Analyse d'un pont de Wheatstone

Contexte : Le Pont de Wheatstone

Le pont de WheatstoneCircuit électrique utilisé pour mesurer une résistance inconnue en l'équilibrant contre trois résistances connues. est un circuit électrique inventé pour mesurer avec une très grande précision la valeur d'une résistance inconnue. Il est composé de quatre résistances formant un losange (un "pont"). Un détecteur de courant, appelé galvanomètreInstrument très sensible capable de détecter de très faibles courants électriques., est placé au centre du pont. Lorsque le pont est "équilibré", aucun courant ne traverse le galvanomètre, ce qui permet de déduire la valeur de la résistance inconnue à partir des trois autres.

Remarque Pédagogique : Ce montage est extrêmement important car il transforme une mesure de résistance en une détection de "zéro courant", ce qui était beaucoup plus facile et précis à faire avec les instruments anciens. Ce principe est encore utilisé aujourd'hui dans de nombreux capteurs (jauges de contrainte, thermistances, etc.).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la structure et le principe de fonctionnement d'un pont de Wheatstone.
Définir la condition d'équilibre du pont.
Appliquer la formule de l'équilibre pour calculer une résistance inconnue.
Comprendre l'intérêt de ce montage pour des mesures de précision.

Données de l'étude

Un pont de Wheatstone est alimenté par une source de tension. On a ajusté la résistance variable \(R_3\) jusqu'à ce que le galvanomètre indique un courant nul (\(I_G = 0\)). Le pont est donc à l'équilibre.

Données disponibles :

Résistance \(R_1\) : \(100 \, \Omega\)
Résistance \(R_2\) : \(150 \, \Omega\)
Résistance \(R_3\) : \(240 \, \Omega\)
Résistance inconnue : \(R_x\)

Schéma du Pont de Wheatstone à l'Équilibre

Questions à traiter

Énoncer la condition d'équilibre d'un pont de Wheatstone en termes de potentiels et de courant.
Dériver la formule littérale qui relie les quatre résistances à l'équilibre.
Calculer la valeur de la résistance inconnue \(R_x\).

Correction : Analyse du Pont de Wheatstone

Question 1 : Condition d'Équilibre

Principe :

Le pont est dit "à l'équilibre" lorsque la différence de potentiel entre les points A et B est nulle. Par conséquent, aucun courant ne peut circuler entre ces deux points. C'est la condition que l'on détecte avec le galvanomètre.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Visualisez les deux branches du pont (R₁/R₃ et R₂/Rₓ) comme deux diviseurs de tension. L'équilibre est atteint lorsque les deux diviseurs de tension produisent exactement le même potentiel en leur point milieu (A et B).

Résultat Question 1 : La condition d'équilibre est \(V_A = V_B\), ce qui implique que le courant dans le galvanomètre est nul (\(I_G = 0\)).

Question 2 : Formule Littérale à l'Équilibre

Principe :

Puisque \(V_A = V_B\), on peut écrire les expressions des potentiels en utilisant la loi du diviseur de tension pour chaque branche. En égalisant ces expressions, on obtient la célèbre relation d'équilibre du pont de Wheatstone.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule finale est souvent appelée "la règle des produits en croix". Le produit des résistances opposées est égal. C'est un moyen mnémotechnique facile pour se souvenir de la condition d'équilibre.

Calcul(s) :

\begin{aligned} \text{À l'équilibre, on a :} \\ V_A &= V_B \\ \frac{R_3}{R_1 + R_3} \times V_{\text{cc}} &= \frac{R_x}{R_2 + R_x} \times V_{\text{cc}} \\ \frac{R_3}{R_1 + R_3} &= \frac{R_x}{R_2 + R_x} \\ R_3(R_2 + R_x) &= R_x(R_1 + R_3) \\ R_3 R_2 + R_3 R_x &= R_x R_1 + R_x R_3 \\ R_2 R_3 &= R_1 R_x \end{aligned}

Résultat Question 2 : La formule littérale à l'équilibre est \(R_1 \times R_x = R_2 \times R_3\).

Question 3 : Calcul de la Résistance Inconnue \(R_x\)

Principe :

Maintenant que nous avons la relation d'équilibre, il suffit d'isoler la résistance inconnue \(R_x\) et de remplacer les autres résistances par leurs valeurs numériques données dans l'énoncé.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'application directe de la formule. Assurez-vous de bien identifier quelle résistance est R₁, R₂, etc., sur le schéma pour ne pas inverser les valeurs dans le calcul.

