Exercices Électricité

Analyse d’un réseau maillé simple

Analyse d'un réseau maillé simple par la méthode des mailles

Analyse d'un réseau maillé simple par la méthode des mailles

Contexte : Au-delà des Circuits Simples

Lorsque les circuits électriques deviennent plus complexes et contiennent plusieurs sources ou des branches interconnectées, les lois de base (loi d'Ohm, diviseurs de tension/courant) ne suffisent plus. On entre dans le domaine des réseaux maillésCircuit électrique contenant plusieurs boucles de courant (mailles) interconnectées, ne pouvant être simplifié en un circuit série ou parallèle simple.. Pour les analyser, des méthodes plus systématiques sont nécessaires. La **méthode des courants de maille**, basée sur la loi des mailles de KirchhoffAussi appelée loi des tensions de Kirchhoff (KVL), elle stipule que la somme algébrique des différences de potentiel le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle., est l'une des plus puissantes. Elle consiste à définir des courants fictifs circulant dans chaque boucle (maille) du circuit, puis à écrire une équation pour chaque maille, menant à un système d'équations linéaires facile à résoudre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice a pour but de maîtriser la méthodologie rigoureuse de l'analyse par les mailles. C'est une technique universelle qui permet de résoudre n'importe quel circuit électrique plan, quelle que soit sa complexité.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les mailles indépendantes d'un circuit.
  • Définir correctement les courants de maille.
  • Appliquer la loi des mailles de Kirchhoff pour chaque maille.
  • Poser et résoudre un système d'équations linéaires.
  • Calculer les courants réels dans les branches à partir des courants de maille.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique à deux mailles ci-dessous, alimenté par deux sources de tension continue.

Schéma du Circuit à Analyser
R₁ E₁ R₂ R₃ E₂ R₄ i₁ i₂

Valeurs des composants :

  • \(E_1 = 12 \, \text{V}\), \(E_2 = 6 \, \text{V}\)
  • \(R_1 = 2 \, \Omega\), \(R_2 = 4 \, \Omega\), \(R_3 = 6 \, \Omega\), \(R_4 = 2 \, \Omega\)

Questions à traiter

  1. Identifier les deux mailles et définir les courants de maille \(i_1\) et \(i_2\) (en choisissant le sens horaire pour les deux).
  2. Écrire l'équation de la loi des mailles pour la maille 1 (contenant \(i_1\)).
  3. Écrire l'équation de la loi des mailles pour la maille 2 (contenant \(i_2\)).
  4. Résoudre le système de deux équations pour trouver les valeurs de \(i_1\) et \(i_2\).

Correction : Analyse d'un réseau maillé simple par la méthode des mailles

Question 1 : Identification des Mailles

Principe :
Maille 1 (i₁) Maille 2 (i₂)

Une maille est une boucle fermée dans un circuit. Ce circuit contient deux mailles indépendantes. On définit un courant de maille fictif pour chaque boucle, \(i_1\) et \(i_2\). Par convention, on leur choisit un sens de parcours arbitraire, généralement le sens horaire pour toutes les mailles, afin de systématiser l'écriture des équations.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le choix du sens des courants de maille est arbitraire. Si le résultat d'un calcul donne une valeur négative pour un courant, cela signifie simplement que le courant réel circule dans le sens opposé à celui que nous avions choisi.

Formule(s) / Concepts Clés :

Identification visuelle des boucles indépendantes du circuit.

Donnée(s) :

Le schéma du circuit fourni dans l'énoncé.

Calcul(s) :

Pas de calcul numérique pour cette question d'identification.

Points de vigilance :

Mailles Indépendantes : Il faut choisir un ensemble de mailles tel que chaque branche du circuit soit parcourue par au moins un courant de maille. La grande boucle extérieure n'est pas une maille indépendante car elle est la somme des deux mailles intérieures.

Le saviez-vous ?

