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Exercices Électricité

Calcul de la tension dans un circuit domestique

Calcul de la Tension dans un Circuit Domestique

Calcul de la Tension dans un Circuit Domestique

Comprendre la Tension dans les Circuits Résidentiels

La tension électrique, ou différence de potentiel, est la force qui pousse les charges électriques à travers un circuit. Dans une installation résidentielle, la source principale de tension est fournie par le réseau de distribution public (par exemple, 230V en Europe, 120V en Amérique du Nord). Cette tension est ensuite distribuée aux différents appareils et luminaires de la maison.

Chaque composant d'un circuit, qu'il s'agisse d'une résistance (comme un élément chauffant ou une ampoule à incandescence) ou d'un appareil plus complexe, présente une "chute de tension" lorsqu'il est traversé par un courant. La somme des tensions aux bornes des composants dans une boucle fermée doit être égale à la tension fournie par la source, conformément à la loi des mailles de Kirchhoff. Comprendre comment la tension se répartit dans un circuit est essentiel pour s'assurer que chaque appareil fonctionne correctement et en toute sécurité.

Cet exercice se concentre sur le calcul des tensions aux bornes de différentes résistances dans un circuit DC simple, simulant une partie d'une installation domestique, en utilisant la loi d'Ohm et les principes des circuits série et parallèle.

Données de l'étude

On considère un circuit électrique alimenté par une source de tension continue, modélisant une section d'une installation domestique avec plusieurs charges résistives.

Caractéristiques du circuit :

  • Source de tension continue (\(V_S\)) : \(15 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(5 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_2\) : \(30 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_3\) : \(10 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_4\) : \(20 \, \text{Ω}\)
  • Configuration : \(R_1\) est en série avec la source. Elle est suivie par un nœud A. De A, \(R_2\) est connectée à un nœud B. Toujours de A, une branche contenant \(R_3\) en série avec \(R_4\) est également connectée au nœud B. Le nœud B est ensuite connecté au pôle négatif de la source (masse).
Schéma du Circuit Électrique Domestique Simplifié
VS +- R1 A R2 B R3 R4 Masse (0V)

Circuit DC. \(R_1\) est en série avec le groupement parallèle de [\(R_2\)] et [la série de \(R_3\) et \(R_4\)].

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente de la branche série \(R_{34} = R_3 + R_4\).
  2. Calculer la résistance équivalente \(R_P\) du groupement parallèle de \(R_2\) et \(R_{34}\).
  3. Calculer la résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\) du circuit vue par la source \(V_S\).
  4. Calculer le courant total \(I_S\) fourni par la source \(V_S\).
  5. Calculer la tension \(V_{R1}\) aux bornes de la résistance \(R_1\).
  6. Calculer la tension \(V_{AB}\) entre les nœuds A et B (c'est-à-dire la tension aux bornes du groupement parallèle \(R_P\)).
  7. Calculer les courants \(I_2\) (traversant \(R_2\)) et \(I_{34}\) (traversant la branche \(R_3+R_4\)).
  8. Calculer les tensions \(V_{R3}\) aux bornes de \(R_3\) et \(V_{R4}\) aux bornes de \(R_4\).
  9. Vérifier la loi des mailles de Kirchhoff pour la boucle principale (passant par \(V_S, R_1, R_P\)) et pour la boucle interne contenant \(R_2, R_3, R_4\).

Correction : Calcul de la Tension dans un Circuit Domestique

Question 1 : Résistance équivalente \(R_{34}\)

Principe :

Les résistances \(R_3\) et \(R_4\) sont en série, donc leur résistance équivalente est la somme de leurs résistances.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{34} = R_3 + R_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_3 = 10 \, \text{Ω}\)
  • \(R_4 = 20 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{34} &= 10 \, \text{Ω} + 20 \, \text{Ω} \\ &= 30 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente de la branche série est \(R_{34} = 30 \, \text{Ω}\).

Question 2 : Résistance équivalente parallèle \(R_P\)

Principe :

La résistance \(R_2\) est en parallèle avec la résistance équivalente \(R_{34}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_P = \frac{R_2 \cdot R_{34}}{R_2 + R_{34}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 30 \, \text{Ω}\)
  • \(R_{34} = 30 \, \text{Ω}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_P &= \frac{30 \, \text{Ω} \cdot 30 \, \text{Ω}}{30 \, \text{Ω} + 30 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{900 \, \text{Ω}^2}{60 \, \text{Ω}} \\ &= 15 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_P = 15 \, \text{Ω}\).

