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Analyse d’un Système du Second Ordre

Analyse d’un Système du Second Ordre

Comprendre l’Analyse d’un Système du Second Ordre

Considérons un système de contrôle représenté par la fonction de transfert suivante :

\[ G(s) = \frac{25}{s^2 + 10s + 25} \]

où \(G(s)\) est la fonction de transfert du système en fonction de la variable complexe \(s\).

Objectifs :

1. Déterminer les caractéristiques du système :

  • Calculer la fréquence naturelle non amortie (\(\omega_n\)) et le coefficient d’amortissement (\(\zeta\)).

2. Calculer les indicateurs de performance du système :

  • Temps de montée (\(t_r\)) : temps nécessaire pour que la réponse atteigne de 0% à 100% de sa valeur finale pour la première fois.
  • Dépassement (\(M_p\)) : pourcentage maximum par lequel la réponse dépasse sa valeur finale.
  • Temps de réponse à 5% (\(t_{r5\%}\)) : temps nécessaire pour que la réponse reste à l’intérieur d’une bande de 5% autour de la valeur finale.
  • Temps de stabilisation (\(t_s\)) : temps nécessaire pour que la réponse atteigne et reste dans une bande de 2% de la valeur finale.

Hypothèses :

  • Considérez que pour un système du second ordre sous-amorti (\(0 < \zeta < 1\)), le temps de montée (\(t_r\)) de 0 à 100% n’est pas bien défini. À la place, nous utiliserons le temps de montée de 10% à 90%.

Correction : Analyse d’un Système du Second Ordre

1. Détermination des paramètres du système

La première étape consiste à identifier les paramètres caractéristiques du système, à savoir la fréquence naturelle non amortie (\( \omega_n \)) et le coefficient d’amortissement (\( \zeta \)).

Fréquence naturelle non amortie (\( \omega_n \)) :

La fréquence naturelle non amortie peut être trouvée à partir du coefficient du terme \( s^2 \) dans le dénominateur de la fonction de transfert.

Pour \[ G(s) = \frac{25}{s^2 + 10s + 25} \], le terme correspondant à \( s^2 \) est 25, donc \[ \omega_n = \sqrt{25} = 5\, \text{rad/s} \]

Coefficient d’amortissement (\( \zeta \)) :

Le coefficient d’amortissement est obtenu à partir du coefficient du terme \( s \) dans le dénominateur, normalisé par deux fois le produit de \( \omega_n \).

Pour notre fonction de transfert,

\[ \zeta = \frac{10}{2\sqrt{25}} = 1.0 \]

2. Calcul des indicateurs de performance

Avec \( \omega_n \) et \( \zeta \) déterminés, nous calculons les indicateurs de performance.

Temps de montée (\( t_r \)) :

Pour un système du second ordre sous-amorti, le temps de montée de 10% à 90% est approximé par \( t_r \approx \frac{2.2}{\omega_n} \).

Ici, \[ t_r = \frac{2.2}{5} = 0.44\, \text{s} \]

Dépassement (\( M_p \)) :

Le dépassement est calculé par

\[ M_p = e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100\% \]

Cependant, pour \( \zeta = 1 \), le système ne présente aucun dépassement car il est critique. Donc, \[ M_p = 0\% \]

Temps de stabilisation (\( t_s \)) :

Le temps de stabilisation est approximativement \( t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n} \).

Pour notre système, \[ t_s = \frac{4}{1 \times 5} = 0.8\, \text{s} \]

Analyse des résultats:

Les résultats obtenus offrent des insights sur le comportement dynamique du système :

  • Le coefficient d’amortissement \( \zeta = 1 \) indique un système critique, qui atteint son état stable le plus rapidement possible sans oscillations.
  • Un temps de montée (\( t_r = 0.44 \) s) assez court indique une réponse rapide du système à une entrée step.
  • L’absence de dépassement (\( M_p = 0\% \)) et un temps de stabilisation (\( t_s = 0.8 \) s) court sont désirables dans de nombreuses applications de contrôle où la précision et la rapidité sont cruciales.

Analyse d’un Système du Second Ordre

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