La méthode des mailles est particulièrement adaptée aux circuits "planaires", c'est-à-dire les circuits que l'on peut dessiner sur une feuille sans qu'aucun fil ne se croise. Pour les circuits non-planaires (en 3D), d'autres méthodes sont nécessaires.

FAQ en rapport avec la question :
Combien de mailles faut-il choisir ?

Le nombre de mailles indépendantes (et donc d'équations à écrire) est donné par la formule \(N_{mailles} = N_{branches} - N_{nœuds} + 1\). Dans notre cas : 6 branches, 4 nœuds, donc \(6 - 4 + 1 = 3\). Cependant, le circuit est planaire et on peut visuellement identifier 2 "fenêtres", ce qui est suffisant.

Résultat : Le circuit est décomposé en deux mailles, parcourues par les courants fictifs \(i_1\) et \(i_2\).

Question 2 : Loi des Mailles pour la Maille 1

Principe :
ΣU = 0 Maille 2

La loi des mailles de Kirchhoff stipule que la somme algébrique des tensions le long d'une boucle fermée est nulle. On parcourt la maille 1 dans le sens de \(i_1\). Les tensions aux bornes des générateurs sont comptées positivement si on les traverse du - vers le +, et négativement sinon. Les tensions aux bornes des résistances sont comptées négativement si on les traverse dans le sens du courant (\(U=RI\)). Pour une résistance partagée entre deux mailles (comme \(R_3\)), son courant est la différence des deux courants de maille.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La difficulté principale est de bien gérer les signes. La méthode systématique est : on somme les tensions des générateurs (positives si on va du - au +), et on égale cela à la somme des chutes de tension dans les résistances (\(R \times I\)), où \(I\) est le courant total traversant la résistance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum_{\text{maille}} U = 0 \]
Donnée(s) :
  • Parcours dans le sens de \(i_1\) (horaire).
  • Générateur \(E_1\) : Traversé de - à +, donc \(+E_1\).
  • Résistance \(R_1\) : Traversée par \(i_1\), donc chute de tension \(R_1 i_1\).
  • Résistance \(R_2\) : Traversée par \(i_1\), donc chute de tension \(R_2 i_1\).
  • Résistance \(R_3\) : Traversée par \(i_1\) (vers le bas) et par \(i_2\) (vers le haut). Le courant net est \((i_1 - i_2)\). Chute de tension \(R_3(i_1-i_2)\).
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} E_1 - R_1 i_1 - R_2 i_1 - R_3(i_1 - i_2) &= 0 \\ E_1 &= (R_1 + R_2 + R_3)i_1 - R_3 i_2 \\ 12 &= (2 + 4 + 6)i_1 - 6i_2 \\ 12 &= 12i_1 - 6i_2 \\ \text{En simplifiant par 6 : } \quad 2 &= 2i_1 - i_2 \quad \text{(Équation 1)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Signe du Terme Commun : Le terme lié à la résistance commune, \(R_3\), est affecté par les deux courants de maille. Dans la maille 1, le courant net est \((i_1 - i_2)\) car \(i_1\) va dans le sens du parcours et \(i_2\) dans le sens opposé.

Le saviez-vous ?

La loi des mailles est une conséquence directe de la conservation de l'énergie. Le potentiel électrique étant une forme d'énergie potentielle par unité de charge, le fait de revenir au point de départ d'une boucle signifie que l'énergie potentielle finale est la même que l'initiale, donc la variation nette est nulle.

FAQ en rapport avec la question :
Et si on avait parcouru la maille dans l'autre sens ?

Si on avait parcouru la maille 1 dans le sens anti-horaire, tous les signes de l'équation auraient été inversés : \(-E_1 + R_1 i_1 + R_2 i_1 + R_3(i_1 - i_2) = 0\). Cela est mathématiquement équivalent à l'équation trouvée et donnera le même résultat final.

Résultat : L'équation de la maille 1 est \(2 = 2i_1 - i_2\).