Question 3 : Résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\)

Principe :

La résistance \(R_1\) est en série avec le groupement parallèle \(R_P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq}} = R_1 + R_P\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 5 \, \text{Ω}\)
  • \(R_P = 15 \, \text{Ω}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq}} &= 5 \, \text{Ω} + 15 \, \text{Ω} \\ &= 20 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{eq}} = 20 \, \text{Ω}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si deux résistances de \(10 \, \text{Ω}\) sont en série, leur résistance équivalente est :

Question 4 : Courant total \(I_S\)

Principe :

Le courant total fourni par la source est donné par la loi d'Ohm : \(I_S = V_S / R_{\text{eq}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_S = \frac{V_S}{R_{\text{eq}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 15 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{eq}} = 20 \, \text{Ω}\) (de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_S &= \frac{15 \, \text{V}}{20 \, \text{Ω}} \\ &= 0.75 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le courant total fourni par la source est \(I_S = 0.75 \, \text{A}\).

Question 5 : Tension \(V_{R1}\) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_{R1} = I_S \cdot R_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{R1} = I_S R_1\]
Données spécifiques :
  • \(I_S = 0.75 \, \text{A}\) (de Q4)
  • \(R_1 = 5 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R1} &= (0.75 \, \text{A}) \cdot (5 \, \text{Ω}) \\ &= 3.75 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_{R1} = 3.75 \, \text{V}\).

Question 6 : Tension \(V_{AB}\) aux bornes du groupement parallèle \(R_P\)

Principe :

La tension \(V_{AB}\) aux bornes du groupement parallèle \(R_P\) (composé de \(R_2\) et \(R_{34}\)) est traversée par le courant total \(I_S\). Donc \(V_{AB} = I_S \cdot R_P\). C'est aussi \(V_{AB} = V_S - V_{R1}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{AB} = I_S \cdot R_P \quad \text{ou} \quad V_{AB} = V_S - V_{R1}\]
Données spécifiques :
  • \(I_S = 0.75 \, \text{A}\) (de Q4)
  • \(R_P = 15 \, \text{Ω}\) (de Q2)
  • \(V_S = 15 \, \text{V}\)
  • \(V_{R1} = 3.75 \, \text{V}\) (de Q5)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{AB} &= (0.75 \, \text{A}) \cdot (15 \, \text{Ω}) \\ &= 11.25 \, \text{V} \\ \text{Vérification : } V_{AB} &= 15 \, \text{V} - 3.75 \, \text{V} \\ &= 11.25 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La tension aux bornes du groupement parallèle \(R_P\) est \(V_{AB} = 11.25 \, \text{V}\).

Question 7 : Courants \(I_2\) et \(I_{34}\)

Principe :

La tension \(V_{AB}\) s'applique aux bornes de \(R_2\) et aux bornes de la branche série \(R_{34}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{AB}}{R_2} \quad ; \quad I_{34} = \frac{V_{AB}}{R_{34}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{AB} = 11.25 \, \text{V}\) (de Q6)
  • \(R_2 = 30 \, \text{Ω}\)
  • \(R_{34} = 30 \, \text{Ω}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{11.25 \, \text{V}}{30 \, \text{Ω}} \\ &= 0.375 \, \text{A} \\ \\ I_{34} &= \frac{11.25 \, \text{V}}{30 \, \text{Ω}} \\ &= 0.375 \, \text{A} \end{aligned} \]

Vérification : \(I_2 + I_{34} = 0.375 \, \text{A} + 0.375 \, \text{A} = 0.75 \, \text{A} = I_S\).

