Atténuation du Bruit dans un Réseau

Atténuation du Bruit dans un Réseau

Comprendre l’Atténuation du Bruit dans un Réseau

Vous travaillez comme ingénieur en traitement de signal dans une entreprise spécialisée dans les systèmes de communication. Un de vos projets actuels consiste à améliorer la qualité des signaux transmis dans un réseau de capteurs sans fil. Chaque capteur envoie des données périodiques à une station de base. Cependant, le signal reçu est souvent bruité et doit être filtré pour extraire l’information utile.

Données:

1. Signal d’origine: \( s(t) = A \cos(2 \pi f_0 t) \)

• Amplitude (\(A\)) : 5 volts
• Fréquence (\(f_0\)) : 50 Hz

2. Bruit ajouté: \( n(t) = N \cos(2 \pi f_n t + \phi) \)

• Amplitude du bruit (\(N\)) : 2 volts
• Fréquence du bruit (\(f_n\)) : 150 Hz
• Phase du bruit (\(\phi\)) : \(\pi/4\)

3. Signal reçu: \( r(t) = s(t) + n(t) \)

4. Fréquence d’échantillonnage: \( 1000 \text{ Hz} \)

Objectif:

Vous devez concevoir un filtre passe-bas pour atténuer le bruit à 150 Hz et permettre de récupérer le signal utile à 50 Hz.

Questions:

1. Représentation du signal reçu:

• Représentez mathématiquement le signal reçu \( r(t) \).

2. Échantillonnage:

• Calculez les 10 premiers échantillons du signal reçu \( r(t) \) avec une fréquence d’échantillonnage de 1000 Hz.

3. Design du filtre:

• Proposez les caractéristiques d’un filtre passe-bas (type, fréquence de coupure, ordre) adapté pour atténuer le bruit à 150 Hz et conserver le signal à 50 Hz.

4. Application du filtre:

• Écrivez l’équation de transfert du filtre choisi.
• Appliquez ce filtre aux 10 premiers échantillons du signal reçu et donnez les échantillons filtrés.

5. Analyse:

• Comparez les échantillons du signal d’origine et ceux du signal filtré. Quel est le pourcentage de réduction du bruit?

Correction : Atténuation du Bruit dans un Réseau

1. Représentation du signal reçu

Le capteur transmet un signal sinusoïdal « utile » qui est additionné à un bruit sinusoïdal. On nous donne :

• Signal utile :

\[ s(t)=A\cos(2\pi f_0t) \] avec \(A=5\,V \text{ et } f_0=50\,\text{Hz}\)

Le bruit est donné par :

\[ n(t)=N\cos(2\pi f_n t+\varphi) \] avec \(N=2\,V,\; f_n=150\,\text{Hz},\; \varphi=\frac{\pi}{4}.\)

Le signal reçu est la somme des deux contributions :

\[ r(t)=s(t)+n(t)=5\cos(2\pi\cdot50\,t)+2\cos\Bigl(2\pi\cdot150\,t+\frac{\pi}{4}\Bigr). \]

Données:

• \(A=5\,V,\quad f_0=50\,\text{Hz},\)
• \(N=2\,V,\quad f_n=150\,\text{Hz},\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.\)

Calcul final:

\[ r(t)=5\cos(2\pi\cdot50\,t)+2\cos\Bigl(2\pi\cdot150\,t+\frac{\pi}{4}\Bigr). \]

2. Calcul des 10 premiers échantillons (échantillonnage à 1000 Hz)

La fréquence d’échantillonnage est \( f_s=1000\,\text{Hz} \) ce qui donne une période d’échantillonnage :

\[ T=\frac{1}{f_s}=0.001\,\text{s}. \]

Pour \( n=0,1,\dots,9 \) les instants d’échantillonnage sont \( t_n=n\cdot T \) et les échantillons :

\[
r[n]=r(t_n)=5\cos(2\pi\cdot50\,n\cdot0.001)+2\cos\Bigl(2\pi\cdot150\,n\cdot0.001+\frac{\pi}{4}\Bigr).
\]

Calcul détaillé pour \( n=0 \) à \( n=9 \)

Nous présenterons ici les valeurs approchées (les angles étant en radians) :

1. \( n=0 \) :

• \( t_0=0\,s \)
• \( s(0)=5\cos(0)=5 \)
• \( n(0)=2\cos\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)=2\cdot0.7071\approx1.414 \)
• \(\displaystyle r(0)=5+1.414\approx6.414\,V \).

