Calcul de la Charge Totale dans une Sphère

Comprendre la Charge Totale à partir d'une Densité Volumique

Lorsqu'une charge électrique n'est pas ponctuelle mais répartie dans un volume, on utilise le concept de densité de charge volumique, notée \(\rho\). Cette grandeur représente la quantité de charge par unité de volume (en \(\text{C/m}^3\)). Si la densité de charge \(\rho\) est connue en chaque point du volume, la charge totale \(Q\) contenue dans ce volume peut être obtenue en intégrant la densité de charge sur l'ensemble du volume. Pour un élément de volume infinitésimal \(dV\), la charge élémentaire est \(dq = \rho dV\). La charge totale est alors \(Q = \int_V \rho dV\). Cet exercice porte sur le calcul de la charge totale d'une sphère non conductrice avec une densité de charge volumique uniforme.

Données de l'étude

On considère une sphère non conductrice (isolante) de rayon \(R = 10,0 \, \text{cm}\). La sphère possède une densité de charge volumique uniforme \(\rho_0 = +5,0 \, \mu\text{C/m}^3\).

Constante (pour information contextuelle, non directement utilisée dans tous les calculs de charge) :

Permittivité du vide : \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)

Schéma : Sphère avec Densité de Charge Volumique

Sphère de rayon R avec une densité de charge volumique uniforme \(\rho_0\).

Questions à traiter

Écrire l'expression de l'élément de volume \(dV\) en coordonnées sphériques pour une coquille sphérique d'épaisseur \(dr\) à une distance \(r\) du centre.
Exprimer la charge élémentaire \(dq\) contenue dans cet élément de volume \(dV\), en fonction de \(\rho_0\), \(r\), et \(dr\).
Calculer la charge totale \(Q\) contenue dans la sphère en intégrant \(dq\) sur tout le volume de la sphère (de \(r=0\) à \(r=R\)).
Application numérique : Calculer la valeur de la charge totale \(Q\) avec les données fournies.
Si la même charge totale \(Q\) (calculée à la question 4) était répartie uniformément sur la surface d'une sphère conductrice de même rayon \(R\), quelle serait la densité de charge surfacique \(\sigma\) ?

Correction : Calcul de la Charge Totale dans une Sphère

Question 1 : Élément de volume \(dV\) en coordonnées sphériques

Principe :

Pour une distribution de charge à symétrie sphérique, il est commode de choisir comme élément de volume une coquille sphérique mince de rayon \(r\) et d'épaisseur infinitésimale \(dr\). L'aire de cette coquille est \(4\pi r^2\), donc son volume est \(dV = \text{Aire} \times \text{épaisseur}\).

Formule(s) utilisée(s) :

dV = 4\pi r^2 dr

Résultat Question 1 : L'élément de volume est \(dV = 4\pi r^2 dr\).

Question 2 : Charge élémentaire \(dq\)

Principe :

La charge élémentaire \(dq\) contenue dans un volume élémentaire \(dV\) est le produit de la densité de charge volumique \(\rho(r)\) par cet élément de volume. Ici, la densité est uniforme \(\rho(r) = \rho_0\).

Formule(s) utilisée(s) :

dq = \rho_0 dV

Calcul :

\begin{aligned} dq &= \rho_0 (4\pi r^2 dr) \\ &= 4\pi \rho_0 r^2 dr \end{aligned}

Résultat Question 2 : La charge élémentaire est \(dq = 4\pi \rho_0 r^2 dr\).

Question 3 : Charge totale \(Q\) dans la sphère

Principe :

Pour obtenir la charge totale \(Q\), on intègre la charge élémentaire \(dq\) sur tout le volume de la sphère, c'est-à-dire pour \(r\) variant de \(0\) à \(R\).

Formule(s) utilisée(s) :

Q = \int_{\text{volume}} dq = \int_0^R 4\pi \rho_0 r^2 dr

Calcul :

\begin{aligned} Q &= 4\pi \rho_0 \int_0^R r^2 dr \\ &= 4\pi \rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R \\ &= 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \\ &= 4\pi \rho_0 \frac{R^3}{3} \\ &= \rho_0 \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \end{aligned}

On reconnaît que \(\frac{4}{3}\pi R^3\) est le volume \(V_{\text{sphère}}\) de la sphère. Donc, \(Q = \rho_0 V_{\text{sphère}}\), ce qui est attendu pour une densité uniforme.

Résultat Question 3 : La charge totale est \(Q = \rho_0 \frac{4}{3}\pi R^3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la densité de charge volumique n'était pas uniforme mais variait avec le rayon comme \(\rho(r) = kr\) (où k est une constante), la charge élémentaire \(dq\) serait :

\(k r dr\)
\(4\pi k r^3 dr\)
\(k (4/3)\pi r^3 dr\)
\(k r^2 dr\)

Question 4 : Application numérique pour \(Q\)

Principe :

On utilise la formule trouvée à la question 3 avec les valeurs numériques données.