Question 3 : Loi des Mailles pour la Maille 2

Principe :
Maille 1 ΣU = 0

On applique la même méthode pour la seconde maille, en la parcourant dans le sens de \(i_2\). On fait attention au sens de parcours des composants, notamment la source \(E_2\) et la résistance commune \(R_3\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La rigueur dans l'application de la convention de signe est la clé du succès. Une seule erreur de signe sur un terme fausse tout le système d'équations.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum_{\text{maille}} U = 0 \]
Donnée(s) :
  • Parcours dans le sens de \(i_2\) (horaire).
  • Résistance \(R_3\) : Traversée par \(i_2\) (vers le bas) et par \(i_1\) (vers le haut). Le courant net est \((i_2 - i_1)\). Chute de tension \(R_3(i_2-i_1)\).
  • Générateur \(E_2\) : Traversé de + à -, donc \(-E_2\).
  • Résistance \(R_4\) : Traversée par \(i_2\), donc chute de tension \(R_4 i_2\).
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} -R_3(i_2 - i_1) - E_2 - R_4 i_2 &= 0 \\ -E_2 &= -R_3 i_1 + (R_3 + R_4)i_2 \\ -6 &= -6i_1 + (6 + 2)i_2 \\ -6 &= -6i_1 + 8i_2 \\ \text{En simplifiant par 2 : } \quad -3 &= -3i_1 + 4i_2 \quad \text{(Équation 2)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Terme Commun : Le terme lié à la résistance commune (\(R_3\)) doit apparaître avec un signe opposé dans les deux équations de maille. Dans l'équation 1, on a \(-R_3(i_1-i_2)\) qui devient \(-R_3i_1 + R_3i_2\). Dans l'équation 2, on a \(-R_3(i_2-i_1)\) qui devient \(+R_3i_1 - R_3i_2\). C'est une bonne façon de vérifier son travail.

Le saviez-vous ?

Gustav Kirchhoff a énoncé ses deux lois (loi des nœuds et loi des mailles) en 1845 alors qu'il n'était encore qu'un étudiant. Ces deux lois, qui découlent des principes de conservation de la charge et de l'énergie, forment la base de toute l'analyse des circuits électriques.

FAQ en rapport avec la question :
Et si on avait parcouru la maille 2 dans l'autre sens ?

Si on avait parcouru la maille 2 dans le sens anti-horaire, tous les signes de l'équation auraient été inversés. On aurait obtenu \(R_3(i_2 - i_1) + E_2 + R_4 i_2 = 0\), ce qui est mathématiquement identique à l'équation trouvée. Le résultat final serait le même.

Résultat : L'équation de la maille 2 est \(-3 = -3i_1 + 4i_2\).

Question 4 : Résolution du Système

Principe :
2i₁ - i₂ = 2 -3i₁ + 4i₂ = -3 i₁ = ? i₂ = ?

On se retrouve avec un système de deux équations linéaires à deux inconnues (\(i_1\) et \(i_2\)). On peut le résoudre par substitution ou par combinaison. Ici, la substitution est simple : on exprime \(i_2\) en fonction de \(i_1\) à partir de l'équation 1, puis on remplace cette expression dans l'équation 2.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La méthode des mailles transforme un problème de physique (un circuit) en un problème purement mathématique (un système d'équations). La physique est dans la mise en équation ; la résolution est une compétence mathématique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \begin{cases} 2i_1 - i_2 = 2 \\ -3i_1 + 4i_2 = -3 \end{cases} \]
Donnée(s) :

Les deux équations trouvées précédemment.

Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{De (1) : } & i_2 = 2i_1 - 2 \\ \text{Dans (2) : } & -3i_1 + 4(2i_1 - 2) = -3 \\ & -3i_1 + 8i_1 - 8 = -3 \\ & 5i_1 = 5 \\ & i_1 = 1 \, \text{A} \\ \\ \text{Donc : } & i_2 = 2(1) - 2 \\ & i_2 = 0 \, \text{A} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Erreurs de Calcul : La résolution de systèmes d'équations est une source fréquente d'erreurs. Il est conseillé de vérifier ses résultats en les réinjectant dans les équations de départ. Ici : \(2(1) - 0 = 2\) (OK) et \(-3(1) + 4(0) = -3\) (OK).

