Calcul de la densité moyenne d'énergie

Comprendre la Densité d'Énergie Électromagnétique

Les champs électriques et magnétiques sont des formes de stockage d'énergie. La densité d'énergie électromagnétique ($w_{em}$) représente la quantité d'énergie stockée par unité de volume dans une région où ces champs sont présents. Elle est la somme de la densité d'énergie électrique ($w_e$) et de la densité d'énergie magnétique ($w_m$). Pour une onde électromagnétique se propageant, ces densités d'énergie fluctuent dans le temps et l'espace. On s'intéresse souvent à leur valeur moyenne temporelle, qui est directement liée à l'intensité de l'onde. Cet exercice se concentre sur le calcul de ces densités moyennes pour une onde électromagnétique plane.

Données de l'étude

On considère une onde électromagnétique plane sinusoïdale se propageant dans le vide. Le champ électrique de l'onde est donné par $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x$.

Caractéristiques de l'onde :

Amplitude du champ électrique ($E_0$) : $150 \, \text{V/m}$

Constantes :

Vitesse de la lumière dans le vide ($c$) : $3 \times 10^8 \, \text{m/s}$
Permittivité du vide ($\epsilon_0$) : $8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$
Perméabilité du vide ($\mu_0$) : $4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$

Schéma : Onde Électromagnétique Plane

Onde électromagnétique plane avec ses champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$. L'énergie est stockée dans le volume où ces champs existent.

Questions à traiter

Calculer l'amplitude du champ magnétique ($B_0$) de l'onde.
Écrire l'expression de la densité d'énergie électrique instantanée $w_e(z,t)$ en fonction de $E_0, \epsilon_0, \omega, k, z, t$.
Calculer la valeur moyenne temporelle de la densité d'énergie électrique $\langle w_e \rangle$.
Écrire l'expression de la densité d'énergie magnétique instantanée $w_m(z,t)$ en fonction de $B_0, \mu_0, \omega, k, z, t$.
Calculer la valeur moyenne temporelle de la densité d'énergie magnétique $\langle w_m \rangle$.
Comparer $\langle w_e \rangle$ et $\langle w_m \rangle$ pour une onde plane dans le vide.
Calculer la densité d'énergie électromagnétique moyenne totale $\langle w_{em} \rangle$.
Quelle est la relation entre l'intensité $I$ de l'onde et la densité d'énergie électromagnétique moyenne totale $\langle w_{em} \rangle$ ? Calculer $I$.

Correction : Calcul de la Densité Moyenne d’Énergie Électromagnétique

Question 1 : Amplitude du champ magnétique ($B_0$)

Principe :

Pour une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide, les amplitudes des champs électrique ($E_0$) et magnétique ($B_0$) sont liées par la vitesse de la lumière $c$.

Formule(s) utilisée(s) :

B_0 = \frac{E_0}{c}

Données spécifiques :

Amplitude du champ électrique ($E_0$) : $150 \, \text{V/m}$
Vitesse de la lumière ($c$) : $3 \times 10^8 \, \text{m/s}$

Calcul :

\begin{aligned} B_0 &= \frac{150 \, \text{V/m}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \\ &= 50 \times 10^{-8} \, \text{T} \\ &= 5 \times 10^{-7} \, \text{T} \quad (\text{ou } 0.5 \, \mu\text{T}) \end{aligned}

Résultat Question 1 : L'amplitude du champ magnétique est $B_0 = 5 \times 10^{-7} \, \text{T}$.

Question 2 : Densité d'énergie électrique instantanée $w_e(z,t)$

Principe :

La densité d'énergie stockée dans un champ électrique $\vec{E}$ dans le vide est $w_e = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$. Pour une onde plane $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x$, $E^2 = E_0^2 \cos^2(\omega t - kz)$.

Formule(s) utilisée(s) :

w_e(z,t) = \frac{1}{2}\epsilon_0 E(z,t)^2 = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2 \cos^2(\omega t - kz)

Résultat Question 2 : $w_e(z,t) = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2 \cos^2(\omega t - kz)$.

Question 3 : Valeur moyenne temporelle $\langle w_e \rangle$

Principe :

La valeur moyenne temporelle de $\cos^2(\theta)$ sur une période complète est $1/2$.

