Exercices Électricité

Application du Principe de Superposition

Application du Principe de Superposition dans les Circuits Linéaires

Application du Principe de Superposition dans les Circuits Linéaires

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le principe de superposition en analysant l'effet de chaque source de tension indépendamment.
  • Calculer la contribution de chaque source à la tension aux bornes d'une résistance.
  • Additionner algébriquement les contributions pour trouver la tension totale finale.

Contexte du Principe de Superposition

Le principe de superposition est une méthode d'analyse de circuit utilisée pour les circuits linéaires contenant plusieurs sources indépendantes. Il stipule que la tension aux bornes (ou le courant à travers) d'un élément est la somme algébrique des tensions (ou courants) produites par chaque source agissant seule, les autres sources étant "éteintes". Cela permet de décomposer un problème complexe en plusieurs problèmes plus simples.

Données de l'étude

On cherche à déterminer la tension \(V_{R2}\) aux bornes de la résistance \(R_2\) dans le circuit ci-dessous, en utilisant le principe de superposition.

Caractéristiques du circuit :

  • Source de tension \(V_1\) : \(28 \, \text{V}\)
  • Source de tension \(V_2\) : \(7 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(2 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(1 \, \Omega\)
Schéma du Circuit Initial
+- V1 R1 R2 R3 +- V2 + VR2 -

Questions à traiter

  1. Calculer la contribution de la source \(V_1\) à la tension \(V_{R2}\) (notée \(V'_{R2}\)).
  2. Calculer la contribution de la source \(V_2\) à la tension \(V_{R2}\) (notée \(V''_{R2}\)).
  3. Utiliser le principe de superposition pour trouver la tension totale \(V_{R2}\).

Correction : Application du Principe de Superposition dans les Circuits Linéaires

Question 1 : Contribution de V1 seule (\(V'_{R2}\))

Principe :
+- V1 R1 R23

On "éteint" toutes les sources sauf \(V_1\). Une source de tension éteinte est remplacée par un court-circuit. Le circuit se simplifie : \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle, et leur résistance équivalente (\(R_{23}\)) est en série avec \(R_1\). La tension \(V'_{R2}\) est alors la tension aux bornes du groupement parallèle, que l'on peut trouver avec un diviseur de tension.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Redessiner mentalement ou sur papier le circuit à chaque étape de la superposition est la clé du succès. Voir que \(R_2\) et \(R_3\) deviennent parallèles une fois \(V_2\) court-circuitée est l'étape la plus importante ici.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} \quad ; \quad V'_{R2} = V_1 \cdot \frac{R_{23}}{R_1 + R_{23}} \]
Données(s) :
  • Tension de source (\(V_1\)) : \(28 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(2 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(1 \, \Omega\)
Calcul(s) :

1. Calcul de la résistance équivalente de R2 et R3 en parallèle :

\[ \begin{aligned} R_{23} &= \frac{2 \, \Omega \times 1 \, \Omega}{2 \, \Omega + 1 \, \Omega} = \frac{2}{3} \, \Omega \end{aligned} \]

2. Calcul de la tension aux bornes de ce groupe (diviseur de tension) :

\[ \begin{aligned} V'_{R2} &= 28 \, \text{V} \times \frac{2/3 \, \Omega}{4 \, \Omega + 2/3 \, \Omega} \\ &= 28 \, \text{V} \times \frac{2/3}{14/3} \\ &= 28 \, \text{V} \times \frac{2}{14} = 4 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La contribution de \(V_1\) à la tension \(V_{R2}\) est \(V'_{R2} = 4 \, \text{V}\).

Question 2 : Contribution de V2 seule (\(V''_{R2}\))

Principe :
+- V2 R3 R12

On éteint maintenant \(V_1\) (remplacée par un court-circuit) et on garde \(V_2\). Le circuit se simplifie différemment : \(R_1\) et \(R_2\) sont en parallèle, et leur équivalent (\(R_{12}\)) est en série avec \(R_3\). La tension \(V''_{R2}\) est la tension aux bornes du groupement parallèle \(R_1 \parallel R_2\), calculée avec un diviseur de tension.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Notez que la polarité de la tension calculée est importante. Ici, la source \(V_2\) pousse également un courant de haut en bas à travers \(R_2\), donc sa contribution \(V''_{R2}\) aura le même signe que \(V'_{R2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{12} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \quad ; \quad V''_{R2} = V_2 \cdot \frac{R_{12}}{R_3 + R_{12}} \]
Données(s) :
  • Tension de source (\(V_2\)) : \(7 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(2 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(1 \, \Omega\)
Calcul(s) :

1. Calcul de la résistance équivalente de R1 et R2 en parallèle :

\[ \begin{aligned} R_{12} &= \frac{4 \, \Omega \times 2 \, \Omega}{4 \, \Omega + 2 \, \Omega} = \frac{8}{6} \, \Omega = \frac{4}{3} \, \Omega \end{aligned} \]

2. Calcul de la tension aux bornes de ce groupe :

\[ \begin{aligned} V''_{R2} &= 7 \, \text{V} \times \frac{4/3 \, \Omega}{1 \, \Omega + 4/3 \, \Omega} \\ &= 7 \, \text{V} \times \frac{4/3}{7/3} \\ &= 7 \, \text{V} \times \frac{4}{7} = 4 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contribution de \(V_2\) à la tension \(V_{R2}\) est \(V''_{R2} = 4 \, \text{V}\).