2. \( n=1 \) :

• \( t_1=0.001\,s \)
• \( s(0.001)=5\cos(2\pi\cdot50\cdot0.001)=5\cos(0.31416)\approx5\cdot0.9511\approx4.755\,V \)
• \( n(0.001)=2\cos(2\pi\cdot150\cdot0.001+\pi/4)=2\cos(0.94248+0.78540)=2\cos(1.72788)\approx2\cdot(-0.1564)\approx-0.3129\,V \)
• \(\displaystyle r(1)=4.755-0.3129\approx4.442\,V \).

3. \( n=2 \) :

• \( t_2=0.002\,s \)
• \( s(0.002)=5\cos(0.62832)\approx5\cdot0.8090\approx4.045\,V \)
• \( n(0.002)=2\cos(1.88496+0.78540)=2\cos(2.67036)\approx2\cdot(-0.8924)\approx-1.7848\,V \)
• \(\displaystyle r(2)=4.045-1.7848\approx2.260\,V \).

4. \( n=3 \) :

• \( t_3=0.003\,s \)
• \( s(0.003)=5\cos(0.94248)\approx5\cdot0.5878\approx2.939\,V \)
• \( n(0.003)=2\cos(2.82743+0.78540)=2\cos(3.61283)\approx2\cdot(-0.8910)\approx-1.7820\,V \)
• \(\displaystyle r(3)=2.939-1.7820\approx1.157\,V \).

5. \( n=4 \) :

• \( t_4=0.004\,s \)
• \( s(0.004)=5\cos(1.25664)\approx5\cdot0.3090\approx1.545\,V \)
• \( n(0.004)=2\cos(3.76991+0.78540)=2\cos(4.55531)\approx2\cdot(-0.1564)\approx-0.3129\,V \)
• \(\displaystyle r(4)=1.545-0.3129\approx1.232\,V \).

6. \( n=5 \) :

• \( t_5=0.005\,s \)
• \( s(0.005)=5\cos(1.57080)=5\cdot0\approx0\,V \)
• \( n(0.005)=2\cos(4.71239+0.78540)=2\cos(5.49779)\approx2\cdot0.7071\approx1.414\,V \)
• \(\displaystyle r(5)=0+1.414\approx1.414\,V \).

7. \( n=6 \) :

• \( t_6=0.006\,s \)
• \( s(0.006)=5\cos(1.88496)\approx5\cdot(-0.3090)\approx-1.545\,V \)
• \( n(0.006)=2\cos(5.65487+0.78540)=2\cos(6.44027) \);
  Remarquons que \(6.44027-2\pi\approx0.15708\) et \(\cos(0.15708)\approx0.9877\),
  donc \( n(0.006)\approx2\cdot0.9877\approx1.975\,V \)
• \(\displaystyle r(6)=-1.545+1.975\approx0.430\,V \).

8. \( n=7 \) :

• \( t_7=0.007\,s \)
• \( s(0.007)=5\cos(2.19911)\approx5\cdot(-0.5878)\approx-2.939\,V \)
• \( n(0.007)=2\cos(6.59734+0.78540)=2\cos(7.38274) \);
  en ramenant \(7.38274-2\pi\approx1.09955\), \(\cos(1.09955)\approx0.4540\),
  donc \( n(0.007)\approx2\cdot0.4540\approx0.908\,V \)
• \(\displaystyle r(7)=-2.939+0.908\approx-2.031\,V \).

9. \( n=8 \) :

• \( t_8=0.008\,s \)
• \( s(0.008)=5\cos(2.51327)\approx5\cdot(-0.8090)\approx-4.045\,V \)
• \( n(0.008)=2\cos(7.53982+0.78540)=2\cos(8.32522) \);
  \(8.32522-2\pi\approx2.04203\) et \(\cos(2.04203)\approx-0.4540\),
  donc \( n(0.008)\approx2\cdot(-0.4540)\approx-0.908\,V \)
• \(\displaystyle r(8)=-4.045-0.908\approx-4.953\,V \).