Formule(s) utilisée(s) :

\langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle = \frac{1}{2}\] \[\langle w_e \rangle = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2 \langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle = \frac{1}{4}\epsilon_0 E_0^2

Données spécifiques :

$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$
$E_0 = 150 \, \text{V/m}$

Calcul :

\begin{aligned} \langle w_e \rangle &= \frac{1}{4} \times (8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}) \times (150 \, \text{V/m})^2 \\ &= \frac{1}{4} \times 8.854 \times 10^{-12} \times 22500 \, \text{J/m}^3 \\ &= \frac{1}{4} \times 199215 \times 10^{-12} \, \text{J/m}^3 \\ &= 49803.75 \times 10^{-12} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 4.98 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3 \end{aligned}

Résultat Question 3 : La densité d'énergie électrique moyenne est $\langle w_e \rangle \approx 4.98 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3$.

Quiz Intermédiaire 1 : La valeur moyenne de $\sin^2(x)$ sur une période est :

$1/2$
$1$
$0$
$1/\sqrt{2}$

Question 4 : Densité d'énergie magnétique instantanée $w_m(z,t)$

Principe :

La densité d'énergie stockée dans un champ magnétique $\vec{B}$ dans le vide est $w_m = \frac{B^2}{2\mu_0}$. Pour une onde plane $\vec{B}(z,t) = B_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y$, $B^2 = B_0^2 \cos^2(\omega t - kz)$.

Formule(s) utilisée(s) :

w_m(z,t) = \frac{B(z,t)^2}{2\mu_0} = \frac{B_0^2}{2\mu_0} \cos^2(\omega t - kz)

Résultat Question 4 : $w_m(z,t) = \frac{B_0^2}{2\mu_0} \cos^2(\omega t - kz)$.

Question 5 : Valeur moyenne temporelle $\langle w_m \rangle$

Principe :

Similaire à la densité d'énergie électrique, la valeur moyenne de $\cos^2(\theta)$ est $1/2$.

Formule(s) utilisée(s) :

\langle w_m \rangle = \frac{B_0^2}{2\mu_0} \langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle = \frac{B_0^2}{4\mu_0}

Données spécifiques :

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$
$B_0 = 5 \times 10^{-7} \, \text{T}$ (de Q1)

Calcul :

\begin{aligned} \langle w_m \rangle &= \frac{(5 \times 10^{-7} \, \text{T})^2}{4 \times (4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m})} \\ &= \frac{25 \times 10^{-14}}{16\pi \times 10^{-7}} \, \text{J/m}^3 \\ &= \frac{25}{16\pi} \times 10^{-7} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx \frac{25}{50.265} \times 10^{-7} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 0.4973 \times 10^{-7} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 4.97 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3 \end{aligned}

Résultat Question 5 : La densité d'énergie magnétique moyenne est $\langle w_m \rangle \approx 4.97 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3$.

Question 6 : Comparaison de $\langle w_e \rangle$ et $\langle w_m \rangle$

Principe :

Pour une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide, les densités d'énergie électrique moyenne et magnétique moyenne sont égales.

Démonstration :

\[\langle w_e \rangle = \frac{1}{4}\epsilon_0 E_0^2\] \[\langle w_m \rangle = \frac{B_0^2}{4\mu_0}\] Sachant que \(B_0 = E_0/c\) et \(c^2 = 1/(\epsilon_0 \mu_0)\) : \[ \begin{aligned} \langle w_m \rangle &= \frac{(E_0/c)^2}{4\mu_0} \\ &= \frac{E_0^2}{4\mu_0 c^2} \\ &= \frac{E_0^2}{4\mu_0 (1/\epsilon_0 \mu_0)} \\ &= \frac{E_0^2 \epsilon_0 \mu_0}{4\mu_0} \\ &= \frac{1}{4}\epsilon_0 E_0^2 \end{aligned} \] Donc, \(\langle w_e \rangle = \langle w_m \rangle\).

Vérification numérique :

D'après Q3, $\langle w_e \rangle \approx 4.98 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3$.

D'après Q5, $\langle w_m \rangle \approx 4.97 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3$.

Les valeurs sont effectivement très proches (la différence est due aux arrondis).

Résultat Question 6 : Pour une onde plane dans le vide, $\langle w_e \rangle = \langle w_m \rangle$. Numériquement, $\approx 4.98 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3$.

Question 7 : Densité d'énergie électromagnétique moyenne totale $\langle w_{em} \rangle$

Principe :

La densité d'énergie électromagnétique moyenne totale est la somme des densités d'énergie électrique moyenne et magnétique moyenne.

Formule(s) utilisée(s) :

\[\langle w_{em} \rangle = \langle w_e \rangle + \langle w_m \rangle\] Puisque \(\langle w_e \rangle = \langle w_m \rangle\), alors \(\langle w_{em} \rangle = 2 \langle w_e \rangle = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2\).

