Analyse d’un Système Triphasé
Comprendre l’Analyse d’un Système Triphasé
Vous êtes chargé de concevoir le plan d’alimentation pour une nouvelle installation industrielle qui fonctionnera principalement sur un système d’alimentation triphasé. Pour optimiser la conception, vous devez d’abord analyser un système triphasé existant qui alimente un groupe de machines.
Données :
- Le système est un système triphasé équilibré avec une tension de ligne de 400 V (c’est-à-dire, la tension entre phases).
- La charge est constituée de trois ensembles identiques de bobines inductives, chacune avec une impédance de \(Z = (5 + j15) \, \Omega\).
- La fréquence du système est de 50 Hz.
Questions :
1. Calcul de la Tension de Phase:
- Déterminez la tension de phase (\(V_{\text{ph}}\)) du système.
2. Calcul du Courant de Ligne:
- Calculez le courant de ligne (\(I_L\)) qui traverse chaque bobine.
3. Calcul de la Puissance Consommée:
- Calculez la puissance active (\(P\)), réactive (\(Q\)) et apparente (\(S\)) consommée par la charge. Utilisez les formules adaptées à un système triphasé.
4. Détermination du Facteur de Puissance:
- Déterminez le facteur de puissance du système et interprétez le résultat.
Correction : Analyse d’un Système Triphasé
1. Calcul de la Tension de Phase (\(V_{ph}\))
Dans un système triphasé équilibré en étoile, la relation entre la tension de ligne et la tension de phase est :
\[V_{ph} = \frac{V_L}{\sqrt{3}}\]
En substituant les valeurs :
\[V_{ph} = \frac{400\ \text{V}}{\sqrt{3}} \quad \text{avec } \sqrt{3} \approx 1,732\]
\[V_{ph} \approx \frac{400}{1,732}\]
\[V_{ph} \approx 230,94\ \text{V}\]
Résultat :
La tension de phase est d’environ 230,94 V.
2. Calcul du Courant de Ligne
Chaque bobine est connectée entre une phase et le neutre (configuration étoile). Le courant de phase est donné par :
\[I_{ph} = \frac{V_{ph}}{Z}\]
- Calcul de la valeur de l’impédance :
\[Z = 5+j15\ \Omega\]
Le module de l’impédance est :
\[|Z| = \sqrt{5^2+15^2}\]
\[|Z| = \sqrt{25+225}\]
\[|Z| = \sqrt{250}\]
\[|Z| \approx 15,81\ \Omega\]
- Substitution pour le courant :
\[I_{ph} = \frac{230,94\ \text{V}}{15,81\ \Omega}\]
\[I_{ph} \approx 14,62\ \text{A}\]
Dans une connexion en étoile, le courant de ligne est égal au courant de phase :
\[I_{L} = I_{ph} \approx 14,62\ \text{A}\]
Le courant de ligne (ou de phase) est d’environ 14,62 A.
3. Calcul des Puissances Consommées
a) Puissance Active (P)
Pour un système triphasé, la puissance active totale se calcule par :
\[P = 3 \cdot V_{ph} \cdot I_{ph} \cdot \cos(\varphi)\]
- Détermination de \(\cos(\varphi)\) :
La phase de l’impédance est :
\[\varphi = \arctan\left(\frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)}\right)\]
\[\varphi = \arctan\left(\frac{15}{5}\right)\]
\[\varphi = \arctan(3)\]
\[\varphi \approx 71,565^\circ\]
Donc,
\[\cos(\varphi) = \frac{5}{|Z|}\]
\[\cos(\varphi) = \frac{5}{15,81}\]
\[\cos(\varphi) \approx 0,316\]
- Calcul de la puissance active :
\[P = 3 \cdot 230,94\ \text{V} \cdot 14,62\ \text{A} \cdot 0,316\]
Détaillons le calcul :
Calculons d’abord
\[230,94 \times 14,62 \approx 3373,5\ \text{VA}\]
Puis multiplions par 3 :
\[3 \times 3373,5 \approx 10120,5\ \text{VA}\]
Application du facteur \(\cos(\varphi)\) :
\[P \approx 10120,5 \times 0,316\]
\[P \approx 3200\ \text{W}\]
La puissance active totale est d’environ 3200 W.
b) Puissance Réactive (Q)
La puissance réactive se calcule par :
\[Q = 3 \cdot V_{ph} \cdot I_{ph} \cdot \sin(\varphi)\]
- Calcul de \(\sin(\varphi)\) :
\[\sin(\varphi) = \frac{15}{15,81}\]
\[\sin(\varphi) \approx 0,949\]
- Calcul de la puissance réactive :
\[Q = 3 \cdot 230,94\ \text{V} \cdot 14,62\ \text{A} \cdot 0,949\]
Utilisons le résultat déjà obtenu pour :
\begin{equation}
3 \cdot V_{ph} \cdot I_{ph} \approx 10120,5\ \text{VA}
\end{equation}
\[Q \approx 10120,5 \times 0,949\]
\[Q \approx 9600\ \text{VAR}\]
La puissance réactive totale est d’environ 9600 VAR.
c) Puissance Apparente (S)
La puissance apparente se calcule de deux manières :
Par multiplication directe :
\[S = 3 \cdot V_{ph} \cdot I_{ph}\]
\[S \approx 10120,5\ \text{VA}\]
En utilisant la relation avec P et Q :
\[S = \sqrt{P^2+Q^2}\]
\[S = \sqrt{3200^2+9600^2}\]
\[S = \sqrt{10\,240\,000+92\,160\,000}\]
\[S = \sqrt{102\,400\,000}\]
\[S \approx 10120\ \text{VA}\]
La puissance apparente totale est d’environ 10120 VA.
4. Détermination du Facteur de Puissance
Le facteur de puissance (FP) est défini par :
\[\text{FP} = \cos(\varphi)\]
D’après nos calculs :
\[\text{FP} \approx 0,316\]
Interprétation :
- Un facteur de puissance de 0,316 indique que le circuit est très inductif.
- Cela signifie qu’une grande partie de l’énergie circulant dans le système est réactive (non convertie en travail utile) et se retrouve stockée dans le champ magnétique des bobines.
- Dans un contexte industriel, un tel facteur de puissance faible peut entraîner une surcharge des équipements et une inefficacité du système d’alimentation, nécessitant souvent des dispositifs de correction (comme des condensateurs) pour améliorer le rendement énergétique.
Conclusion : Le facteur de puissance est 0,316 (très faible et inductif), ce qui reflète une forte composante réactive dans le système.
Analyse d’un Système Triphasé
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