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Exercices Électricité

Calcul de la résistance dans un réseau électrique

Calcul de Résistance dans un Réseau Électrique

Calcul de Résistance dans un Réseau Électrique

Comprendre le Calcul de Résistance et de Courant dans un Réseau Électrique

L'analyse des réseaux électriques est fondamentale en génie électrique. Elle implique de déterminer comment les tensions et les courants se répartissent dans un circuit composé de différentes sources et charges (comme les résistances). La loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff sont les outils principaux pour ces calculs. Cet exercice se concentre sur un circuit DC (courant continu) mixte, c'est-à-dire comportant des résistances en série et en parallèle, afin de calculer la résistance équivalente totale, les courants dans chaque branche, et la puissance dissipée.

Données de l'étude

On étudie un circuit électrique alimenté par une source de tension continue. Le circuit est composé de quatre résistances.

Caractéristiques du circuit :

  • Source de tension continue (\(V_{\text{S}}\)) : \(24 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(5 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_2\) : \(10 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_3\) : \(30 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_4\) : \(60 \, \text{Ω}\)
  • Configuration du circuit : \(R_1\) et \(R_2\) sont en série. Les résistances \(R_3\) et \(R_4\) sont montées en parallèle entre elles. Cet ensemble parallèle (\(R_{34}\)) est ensuite monté en série avec \(R_1\) et \(R_2\).
Schéma du Réseau Électrique
- + VS R1 R2 R3 R4

Schéma du circuit électrique avec résistances en série et en parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente de la branche parallèle (\(R_{34}\)) composée de \(R_3\) et \(R_4\).
  2. Calculer la résistance totale équivalente du circuit (\(R_{\text{eq}}\)).
  3. Calculer le courant total fourni par la source (\(I_{\text{S}}\)).
  4. Calculer la tension aux bornes de la branche parallèle \(R_{34}\) (\(V_{R_{34}}\)).
  5. Calculer les courants traversant \(R_3\) (\(I_3\)) et \(R_4\) (\(I_4\)).
  6. Calculer la puissance totale dissipée par le circuit (\(P_{\text{totale}}\)).
  7. Vérifier la loi de Kirchhoff pour les courants au nœud d'entrée de la branche parallèle (c'est-à-dire, vérifier que \(I_{\text{S}} = I_3 + I_4\)).

Correction : Calcul de Résistance dans un Réseau Électrique

Question 1 : Résistance équivalente de la branche parallèle (\(R_{34}\))

Principe :

Pour des résistances montées en parallèle, l'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses de chaque résistance. Alternativement, pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente est le produit de leurs valeurs divisé par leur somme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{R_{34}} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} \quad \text{ou} \quad R_{34} = \frac{R_3 \cdot R_4}{R_3 + R_4}\]
Données spécifiques :
  • Résistance \(R_3\) : \(30 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_4\) : \(60 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{34} &= \frac{30 \, \text{Ω} \cdot 60 \, \text{Ω}}{30 \, \text{Ω} + 60 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{1800 \, \text{Ω}^2}{90 \, \text{Ω}} \\ &= 20 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente de la branche parallèle est \(R_{34} = 20 \, \text{Ω}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si deux résistances identiques de \(10 \, \text{Ω}\) sont en parallèle, leur résistance équivalente est :

Question 2 : Résistance totale équivalente du circuit (\(R_{\text{eq}}\))

Principe :

Pour des résistances montées en série, la résistance équivalente totale est la somme des résistances individuelles. Dans notre circuit, \(R_1\), \(R_2\) et la résistance équivalente \(R_{34}\) sont en série.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + R_{34}\]
Données spécifiques :
  • Résistance \(R_1\) : \(5 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_2\) : \(10 \, \text{Ω}\)
  • Résistance équivalente \(R_{34}\) : \(20 \, \text{Ω}\) (calculée à la question 1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq}} &= 5 \, \text{Ω} + 10 \, \text{Ω} + 20 \, \text{Ω} \\ &= 35 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{eq}} = 35 \, \text{Ω}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'unité de la résistance électrique est :

Question 3 : Courant total fourni par la source (\(I_{\text{S}}\))

Principe :