10. \( n=9 \) :

• \( t_9=0.009\,s \)
• \( s(0.009)=5\cos(2.82743)\approx5\cdot(-0.9511)\approx-4.755\,V \)
• \( n(0.009)=2\cos(8.48230+0.78540)=2\cos(9.26770) \);
  \(9.26770-2\pi\approx2.98451\) et \(\cos(2.98451)\approx-0.9877\),
  donc \( n(0.009)\approx2\cdot(-0.9877)\approx-1.975\,V \)
• \(\displaystyle r(9)=-4.755-1.975\approx-6.731\,V \).

Résumé des 10 premiers échantillons

\[
\begin{array}{cl}
r(0)&\approx+6.414\,V\\[1mm]
r(1)&\approx+4.442\,V\\[1mm]
r(2)&\approx+2.260\,V\\[1mm]
r(3)&\approx+1.157\,V\\[1mm]
r(4)&\approx+1.232\,V\\[1mm]
r(5)&\approx+1.414\,V\\[1mm]
r(6)&\approx+0.430\,V\\[1mm]
r(7)&\approx-2.031\,V\\[1mm]
r(8)&\approx-4.953\,V\\[1mm]
r(9)&\approx-6.731\,V
\end{array}
\]

3. Design du filtre passe-bas

Objectif

Nous souhaitons conserver le signal à \(50\,\text{Hz}\) et atténuer le bruit à \(150\,\text{Hz}\).

Choix de la fréquence de coupure et de l’ordre

Pour que la bande passante inclue \(50\,\text{Hz}\) et rejette \(150\,\text{Hz}\), il est judicieux de choisir une fréquence de coupure \( f_c \) comprise entre ces deux valeurs. Par exemple, on peut choisir :
\[
f_c=75\,\text{Hz}.
\]
Pour obtenir une atténuation suffisante (pente plus raide), on peut utiliser un filtre Butterworth.
Pour alléger les calculs manuels, nous proposons ici un \textbf{filtre numérique Butterworth d’ordre 2} (bien qu’un ordre 4 offrirait une atténuation plus forte du bruit).

Caractéristiques proposées

• Type : Filtre passe-bas numérique Butterworth
• Fréquence de coupure : \( f_c=75\,\text{Hz} \)
• Ordre : 2

Atténuation théorique

Pour un filtre Butterworth d’ordre \( n \), le gain en fréquence est :

\[ \vert H(jf) \vert = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^{2n}}}. \]

Pour \( f=150\,\text{Hz} \) et \( n=2 \) :

\[ \vert H(j150) \vert = \frac{1}{\sqrt{1+(150/75)^4}} \] \[ \vert H(j150) \vert = \frac{1}{\sqrt{1+2^4}} \] \[ \vert H(j150) \vert = \frac{1}{\sqrt{17}} \] \[ \vert H(j150) \vert \approx 0.2425. \]

Ainsi, la composante bruit de \(2\,V\) est réduite à environ : \( 2 \times 0.2425 \approx 0.485\,V,\) soit une atténuation d’environ 75%).

4. Équation de transfert du filtre et application aux 10 premiers échantillons

a) Équation de transfert

Étape de conception par bilinéarisation

Pour un filtre analogique Butterworth d’ordre 2 à \( f_c=75\,\text{Hz} \) (avec \( \omega_c=2\pi\cdot75 \)) la fonction de transfert est :

\[ H(s)=\frac{\omega_c^2}{s^2+\sqrt{2}\,\omega_c\,s+\omega_c^2}. \]

En passant au domaine discret par la transformation bilinéaire, on utilise la formule :

\[ s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}},\quad \text{avec } T=0.001\,\text{s}. \]

Après calcul (les détails algébriques sont omis ici pour alléger la présentation), on obtient des coefficients normalisés sous la forme :

\[ H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}, \]

avec :

• \(K=\tan\Bigl(\pi\frac{f_c}{f_s}\Bigr)=\tan\Bigl(\pi\frac{75}{1000}\Bigr)\approx0.240,\)
• \(a_0=1+\sqrt{2}\,K+K^2\approx1+0.339+0.0576\approx1.397,\)
• \(b_0=K^2\approx0.0576,\quad b_1=2K^2\approx0.1152,\quad b_2=K^2\approx0.0576.\)