Données spécifiques :

\(\rho_0 = +5,0 \, \mu\text{C/m}^3 = +5,0 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^3\)
\(R = 10,0 \, \text{cm} = 0,10 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} Q &= (5,0 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^3) \times \frac{4}{3}\pi (0,10 \, \text{m})^3 \\ &= (5,0 \times 10^{-6}) \times \frac{4}{3}\pi (0,001) \, \text{C} \\ &= (5,0 \times 10^{-6}) \times (0,00418879...) \, \text{C} \\ &\approx 20,94395 \times 10^{-9} \, \text{C} \\ &\approx 20,94 \, \text{nC} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La charge totale \(Q \approx 20,94 \, \text{nC}\).

Question 5 : Densité de charge surfacique \(\sigma\) pour une sphère conductrice

Principe :

Si la même charge totale \(Q\) est répartie uniformément sur la surface d'une sphère conductrice de rayon \(R\), la densité de charge surfacique \(\sigma\) est la charge totale divisée par l'aire de la surface de la sphère (\(A_{\text{sphère}} = 4\pi R^2\)).

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma = \frac{Q}{A_{\text{sphère}}} = \frac{Q}{4\pi R^2}

Données spécifiques :

\(Q \approx 20,94395 \times 10^{-9} \, \text{C}\) (valeur plus précise de la Q4)
\(R = 0,10 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} A_{\text{sphère}} &= 4\pi (0,10 \, \text{m})^2 \\ &= 4\pi (0,01 \, \text{m}^2) \\ &= 0,04\pi \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,12566 \, \text{m}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \sigma &= \frac{20,94395 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,04\pi \, \text{m}^2} \\ &\approx \frac{20,94395 \times 10^{-9}}{0,1256637} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 166,666... \times 10^{-9} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 166,7 \, \text{nC/m}^2 \end{aligned}

On peut aussi utiliser \(Q = \rho_0 \frac{4}{3}\pi R^3\). \(\sigma = \frac{\rho_0 \frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2} = \frac{\rho_0 R}{3}\).

\begin{aligned} \sigma &= \frac{(5,0 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^3) \times (0,10 \, \text{m})}{3} \\ &= \frac{0,5 \times 10^{-6}}{3} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 0,1666... \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 166,7 \, \text{nC/m}^2 \end{aligned}

Résultat Question 5 : La densité de charge surfacique serait \(\sigma \approx 166,7 \, \text{nC/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le rayon R de la sphère double, mais que la densité de charge volumique \(\rho_0\) reste la même, la charge totale Q :

Double.
Quadruple.
Est multipliée par 8.
Reste la même.

Glossaire

Densité de Charge Volumique (\(\rho\)): Charge électrique par unité de volume. Si la charge est uniformément répartie dans un volume \(V\) et que la charge totale est \(Q\), alors \(\rho = Q/V\). En général, \(dq = \rho dV\). Unité : Coulomb par mètre cube (\(\text{C/m}^3\)).
Densité de Charge Surfacique (\(\sigma\)): Charge électrique par unité de surface. Si la charge est uniformément répartie sur une surface \(A\) et que la charge totale est \(Q\), alors \(\sigma = Q/A\). Unité : Coulomb par mètre carré (\(\text{C/m}^2\)).
Charge Élémentaire (\(dq\)): Charge infinitésimale contenue dans un élément de volume \(dV\), de surface \(dA\), ou de longueur \(dl\).
Intégration de Volume: Processus mathématique de sommation des contributions d'éléments de volume infinitésimaux sur un volume entier. Pour la charge totale, \(Q = \int_V \rho dV\).
Coordonnées Sphériques: Système de coordonnées utilisé pour décrire des points dans l'espace tridimensionnel à l'aide d'une distance radiale (\(r\)) et de deux angles (azimut \(\phi\), angle polaire \(\theta\)). L'élément de volume en coordonnées sphériques est \(dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi\). Pour une symétrie sphérique, on utilise souvent une coquille d'épaisseur \(dr\), \(dV = 4\pi r^2 dr\).
Sphère Non Conductrice (Isolante): Sphère faite d'un matériau qui ne permet pas le libre mouvement des charges électriques. Une charge peut y être répartie dans tout son volume.
Sphère Conductrice: Sphère faite d'un matériau qui permet le libre mouvement des charges. En équilibre électrostatique, toute charge excédentaire sur un conducteur se répartit sur sa surface.

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