Le courant total fourni par la source peut être calculé en utilisant la loi d'Ohm, qui stipule que le courant (\(I\)) est égal à la tension (\(V\)) divisée par la résistance (\(R\)). Ici, nous utilisons la tension de la source (\(V_{\text{S}}\)) et la résistance totale équivalente du circuit (\(R_{\text{eq}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{S}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{eq}}}\]
Données spécifiques :
  • Tension de la source (\(V_{\text{S}}\)) : \(24 \, \text{V}\)
  • Résistance totale équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) : \(35 \, \text{Ω}\) (calculée à la question 2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{S}} &= \frac{24 \, \text{V}}{35 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.6857 \, \text{A} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(I_{\text{S}} \approx 0.686 \, \text{A}\) ou \(686 \, \text{mA}\).

Résultat Question 3 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{S}} \approx 0.686 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Selon la loi d'Ohm, si la tension appliquée à une résistance double et que la valeur de la résistance reste constante, le courant qui la traverse :

Question 4 : Tension aux bornes de la branche parallèle \(R_{34}\) (\(V_{R_{34}}\))

Principe :

La tension aux bornes d'un ensemble de résistances en série (ici, la résistance équivalente \(R_{34}\)) est égale au produit du courant total qui traverse cet ensemble (\(I_{\text{S}}\)) par la valeur de cette résistance équivalente (\(R_{34}\)), conformément à la loi d'Ohm.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{R_{34}} = I_{\text{S}} \cdot R_{34}\]
Données spécifiques :
  • Courant total (\(I_{\text{S}}\)) : \(\approx 0.6857 \, \text{A}\) (calculé à la question 3)
  • Résistance équivalente de la branche parallèle (\(R_{34}\)) : \(20 \, \text{Ω}\) (calculée à la question 1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R_{34}} &= 0.6857 \, \text{A} \cdot 20 \, \text{Ω} \\ &\approx 13.714 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de la branche parallèle \(R_{34}\) est \(V_{R_{34}} \approx 13.714 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Dans un circuit série, la tension totale se répartit entre les composants en proportion de leur :

Question 5 : Courants traversant \(R_3\) (\(I_3\)) et \(R_4\) (\(I_4\))

Principe :

Les résistances \(R_3\) et \(R_4\) sont en parallèle, ce qui signifie qu'elles sont soumises à la même tension, qui est \(V_{R_{34}}\). Le courant dans chaque résistance parallèle peut être calculé individuellement en utilisant la loi d'Ohm : \(I = V/R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_3 = \frac{V_{R_{34}}}{R_3} \quad \text{et} \quad I_4 = \frac{V_{R_{34}}}{R_4}\]
Données spécifiques :
  • Tension aux bornes de la branche parallèle (\(V_{R_{34}}\)) : \(\approx 13.714 \, \text{V}\) (calculée à la question 4)
  • Résistance \(R_3\) : \(30 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_4\) : \(60 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{13.714 \, \text{V}}{30 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.4571 \, \text{A} \\ \\ I_4 &= \frac{13.714 \, \text{V}}{60 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.2286 \, \text{A} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(I_3 \approx 0.457 \, \text{A}\) et \(I_4 \approx 0.229 \, \text{A}\).

Résultat Question 5 : Les courants sont \(I_3 \approx 0.457 \, \text{A}\) et \(I_4 \approx 0.229 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 5 : Dans une branche de circuit contenant plusieurs résistances en parallèle, la tension aux bornes de chaque résistance est :

Question 6 : Puissance totale dissipée par le circuit (\(P_{\text{totale}}\))

Principe :

La puissance totale dissipée par un circuit résistif alimenté par une source de tension continue peut être calculée de plusieurs manières : en multipliant la tension de la source par le courant total fourni par la source (\(P = V_{\text{S}} \cdot I_{\text{S}}\)), ou en utilisant le courant total et la résistance équivalente (\(P = I_{\text{S}}^2 \cdot R_{\text{eq}}\)), ou encore la tension de la source et la résistance équivalente (\(P = V_{\text{S}}^2 / R_{\text{eq}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{totale}} = V_{\text{S}} \cdot I_{\text{S}}\]