Résultat Question 7 :
  • \(I_2 = 0.375 \, \text{A}\)
  • \(I_{34} = 0.375 \, \text{A}\) (ce courant traverse \(R_3\) et \(R_4\))

Quiz Intermédiaire 2 : Si deux branches parallèles ont la même résistance équivalente, le courant total se divise :

Question 8 : Tensions \(V_{R3}\) et \(V_{R4}\)

Principe :

Les résistances \(R_3\) et \(R_4\) sont traversées par le courant \(I_{34}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{R3} = I_{34} R_3 \quad ; \quad V_{R4} = I_{34} R_4\]
Données spécifiques :
  • \(I_{34} = 0.375 \, \text{A}\) (de Q7)
  • \(R_3 = 10 \, \text{Ω}\)
  • \(R_4 = 20 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R3} &= (0.375 \, \text{A}) \cdot (10 \, \text{Ω}) = 3.75 \, \text{V} \\ V_{R4} &= (0.375 \, \text{A}) \cdot (20 \, \text{Ω}) = 7.50 \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification : \(V_{R3} + V_{R4} = 3.75 \, \text{V} + 7.50 \, \text{V} = 11.25 \, \text{V}\), ce qui est égal à \(V_{AB}\).

Résultat Question 8 :
  • \(V_{R3} = 3.75 \, \text{V}\)
  • \(V_{R4} = 7.50 \, \text{V}\)

Question 9 : Vérification de la loi des mailles

Principe :

Maille principale (\(V_S, R_1, R_P\)) : La somme algébrique des tensions doit être nulle. \(V_S - V_{R1} - V_{AB} = 0\).

Maille interne (contenant \(R_2, R_4, R_3\)) : En partant du nœud A, passant par \(R_2\) jusqu'à B, puis de B par \(R_4\) et \(R_3\) pour revenir à A : \(V_{R2} - (V_{R3} + V_{R4}) = 0\). Notez que \(V_{R2} = V_{AB}\).

Calculs :

Maille principale :

\[ \begin{aligned} \Sigma V_{\text{principale}} &= V_S - V_{R1} - V_{AB} \\ &= 15 \, \text{V} - 3.75 \, \text{V} - 11.25 \, \text{V} \\ &= 15 \, \text{V} - 15 \, \text{V} \\ &= 0 \, \text{V} \end{aligned} \]

Maille interne (\(R_2, R_3, R_4\)) :

\[ \begin{aligned} \Sigma V_{\text{interne}} &= V_{AB} - (V_{R3} + V_{R4}) \\ &= 11.25 \, \text{V} - (3.75 \, \text{V} + 7.50 \, \text{V}) \\ &= 11.25 \, \text{V} - 11.25 \, \text{V} \\ &= 0 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : La loi des mailles est vérifiée pour les deux boucles (\(\Sigma V = 0\)).

Quiz Intermédiaire 3 : La loi des mailles de Kirchhoff est une conséquence de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des mailles de Kirchhoff stipule que dans toute boucle fermée d'un circuit :

2. Lorsqu'on applique la loi des mailles, une chute de tension à travers une résistance (parcourue dans le sens du courant) est généralement comptée comme :

3. Pour deux résistances \(R_a\) et \(R_b\) en parallèle, leur résistance équivalente \(R_p\) est :

Glossaire

Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL)
Principe fondamental de l'analyse des circuits qui stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) autour de toute boucle fermée dans un circuit est égale à zéro. Elle est basée sur la conservation de l'énergie.
Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)
Principe qui stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (ou sortant d'un nœud) dans un circuit électrique est égale à zéro. Elle est basée sur la conservation de la charge.
Maille (Boucle)
Tout chemin fermé dans un circuit électrique.
Nœud
Point dans un circuit où deux ou plusieurs composants sont connectés.
Loi d'Ohm
Relation entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)), et la résistance (\(R\)) dans un conducteur : \(V = IR\).
Résistance Équivalente
Résistance unique qui aurait le même effet global sur le circuit qu'un groupement de plusieurs résistances.
Circuit Série
Configuration où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le même courant les traverse.
Circuit Parallèle
Configuration où les composants sont connectés de manière à ce que la même tension soit appliquée à chacun d'eux.
Chute de Tension
Diminution du potentiel électrique le long du trajet d'un courant dans un circuit électrique en raison de la résistance des composants.
Puissance Électrique (\(P\))
Taux auquel l'énergie électrique est transférée par un circuit électrique. Pour une résistance, \(P = VI = I^2R = V^2/R\). Unité : Watt (W).
Calcul de la Tension dans un Circuit Domestique

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