text{A} \]

Remarque :

Dans ce cas, l’ondulation de courant (6 A p-p) est très élevée par rapport au courant moyen (1,2 A). Cela suggère que, si l’hacheur devait fonctionner en mode de conduction continue, le courant minimum (Iₘᵢₙ = Iₘₑₐₙ – ΔI/2) serait négatif, ce qui n’est pas réaliste. En pratique, ces valeurs indiqueraient une conduction discontinue, mais ici nous appliquons les formules standards pour l’analyse théorique.

3. Tension sur le condensateur et énergie stockée

a) Calcul de l’ondulation de tension sur le condensateur

L’ondulation de tension sur le condensateur peut être approximée par la formule suivante (pour un courant d’ondulation triangulaire) :

\[ \Delta V_C = \frac{\Delta I}{8 \times f \times C} \]

Données :

\(\Delta I = 6\,\text{A}\)
\(f = 10\,\text{kHz}\)
\(C = 100\,\mu\text{F} = 100 \times 10^{-6}\,\text{F}\)

Calcul :

\[ \Delta V_C = \frac{6\,\text{A}}{8 \times 10\,000\,\text{Hz} \times 100 \times 10^{-6}\,\text{F}} \] \[ \Delta V_C = \frac{6\,\text{A}}{8 \times 1} \] \[ \Delta V_C = \frac{6}{8} = 0,75\,\text{V} \]

b) Calcul de l’énergie stockée dans le condensateur

L’énergie stockée dans un condensateur est donnée par :

\[ E = \frac{1}{2} \times C \times V^2 \]

Données :

\(C = 100\,\mu\text{F} = 100 \times 10^{-6}\,\text{F}\)
\(V = V_{\text{out}} = 12\,\text{V}\)

Calcul :

\[ E = 0.5 \times 100 \times 10^{-6}\,\text{F} \times (12\,\text{V})^2 \] \[ E = 0.5 \times 100 \times 10^{-6} \times 144 \] \[ E = 0.5 \times 14\,400 \times 10^{-6} \] \[ E = 7\,200 \times 10^{-6}\,\text{J} \] \[ E = 7,2\,\text{mJ} \]

Analyse d’un Hacheur Buck

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