Normalisons par \( a_0 \) :

\[
b_0’=\frac{0.0576}{1.397}\approx0.0413,\quad b_1’=\frac{0.1152}{1.397}\approx0.0825,\quad b_2′ \approx 0.0413,
\]

\[ a_1’=\frac{2(K^2-1)}{1.397}\] \[ a_1’\approx\frac{2(0.0576-1)}{1.397}\] \[ a_1’\approx-1.35 \]  \[ a_2’=\frac{1-\sqrt{2}\,K+K^2}{1.397}\] \[ a_2’\approx0.5147. \]

On écrira donc l’équation sous la forme (attention à la convention) :

\[ H(z)=\frac{0.0413+0.0825z^{-1}+0.0413z^{-2}}{1-1.35\,z^{-1}+0.5147\,z^{-2}}.
\]

Remarque : Dans la différence équation, on écrira généralement

\[ y[n]=0.0413\,x[n]+0.0825\,x[n-1]+0.0413\,x[n-2]-(-1.35)\,y[n-1]-0.5147\,y[n-2], \]

ce qui revient à :

\[ y[n]=0.0413\,x[n]+0.0825\,x[n-1]+0.0413\,x[n-2]+1.35\,y[n-1]-0.5147\,y[n-2]. \]

b) Application aux 10 premiers échantillons

Soit \( x[n]=r[n] \) le signal d’entrée (calculé précédemment) et \( y[n] \) le signal filtré. On suppose que les conditions initiales sont nulles, c’est-à-dire \( y[-1]=y[-2]=0 \).

La différence équation utilisée est :

\[ y[n]=0.0413\,x[n]+0.0825\,x[n-1]+0.0413\,x[n-2]-a_1\,y[n-1]-a_2\,y[n-2] \]

avec \( a_1=-1.35 \) et \( a_2=0.5147 \) (ce qui revient à ajouter \(1.35\,y[n-1]\) puis soustraire \(0.5147\,y[n-2]\)).

1. \( n=0 \) :

\[y[0]=0.0413\,x[0]+0.0825\cdot0+0.0413\cdot0\] \[y[0]=0.0413\times6.414\]\[y[0]\approx0.265\,V. \]

2. \( n=1 \) :

\[ y[1]=0.0413\,x[1]+0.0825\,x[0]+0.0413\cdot0 -(-1.35)\,y[0]-0.5147\cdot0. \] \[ y[1]\approx0.183+0.529+0.358\] \[ y[1]\approx1.070\,V. \]

3. \( n=2 \) :

\[ y[2]=0.0413\,x[2]+0.0825\,x[1]+0.0413\,x[0]-(-1.35)\,y[1]-0.5147\,y[0]. \] \[ y[2]\approx0.724+1.445-0.136\] \[ y[2]\approx2.033\,V. \]

4. \( n=3 \) :

\[ y[3]=0.0413\,x[3]+0.0825\,x[2]+0.0413\,x[1]-(-1.35)\,y[2]-0.5147\,y[1]. \] \[ y[3]\approx0.417+2.744-0.551\] \[ y[3]\approx2.610\,V. \]

5. \( n=4 \) :

\[ y[4]=0.0413\,x[4]+0.0825\,x[3]+0.0413\,x[2]-(-1.35)\,y[3]-0.5147\,y[2]. \] \[ y[4]\approx0.239+3.524-1.046\] \[ y[4]\approx2.717\,V. \]

6. \( n=5 \) :

\[ y[5]=0.0413\,x[5]+0.0825\,x[4]+0.0413\,x[3]-(-1.35)\,y[4]-0.5147\,y[3]. \] \[ y[5]\approx0.208+3.667-1.345\] \[ y[5]\approx2.530\,V. \]

7. \( n=6 \) :

\[ y[6]=0.0413\,x[6]+0.0825\,x[5]+0.0413\,x[4]-(-1.35)\,y[5]-0.5147\,y[4]. \] \[ y[6]\approx0.186+3.416-1.398\] \[ y[6]\approx2.204\,V. \]

8. \( n=7 \) :

\[ y[7]=0.0413\,x[7]+0.0825\,x[6]+0.0413\,x[5]-(-1.35)\,y[6]-0.5147\,y[5]. \] \[ y[7]\approx0.009+2.976-1.303\] \[ y[7]\approx1.682\,V. \]