Ou alternativement : \(P_{\text{totale}} = I_{\text{S}}^2 \cdot R_{\text{eq}}\) ou \(P_{\text{totale}} = \frac{V_{\text{S}}^2}{R_{\text{eq}}}\)

Données spécifiques :
  • Tension de la source (\(V_{\text{S}}\)) : \(24 \, \text{V}\)
  • Courant total (\(I_{\text{S}}\)) : \(\approx 0.6857 \, \text{A}\) (calculé à la question 3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{totale}} &= 24 \, \text{V} \cdot 0.6857 \, \text{A} \\ &\approx 16.457 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La puissance totale dissipée par le circuit est \(P_{\text{totale}} \approx 16.457 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 6 : L'unité de la puissance électrique dans le Système International est :

Question 7 : Vérification de la loi de Kirchhoff pour les courants

Principe :

La loi des nœuds de Kirchhoff (KCL - Kirchhoff's Current Law) stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud électrique est égale à la somme algébrique des courants sortant de ce nœud. Autrement dit, la somme de tous les courants en un nœud est nulle. Nous allons vérifier cela au nœud où le courant \(I_{\text{S}}\) se divise en \(I_3\) et \(I_4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{S}} = I_3 + I_4\]
Données spécifiques :
  • Courant total (\(I_{\text{S}}\)) : \(\approx 0.6857 \, \text{A}\) (calculé à la question 3)
  • Courant dans \(R_3\) (\(I_3\)) : \(\approx 0.4571 \, \text{A}\) (calculé à la question 5)
  • Courant dans \(R_4\) (\(I_4\)) : \(\approx 0.2286 \, \text{A}\) (calculé à la question 5)
Comparaison :
\[ \begin{aligned} I_3 + I_4 &= 0.4571 \, \text{A} + 0.2286 \, \text{A} \\ &= 0.6857 \, \text{A} \end{aligned} \]

Nous comparons cette somme au courant \(I_{\text{S}} \approx 0.6857 \, \text{A}\). Les valeurs sont égales (aux erreurs d'arrondi près).

Résultat Question 7 : La loi des nœuds de Kirchhoff est vérifiée : \(I_{\text{S}} \approx I_3 + I_4\).

Quiz Intermédiaire 7 : La loi des nœuds de Kirchhoff est une conséquence de la conservation de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Qu'est-ce que la résistance équivalente d'un circuit ?

2. Dans un circuit où des résistances sont en série, le courant qui traverse chaque résistance est :

3. La puissance électrique dissipée par une résistance peut être calculée par la formule :

Glossaire

Résistance Électrique (\(R\))
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\text{Ω}\)).
Tension Électrique (ou Différence de Potentiel) (\(V\) ou \(U\))
Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Unité : Volt (\(\text{V}\)).
Courant Électrique (\(I\))
Flux de charges électriques (généralement des électrons) à travers un conducteur. Unité : Ampère (\(\text{A}\)).
Loi d'Ohm
Relation fondamentale liant la tension, le courant et la résistance : \(V = I \cdot R\).
Circuit en Série
Configuration où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant.
Circuit en Parallèle
Configuration où les composants sont connectés sur des branches distinctes, le courant se divisant entre ces branches.
Résistance Équivalente (\(R_{\text{eq}}\))
Résistance unique qui, si elle remplaçait un ensemble de résistances dans un circuit, produirait le même courant total pour la même tension appliquée.
Puissance Électrique (\(P\))
Quantité d'énergie électrique transférée ou convertie par unité de temps. Unité : Watt (\(\text{W}\)). Formules : \(P = V \cdot I\), \(P = I^2 \cdot R\), \(P = V^2 / R\).
Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)
La somme des courants entrant dans un nœud (point de connexion) est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Basée sur la conservation de la charge.
Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL)
La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans toute boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. Basée sur la conservation de l'énergie.
Volt (\(\text{V}\))
Unité de mesure de la tension électrique.
Ampère (\(\text{A}\))
Unité de mesure du courant électrique.
Ohm (\(\text{Ω}\))
Unité de mesure de la résistance électrique.
Watt (\(\text{W}\))
Unité de mesure de la puissance électrique.
Calcul de Résistance dans un Réseau Électrique

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