Calcul de la densité de courant (J)
Comprendre le Calcul de la densité de courant (J)
Une entreprise de fabrication utilise des électroaimants puissants dans ses lignes de montage. Pour garantir un fonctionnement optimal et sécuritaire, il est essentiel que la densité de courant dans les bobines de l’électroaimant ne dépasse pas un certain seuil afin d’éviter la surchauffe.
Données:
- Résistance totale de la bobine: \( R = 2.0 \, \Omega \)
- Tension appliquée aux bornes de la bobine: \( V = 12 \, V \)
- Diamètre du fil de cuivre utilisé pour la bobine: \( d = 1.0 \, \text{mm} \)
- Résistivité du cuivre à la température ambiante: \( \rho = 1.68 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m \)
- Longueur totale du fil: \( l = 500 \, m \)
Questions:
1. Calculer le courant qui traverse la bobine en utilisant la loi d’Ohm.
2. Calculer la section transversale du fil en cuivre à partir de son diamètre.
3. Déterminer la densité de courant dans le fil de cuivre
Correction : Calcul de la densité de courant (J)
1. Calcul du Courant \(I\)
Formule :
La loi d’Ohm s’énonce comme suit :
\[I = \frac{V}{R}\]
En substituant les valeurs :
\[I = \frac{12 \, \text{V}}{2.0 \, \Omega}\]
\[I = 6 \, \text{A}\]
Résultat :
Le courant qui traverse la bobine est de 6 A.
2. Calcul de la section transversale du fil de cuivre
Formule :
La section transversale d’un fil circulaire se calcule par :
\[S = \frac{\pi d^2}{4}\]
En substituant les valeurs :
On convertit d’abord le diamètre en mètres :
\[d = 1.0 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\]
\[S = \frac{\pi \, (1.0 \times 10^{-3} \, \text{m})^2}{4}\]
Calcul du numérateur :
\[(1.0 \times 10^{-3} \, \text{m})^2= 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \]
Donc,
\[S = \left(\frac{\pi}{4}\right) \times 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\]
Développement du calcul :
\[\frac{\pi}{4} \approx 0.7854\]
Donc,
\[S \approx 0.7854 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\]
\[S = 7.854 \times 10^{-7} \, \text{m}^2\]
Résultat :
La section du fil est de 7.854 × 10⁻⁷ m².
3. Détermination de la densité de courant dans le fil
Formule :
La densité de courant \( J \) se définit par :
\[J = \frac{I}{S}\]
En substituant les valeurs :
\[J = \frac{6 \, \text{A}}{7.854 \times 10^{-7} \, \text{m}^2}\]
\[J \approx 7.64 \times 10^{6} \, \text{A/m}^2\]
Résultat :
La densité de courant dans le fil de cuivre est donc d’environ 7.64 × 10⁶ A/m².
Calcul de la densité de courant (J)
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