Le saviez-vous ?

Pour les circuits avec de nombreuses mailles, la résolution manuelle devient fastidieuse. Les logiciels de simulation de circuits (comme SPICE) utilisent des méthodes matricielles (inversion de la matrice des impédances) pour résoudre des systèmes de centaines d'équations en une fraction de seconde.

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie physiquement \(i_2 = 0\) ?

Cela signifie que, par une coïncidence due aux valeurs des composants, le courant de maille \(i_2\) est nul. En conséquence, le courant réel dans la résistance \(R_4\) est nul. Le courant dans la branche commune \(R_3\) est simplement \(i_1 - i_2 = 1 - 0 = 1\) A, vers le bas.

Résultat : Les courants de maille sont \(i_1 = 1 \, \text{A}\) et \(i_2 = 0 \, \text{A}\).

Simulation : Analyse du Réseau Maillé

Modifiez les valeurs des sources de tension et observez comment les courants de maille \(i_1\) et \(i_2\) s'ajustent pour maintenir l'équilibre du circuit.

Paramètres des Sources
Courant de maille i₁
Courant de maille i₂
Courant dans R₃ (i₁ - i₂)
Visualisation des Courants

Pièges à Éviter

Signes dans la Branche Commune : L'erreur la plus fréquente concerne la chute de tension dans la résistance partagée. Il faut bien écrire \(R_3(i_1 - i_2)\) dans la maille 1 et \(R_3(i_2 - i_1)\) dans la maille 2. Inverser les signes conduit à un système d'équations incorrect.

Courant de Branche vs Courant de Maille : Le courant de maille est un outil de calcul. Le courant réel dans une branche appartenant à une seule maille est égal au courant de cette maille. Mais dans une branche commune, le courant réel est la somme (ou la différence) algébrique des courants des mailles adjacentes.

Pour Aller Plus Loin

Sources de Courant : La méthode des mailles devient plus complexe en présence de sources de courant. Si une source de courant n'est que dans une seule maille, elle impose directement la valeur du courant de cette maille. Si elle est partagée entre deux mailles, on doit créer une "super-maille" en contournant la source de courant, et ajouter une équation de relation entre les deux courants de maille.

Le Saviez-Vous ?

La méthode des mailles est une application directe de la loi des tensions de Kirchhoff, mais il existe une méthode duale, la "méthode des nœuds", qui est une application de la loi des courants de Kirchhoff. Au lieu de trouver des courants de maille, on cherche à trouver les potentiels aux différents "nœuds" du circuit. Pour certains circuits, cette méthode est plus rapide.

Foire Aux Questions (FAQ)

Peut-on choisir des sens différents pour les courants de maille ?

Oui, absolument. Le choix du sens horaire pour toutes les mailles est une convention pour simplifier et systématiser l'écriture des équations. Si vous choisissez des sens différents, vos équations seront différentes, mais la solution finale pour les courants réels dans chaque branche sera exactement la même.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La méthode des courants de maille est une application directe de :

2. Dans le circuit de l'exercice, le courant réel qui traverse la résistance R₃ est :

Glossaire

Maille
Toute boucle fermée dans un circuit électrique.
Loi des Mailles (KVL)
La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle maille est nulle.
Courant de Maille
Courant fictif que l'on suppose circuler dans une maille. C'est un outil de calcul pour résoudre le circuit.
Courant de Branche
Le courant réel qui circule dans un composant ou une branche du circuit. Il est obtenu par combinaison des courants de maille qui traversent cette branche.
Analyse d'un réseau maillé simple par la méthode des mailles

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