Formule(s) utilisée(s) :

R_1 R_x = R_2 R_3 \quad \Rightarrow \quad R_x = \frac{R_2 \times R_3}{R_1}

Calcul(s) :

\begin{aligned} R_x &= \frac{150 \, \Omega \times 240 \, \Omega}{100 \, \Omega} \\ &= \frac{36000}{100} \, \Omega \\ &= 360 \, \Omega \end{aligned}

Conclusion : La valeur de la résistance inconnue \(R_x\) est de 360 Ω.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur
Condition d'équilibre	Cliquez pour révéler
Formule de l'équilibre	Cliquez pour révéler
Valeur de Rₓ	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Dans un pont équilibré, on a \(R_1 = 500 \, \Omega\), \(R_3 = 1.2 \, \text{k}\Omega\) et la résistance inconnue \(R_x = 800 \, \Omega\). Quelle doit être la valeur de \(R_2\) pour atteindre l'équilibre ?

R₂ = Ω

Pièges à Éviter

Inverser les rapports : L'erreur la plus commune est de mal poser la relation. Retenez la règle des "produits en croix" : \(R_1 R_x = R_2 R_3\). Ne pas écrire \(R_1 R_2 = R_3 R_x\).

Utiliser la formule si le pont n'est pas à l'équilibre : La relation des produits en croix n'est valide QUE si le pont est équilibré, c'est-à-dire si \(I_G = 0\). Si le courant n'est pas nul, il faut utiliser des méthodes plus complexes comme les lois de Kirchhoff.

Simulation Interactive de l'Équilibre

Ajustez la résistance \(R_3\) pour équilibrer le pont et trouver la valeur de \(R_x\).

Paramètres de Simulation

Résistance R₁ : 100 Ω Résistance R₂ : 150 Ω Résistance Rₓ : 360 Ω (à trouver)

Ajuster R₃ : 50 Ω

Détecteur d'Équilibre (Galvanomètre)

Tension \(V_{AB}\)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Pont Déséquilibré

Que se passe-t-il si le pont n'est pas à l'équilibre ? Un courant \(I_G\) circule dans le galvanomètre et la tension \(V_{AB}\) est non-nulle. Le calcul de ce courant et de cette tension nécessite des outils plus avancés, comme le théorème de Thévenin appliqué à la branche du galvanomètre.

2. Pont de mesure de capteurs

De nombreux capteurs (jauges de contrainte pour peser des objets, thermistances pour mesurer la température) sont des résistances dont la valeur varie en fonction d'un paramètre physique. On les place dans un pont de Wheatstone. La tension de déséquilibre \(V_{AB}\) devient alors une image directe de la grandeur physique mesurée.

Le Saviez-Vous ?

Bien que le circuit porte le nom de Sir Charles Wheatstone, qui l'a popularisé en 1843, il a en réalité été inventé par Samuel Hunter Christie en 1833. Wheatstone a cependant été le premier à en démontrer l'utilité pour de nombreuses applications pratiques de mesure, assurant ainsi sa postérité.

Foire Aux Questions (FAQ)

À quoi sert la source de tension si on ne l'utilise pas dans le calcul final ?

La source de tension est indispensable pour "activer" le circuit. Sans elle, il n'y aurait aucun potentiel ni aucun courant. Cependant, comme on peut le voir dans la dérivation de la formule, sa valeur s'annule lorsque l'on pose l'égalité des rapports des diviseurs de tension. C'est une grande force du pont : la condition d'équilibre ne dépend pas de la tension d'alimentation.

Peut-on mettre n'importe quelle résistance dans le pont ?

En théorie, oui. En pratique, pour obtenir la meilleure précision de mesure, il est conseillé que les quatre résistances soient du même ordre de grandeur. Si une résistance est très différente des autres, la sensibilité du pont diminue et il devient plus difficile de détecter précisément le point d'équilibre.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un pont de Wheatstone équilibré, quelle est la caractéristique principale ?

Le courant est maximal dans le galvanomètre.
La tension aux bornes du galvanomètre est nulle.
Toutes les résistances doivent être égales.

2. Un pont est équilibré avec \(R_1 = 220 \, \Omega\), \(R_2 = 330 \, \Omega\), et \(R_3 = 470 \, \Omega\). Quelle est la valeur de \(R_x\) ?

705 Ω
313 Ω
146 Ω

Glossaire

Pont de Wheatstone: Circuit électrique composé de quatre branches résistives, utilisé pour mesurer une résistance inconnue par une méthode de zéro (équilibre).
Galvanomètre: Instrument de mesure très sensible conçu pour détecter la présence et la direction d'un faible courant électrique.
Équilibre du pont: L'état du pont de Wheatstone dans lequel la différence de potentiel entre les points milieux est nulle, entraînant un courant nul dans le galvanomètre.