9. \( n=8 \) :

\[ y[8]=0.0413\,x[8]+0.0825\,x[7]+0.0413\,x[6]-(-1.35)\,y[7]-0.5147\,y[6]. \] \[ y[8]\approx-0.355+2.270-1.135\] \[ y[8]\approx0.780\,V. \]

10. \( n=9 \) :

\[ y[9]=0.0413\,x[9]+0.0825\,x[8]+0.0413\,x[7]-(-1.35)\,y[8]-0.5147\,y[7]. \]
\[ y[9]\approx-0.770+1.053-0.866\] \[ y[9]\approx-0.583\,V. \]

Récapitulatif des échantillons filtrés

\[
\begin{array}{cl}
y(0)&\approx+0.265\,V\\[1mm]
y(1)&\approx+1.070\,V\\[1mm]
y(2)&\approx+2.033\,V\\[1mm]
y(3)&\approx+2.610\,V\\[1mm]
y(4)&\approx+2.717\,V\\[1mm]
y(5)&\approx+2.530\,V\\[1mm]
y(6)&\approx+2.204\,V\\[1mm]
y(7)&\approx+1.682\,V\\[1mm]
y(8)&\approx+0.780\,V\\[1mm]
y(9)&\approx-0.583\,V
\end{array}
\]

Note : Les premières valeurs sont affectées par la réponse transitoire (conditions initiales nulles). En régime établi, le filtre restitue une version atténuée du signal bruité, en supprimant la composante à 150 Hz

5. Analyse et pourcentage de réduction du bruit

Comparaison avec le signal d’origine

Le signal utile d’origine est :

\[
s(t)=5\cos(2\pi\cdot50\,t)
\]

dont les 10 premiers échantillons sont (approximativement) :

\[
\begin{array}{cl}
s(0)&=5\,V\\[1mm]
s(1)&\approx4.755\,V\\[1mm]
s(2)&\approx4.045\,V\\[1mm]
s(3)&\approx2.939\,V\\[1mm]
s(4)&\approx1.545\,V\\[1mm]
s(5)&\approx0\,V\\[1mm]
s(6)&\approx-1.545\,V\\[1mm]
s(7)&\approx-2.939\,V\\[1mm]
s(8)&\approx-4.045\,V\\[1mm]
s(9)&\approx-4.755\,V
\end{array}
\]

Le filtre a pour but de laisser passer la composante à \(50\,\text{Hz}\) (qui subit une atténuation quasi négligeable dans la bande passante) et d’atténuer la composante à \(150\,\text{Hz}\).

Atténuation théorique du bruit

Pour \( f=150\,\text{Hz} \) avec \( f_c=75\,\text{Hz} \) et un filtre d’ordre 2 :

\[ \vert H(j150) \vert = \frac{1}{\sqrt{1+(150/75)^{4}}} \] \[ \vert H(j150) \vert = \frac{1}{\sqrt{1+16}} \] \[ \vert H(j150) \vert = \frac{1}{\sqrt{17}} \] \[ \vert H(j150) \vert \approx 0.2425. \]

Ainsi, une amplitude de bruit initiale de \(2\,V\) est réduite à environ :

\[ 2\times0.2425\approx0.485\,V. \]

La réduction en pourcentage est donc :

\[ \%\,\text{de réduction} = \frac{2-0.485}{2}\times100\% \] \[ \%\,\text{de réduction} \approx 75.8\%. \]

Conclusion de l’analyse

• Signal d’origine : La composante utile oscille entre \(+5\,V\) et \(-5\,V\) (selon la phase) et n’est que très peu atténuée par le filtre dans la bande passante.
• Signal filtré : Après passage par le filtre, la composante bruit à \(150\,\text{Hz}\) est fortement atténuée (à environ \(24\,\%\) de son amplitude initiale, soit une réduction d’environ \(76\,\%\)).
• Observation : Les valeurs calculées pour \( y[n] \) sur les 10 premiers échantillons montrent également un effet de retard et de transitoire dû aux conditions initiales. En régime permanent, la sortie filtrée se rapprochera du signal utile \( s(t) \) (avec éventuellement un décalage de phase caractéristique).

Atténuation du Bruit dans un Réseau

D’autres exercices de traitement et signal:

• Analyse de la Réponse en Fréquence
• Corrélation Croisée entre Deux Signaux Discrets
• Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné