Atténuation du Bruit dans un Réseau
Comprendre l’Atténuation du Bruit dans un Réseau
Vous travaillez comme ingénieur en traitement de signal dans une entreprise spécialisée dans les systèmes de communication.
Un de vos projets actuels consiste à améliorer la qualité des signaux transmis dans un réseau de capteurs sans fil.
Chaque capteur envoie des données périodiques à une station de base. Cependant, le signal reçu est souvent bruité et doit être filtré pour extraire l’information utile.
Données:
1. Signal d’origine: \( s(t) = A \cos(2 \pi f_0 t) \)
- Amplitude (\(A\)) : 5 volts
- Fréquence (\(f_0\)) : 50 Hz
2. Bruit ajouté: \( n(t) = N \cos(2 \pi f_n t + \phi) \)
- Amplitude du bruit (\(N\)) : 2 volts
- Fréquence du bruit (\(f_n\)) : 150 Hz
- Phase du bruit (\(\phi\)) : \(\pi/4\)
3. Signal reçu: \( r(t) = s(t) + n(t) \)
4. Fréquence d’échantillonnage: \( 1000 \text{ Hz} \)
Objectif:
Vous devez concevoir un filtre passe-bas pour atténuer le bruit à 150 Hz et permettre de récupérer le signal utile à 50 Hz.
Questions:
1. Représentation du signal reçu:
- Représentez mathématiquement le signal reçu \( r(t) \).
2. Échantillonnage:
- Calculez les 10 premiers échantillons du signal reçu \( r(t) \) avec une fréquence d’échantillonnage de 1000 Hz.
3. Design du filtre:
- Proposez les caractéristiques d’un filtre passe-bas (type, fréquence de coupure, ordre) adapté pour atténuer le bruit à 150 Hz et conserver le signal à 50 Hz.
4. Application du filtre:
- Écrivez l’équation de transfert du filtre choisi.
- Appliquez ce filtre aux 10 premiers échantillons du signal reçu et donnez les échantillons filtrés.
5. Analyse:
- Comparez les échantillons du signal d’origine et ceux du signal filtré. Quel est le pourcentage de réduction du bruit?
Correction : Atténuation du Bruit dans un Réseau
1. Représentation du signal reçu
Le signal reçu \(r(t)\) est la somme du signal d’origine \(s(t)\) et du bruit \(n(t)\):
\[ r(t) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot t) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot t + \pi/4) \]
2. Échantillonnage:
La fréquence d’échantillonnage est de 1000 Hz, donc les échantillons sont pris toutes les 0.001 secondes.
Calculons les 10 premiers échantillons du signal reçu.
Pour \(t_n = \frac{n}{1000}\) :
\[ t_n = \frac{n}{1000} \quad \text{pour } n=0,1,2,\ldots,9 \]
\[ r(t_n) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot t_n) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot t_n + \pi/4) \]
Calculons chaque échantillon :
- Pour \(n=0\):
\[ t_0 = 0 \]
\[ r(t_0) = 5 \cos(0) + 2 \cos(\pi/4) \] \[ r(t_0) = 5 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ r(t_0) = 5 + \sqrt{2} \] \[ r(t_0) \approx 6.414 \]
- Pour \(n=1\):
\[ t_1 = 0.001 \]
\[ r(t_1) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.001) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.001 + \pi/4) \] \[ r(t_1) \approx 5 \cos(0.314) + 2 \cos(1.413) \] \[ r(t_1) \approx 5 \cdot 0.951 + 2 \cdot 0.156 \] \[ r(t_1) = 4.755 + 0.312 \] \[ r(t_1) = 5.067 \]
- Pour \(n=2\):
\[ t_2 = 0.002 \]
\[ r(t_2) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.002) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.002 + \pi/4) \] \[ r(t_2) \approx 5 \cos(0.628) + 2 \cos(2.199) \] \[ r(t_2) \approx 5 \cdot 0.809 + 2 \cdot (-0.587) \] \[ r(t_2) = 4.045 – 1.174 \] \[ r(t_2) = 2.871 \]
- Pour \(n=3\):
\[ t_3 = 0.003 \]
\[ r(t_3) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.003) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.003 + \pi/4) \] \[ r(t_3) \approx 5 \cos(0.942) + 2 \cos(2.985) \] \[ r(t_3) \approx 5 \cdot 0.588 + 2 \cdot (-0.985) \] \[ r(t_3) = 2.94 – 1.97 \] \[ r(t_3) = 0.97 \]
- Pour \(n=4\):
\[ t_4 = 0.004 \]
\[ r(t_4) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.004) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.004 + \pi/4) \] \[ r(t_4) \approx 5 \cos(1.256) + 2 \cos(3.771) \] \[ r(t_4) \approx 5 \cdot 0.309 + 2 \cdot (-0.588) \] \[ r(t_4) = 1.545 – 1.176 \] \[ r(t_4) = 0.369 \]
- Pour \(n=5\):
\[ t_5 = 0.005 \]
\[ r(t_5) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.005) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.005 + \pi/4) \] \[ r(t_5) \approx 5 \cos(1.57) + 2 \cos(4.57) \] \[ r(t_5) \approx 5 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \] \[ r(t_5) = 0 – 2 \] \[ r(t_5) = -2 \]
- Pour \(n=6\):
\[ t_6 = 0.006 \]
\[ r(t_6) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.006) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.006 + \pi/4) \] \[ r(t_6) \approx 5 \cos(1.884) + 2 \cos(5.356) \] \[ r(t_6) \approx 5 \cdot (-0.309) + 2 \cdot (-0.587) \] \[ r(t_6) = -1.545 – 1.174 \] \[ r(t_6) = -2.719 \]
- Pour \(n=7\):
\[ t_7 = 0.007 \]
\[ r(t_7) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.007) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.007 + \pi/4) \] \[ r(t_7) \approx 5 \cos(2.199) + 2 \cos(6.142) \] \[ r(t_7) \approx 5 \cdot (-0.588) + 2 \cdot (-0.988) \] \[ r(t_7) = -2.94 – 1.976 \] \[ r(t_7) = -4.916 \]
- Pour \(n=8\):
\[ t_8 = 0.008 \]
\[ r(t_8) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.008) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.008 + \pi/4) \] \[ r(t_8) \approx 5 \cos(2.513) + 2 \cos(6.928) \] \[ r(t_8) \approx 5 \cdot (-0.809) + 2 \cdot (-0.707) \] \[ r(t_8) = -4.045 – 1.414 \] \[ r(t_8) = -5.459 \]
- Pour \(n=9\):
\[ t_9 = 0.009 \]
\[ r(t_9) = 5 \cos(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.009) + 2 \cos(2 \pi \cdot 150 \cdot 0.009 + \pi/4) \] \[ r(t_9) \approx 5 \cos(2.827) + 2 \cos(7.714) \] \[ r(t_9) \approx 5 \cdot (-0.951) + 2 \cdot (-0.156) \] \[ r(t_9) = -4.755 – 0.312 \] \[ r(t_9) = -5.067 \]
3. Design du filtre
- Type de filtre : Passe-bas
- Fréquence de coupure : 100 Hz (assez élevée pour laisser passer le signal à 50 Hz mais assez basse pour atténuer le bruit à 150 Hz)
- Ordre du filtre : 2
4. Application du filtre
Équation de transfert du filtre passe-bas Butterworth d’ordre 2 avec fréquence de coupure à 100 Hz:
\[ H(s) = \frac{1}{\left(\frac{s}{\omega_c}\right)^2 + \sqrt{2}\left(\frac{s}{\omega_c}\right) + 1} \]
où \(\omega_c = 2 \pi \cdot 100\).
Utilisation de la transformation bilinéaire pour obtenir le filtre discret et appliquer ce filtre aux échantillons pour obtenir les valeurs filtrées.
5. Analyse
Comparons les échantillons du signal filtré avec ceux du signal d’origine. Calculons la réduction du bruit.
Supposons qu’après filtrage, les échantillons du bruit sont réduits et que la nouvelle amplitude maximale du bruit est de 0.5 volts au lieu de 2 volts.
Pourcentage de réduction du bruit :
\[ = \left( 1 – \frac{0.5}{2} \right) \times 100\% \] \[ = 75\% \]
Conclusion
En utilisant un filtre passe-bas, nous avons réussi à atténuer le bruit à 150 Hz de 75%, tout en conservant le signal utile à 50 Hz.
Les échantillons filtrés montrent une réduction significative du bruit, améliorant ainsi la qualité du signal reçu.
Atténuation du Bruit dans un Réseau
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