Calcul de la Fréquence Propre d'un Circuit RLC

Dans le cadre de la conception d’un circuit électronique, vous êtes chargé de développer un filtre passe-bande RLC. Ce type de filtre est fréquemment utilisé pour isoler une bande spécifique de fréquences parmi un large spectre de signaux. Il est essentiel de calculer la fréquence propre du filtre, également appelée fréquence de résonance, pour assurer que le filtre fonctionne correctement dans la gamme de fréquences désirée.

Données

Résistance : \(R = 50 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 150 \, \mu\text{H} = 150 \times 10^{-6} \, \text{H}\)
Capacité : \(C = 47 \, \text{nF} = 47 \times 10^{-9} \, \text{F}\)

Schéma d'un circuit RLC série.

Question

Calculer la fréquence propre \(f_0\) du filtre RLC.

Correction : Calcul de la Fréquence Propre d’un Circuit RLC

1. Formule de la Fréquence Propre (\(f_0\))

La fréquence propre (ou fréquence de résonance non amortie) \(f_0\) d'un circuit RLC est la fréquence à laquelle les réactances inductive (\(X_L = L\omega\)) et capacitive (\(X_C = 1/(C\omega)\)) s'annulent ou sont égales en magnitude. Cette fréquence dépend uniquement des valeurs de l'inductance (\(L\)) et de la capacité (\(C\)). La résistance (\(R\)) affecte l'amortissement (la "netteté" de la résonance ou la largeur de la bande passante) mais pas la fréquence propre elle-même. La pulsation propre \(\omega_0\) est donnée par : \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \] La fréquence propre \(f_0\) (en Hertz) est liée à la pulsation propre par \(\omega_0 = 2 \pi f_0\), donc : \[ f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \] Il est crucial d'utiliser les unités de base du Système International (Henry pour L, Farad pour C) pour obtenir une fréquence en Hertz.

2. Calcul de la Fréquence Propre (\(f_0\))

Données pour cette étape

Inductance : \(L = 150 \, \mu\text{H} = 150 \times 10^{-6} \, \text{H}\)
Capacité : \(C = 47 \, \text{nF} = 47 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
Résistance : \(R = 50 \, \Omega\) (non utilisée pour ce calcul)

Calcul

Calcul du produit LC :

\begin{aligned} LC &= (150 \times 10^{-6} \, \text{H}) \times (47 \times 10^{-9} \, \text{F}) \\ LC &= (150 \times 47) \times 10^{-15} \, \text{s}^2 \\ LC &= 7050 \times 10^{-15} \, \text{s}^2 \\ LC &= 7.05 \times 10^{-12} \, \text{s}^2 \end{aligned}

Calcul de \(\sqrt{LC}\) :

\sqrt{LC} = \sqrt{7.05 \times 10^{-12} \, \text{s}^2} \] \[ \sqrt{LC} \approx 2.655 \times 10^{-6} \, \text{s}

Calcul de la fréquence propre \(f_0\) :

\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \\ f_0 &\approx \frac{1}{2 \pi \times (2.655 \times 10^{-6} \, \text{s})} \\ f_0 &\approx \frac{1}{16.68 \times 10^{-6}} \, \text{Hz} \\ f_0 &\approx 0.05995 \times 10^{6} \, \text{Hz} \\ f_0 &\approx 59950 \, \text{Hz} \end{aligned}

Convertissons en kilohertz (kHz) : \(1 \, \text{kHz} = 1000 \, \text{Hz}\).

f_0 \approx \frac{59950}{1000} \, \text{kHz} \] \[ f_0 \approx = 59.95 \, \text{kHz}

Résultat Final

La fréquence propre (ou fréquence de résonance) du circuit RLC est \(f_0 \approx 60.0 \, \text{kHz}\).

C'est autour de cette fréquence que le filtre passe-bande aura son gain maximal (si la sortie est prise aux bornes de R dans un circuit série) ou son impédance maximale (pour un circuit LC parallèle).