Test de Compréhension : Si la source V2 était inversée, sa contribution V''R2 serait...

Question 3 : Tension Totale (\(V_{R2}\))

Principe :
V'R2 + V''R2 VR2

Le principe de superposition stipule que la réponse totale est la somme algébrique des réponses individuelles. Comme les deux sources créent une tension de même polarité aux bornes de \(R_2\), on les additionne simplement.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Si une des sources avait été inversée, sa contribution aurait été négative, et il aurait fallu la soustraire. La "somme algébrique" est le terme technique pour dire qu'il faut tenir compte des signes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_{R2} = V'_{R2} + V''_{R2} \]
Données(s) :
  • Contribution de V1 (\(V'_{R2}\)) : \(4 \, \text{V}\)
  • Contribution de V2 (\(V''_{R2}\)) : \(4 \, \text{V}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} V_{R2} &= 4 \, \text{V} + 4 \, \text{V} \\ &= 8 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La tension totale aux bornes de R2 est \(V_{R2} = 8 \, \text{V}\).

Test de Compréhension : Peut-on utiliser la superposition pour calculer la puissance totale dissipée par R2 ?

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Valeur Calculée
Contribution de V1 (\(V'_{R2}\)) Cliquez pour révéler
Contribution de V2 (\(V''_{R2}\)) Cliquez pour révéler
Tension totale (\(V_{R2}\)) Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Recalculez la tension totale \(V_{R2}\) si la source \(V_1\) est maintenant de \(14 \, \text{V}\) et la source \(V_2\) est inversée (sa valeur pour le calcul est donc \(-7 \, \text{V}\)).

Pièges à Éviter

Ne pas éteindre les sources : La plus grande erreur est de ne pas remplacer correctement les sources inactives : les sources de tension par un court-circuit et les sources de courant par un circuit ouvert.

Erreurs de signe : La superposition est une somme **algébrique**. Il faut bien définir une polarité de référence pour la tension (ou un sens pour le courant) et additionner ou soustraire les contributions en fonction de cette référence.

Simulation Interactive

Variez les tensions des sources pour voir comment leurs contributions s'additionnent.

Paramètres de Simulation
Contributions à VR2
Effet de V1 seul (\(V'_{R2}\))
Effet de V2 seul (\(V''_{R2}\))
Tension Totale (\(V_{R2}\))

Pour Aller Plus Loin

Sources Dépendantes

Le principe de superposition s'applique uniquement aux sources **indépendantes**. Si un circuit contient des sources dépendantes (dont la valeur dépend d'une autre tension ou d'un autre courant dans le circuit), elles ne doivent jamais être "éteintes". Elles restent actives durant toute l'analyse.

Le Saviez-Vous ?

Le principe de superposition est fondamental en traitement du signal. Un son complexe, comme celui d'un orchestre, peut être décomposé en une somme de sons purs (sinusoïdes) de fréquences différentes. C'est le principe de la transformée de Fourier, qui est une forme de superposition appliquée aux signaux.

Foire Aux Questions (FAQ)

Peut-on utiliser la superposition pour calculer la puissance ?

Non, c'est un piège classique ! La puissance n'est pas une fonction linéaire du courant ou de la tension (ex: \(P=RI^2\)). On ne peut pas calculer la puissance due à chaque source et les additionner. Il faut d'abord trouver le courant total ou la tension totale en utilisant la superposition, et ensuite seulement calculer la puissance avec cette valeur totale.

Que faire si le circuit contient une source de courant et une source de tension ?

Le principe reste le même. Dans un premier temps, vous éteignez la source de courant (circuit ouvert) et calculez l'effet de la source de tension. Dans un deuxième temps, vous éteignez la source de tension (court-circuit) et calculez l'effet de la source de courant. Finalement, vous additionnez les deux contributions.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour appliquer la superposition, on éteint une source de tension en la remplaçant par :

2. Le principe de superposition s'applique aux :

Glossaire

Principe de Superposition
Théorème d'analyse des circuits linéaires stipulant que le courant ou la tension total(e) en un point est la somme algébrique des courants ou tensions causé(e)s par chaque source indépendante agissant seule.
Circuit Linéaire
Un circuit composé d'éléments (résistances, condensateurs, bobines) dont la relation tension-courant est linéaire, et de sources indépendantes. La loi d'Ohm en est un parfait exemple.
"Éteindre" une Source
Remplacer une source par sa résistance interne idéale pour n'analyser que l'effet des autres sources. Une source de tension est remplacée par un court-circuit (R=0) et une source de courant par un circuit ouvert (R=∞).
Application du Principe de Superposition

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