Données spécifiques :

$\langle w_e \rangle \approx 4.98 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3$

Calcul :

\begin{aligned} \langle w_{em} \rangle &= 2 \times (4.98 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3) \\ &= 9.96 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3 \end{aligned} \] Ou directement : \[ \begin{aligned} \langle w_{em} \rangle &= \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (150)^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-12} \times 22500 \\ &= 99607.5 \times 10^{-12} \\ &\approx 9.96 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3 \end{aligned}

Résultat Question 7 : La densité d'énergie électromagnétique moyenne totale est $\langle w_{em} \rangle \approx 9.96 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3$.

Quiz Intermédiaire 2 : Dans une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide, comment se compare l'énergie stockée dans le champ électrique à celle stockée dans le champ magnétique, en moyenne ?

L'énergie électrique est le double de l'énergie magnétique.
L'énergie magnétique est le double de l'énergie électrique.
L'une est négligeable par rapport à l'autre.
Elles sont égales.

Question 8 : Relation entre Intensité $I$ et $\langle w_{em} \rangle$, et calcul de $I$

Principe :

L'intensité $I$ d'une onde électromagnétique (magnitude du vecteur de Poynting moyen) est la densité d'énergie électromagnétique moyenne multipliée par la vitesse de propagation de l'énergie (qui est $c$ dans le vide).

Formule(s) utilisée(s) :

I = \langle w_{em} \rangle \cdot c

Données spécifiques :

$\langle w_{em} \rangle \approx 9.96 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3$
$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$

Calcul :

\[ \begin{aligned} I &= (9.96 \times 10^{-8} \, \text{J/m}^3) \times (3 \times 10^8 \, \text{m/s}) \\ &= 29.88 \, \text{J/(s} \cdot \text{m}^2) \\ &= 29.88 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \] Vérification avec \(I = E_0^2 / (2\eta_0)\) : \[ \begin{aligned} I &= \frac{(150 \, \text{V/m})^2}{2 \times 377 \, \Omega} \\ &= \frac{22500}{754} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 29.84 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \] La légère différence est due aux arrondis.

Résultat Question 8 : La relation est $I = \langle w_{em} \rangle \cdot c$. L'intensité de l'onde est $I \approx 29.88 \, \text{W/m}^2$.

Glossaire

Onde Électromagnétique Plane: Onde dont les fronts d'onde (surfaces d'égale phase) sont des plans infinis perpendiculaires à la direction de propagation.
Champ Électrique ($\vec{E}$): Champ vectoriel décrivant la force électrostatique par unité de charge. Unité SI : Volt par mètre (V/m).
Champ Magnétique ($\vec{B}$): Champ vectoriel décrivant les forces magnétiques. Unité SI : Tesla (T).
Densité d'Énergie Électrique ($w_e$): Énergie stockée par unité de volume dans un champ électrique. $w_e = \frac{1}{2}\epsilon E^2$.
Densité d'Énergie Magnétique ($w_m$): Énergie stockée par unité de volume dans un champ magnétique. $w_m = \frac{B^2}{2\mu}$.
Densité d'Énergie Électromagnétique Totale ($w_{em}$): Somme des densités d'énergie électrique et magnétique : $w_{em} = w_e + w_m$.
Vecteur de Poynting ($\vec{S}$): Vecteur représentant la densité de flux d'énergie (puissance par unité de surface) et la direction de propagation de l'énergie d'une onde électromagnétique. $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$.
Intensité d'une Onde ($I$): Puissance moyenne transportée par l'onde par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation. C'est la magnitude de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting, $I = |\langle \vec{S} \rangle|$.
Permittivité du Vide ($\epsilon_0$): Constante physique fondamentale relative au champ électrique dans le vide.
Perméabilité du Vide ($\mu_0$): Constante physique fondamentale relative au champ magnétique dans le vide.

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Données de l'étude

Schéma : Onde Électromagnétique Plane

Questions à traiter

Correction : Calcul de la Densité Moyenne d’Énergie Électromagnétique

Question 1 : Amplitude du champ magnétique (\(B_0\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Densité d'énergie électrique instantanée \(w_e(z,t)\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 3 : Valeur moyenne temporelle \(\langle w_e \rangle\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Densité d'énergie magnétique instantanée \(w_m(z,t)\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 5 : Valeur moyenne temporelle \(\langle w_m \rangle\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Comparaison de \(\langle w_e \rangle\) et \(\langle w_m \rangle\)

Principe :

Démonstration :

Vérification numérique :

Question 7 : Densité d'énergie électromagnétique moyenne totale \(\langle w_{em} \rangle\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 8 : Relation entre Intensité \(I\) et \(\langle w_{em} \rangle\), et calcul de \(I\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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