Calcul de la vitesse de groupe d’une onde
Comprendre le Calcul de la vitesse de groupe d’une onde
Dans les études d’électromagnétisme, la vitesse de groupe d’une onde est une grandeur importante pour comprendre comment les informations ou l’énergie se propagent à travers différents milieux.
La vitesse de groupe peut être affectée par les propriétés du milieu à travers lequel l’onde se déplace, comme l’indice de réfraction qui varie avec la fréquence.
Cet exercice vous permettra de calculer la vitesse de groupe d’une onde se déplaçant dans un guide d’onde rempli de verre.
Données:
- Fréquence de l’onde, \( f = 500 \, \text{THz} \) (terahertz)
- Longueur d’onde dans le vide pour cette fréquence, \( \lambda_0 = \frac{c}{f} \) où \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \) (vitesse de la lumière dans le vide)
- L’indice de réfraction du verre pour cette fréquence, \( n = 1.5 \)
Questions:
1. Calcul de la longueur d’onde dans le verre.
2. Calcul de la vitesse de phase:
- Calculez la vitesse de phase de l’onde dans le verre.
3. Détermination de la dépendance de l’indice de réfraction avec la fréquence:
- Supposons que l’indice de réfraction varie légèrement avec la fréquence selon la relation: \( n(f) = 1.5 + 0.1 \sin(2\pi \times 10^{-3} f) \)
- Calculez l’indice de réfraction \( n \) à \( f = 500.001 \, \text{THz} \).
4. Calcul de la vitesse de groupe.
Correction : Calcul de la vitesse de groupe d’une onde
1. Calcul de la longueur d’onde dans le verre
La longueur d’onde dans le vide pour cette fréquence est donnée par:
\[ \lambda_0 = \frac{c}{f} \]
Substituons les valeurs:
\[ \lambda_0 = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{500 \times 10^{12} \, \text{Hz}} = 0.6 \, \mu\text{m} \]
La longueur d’onde dans le verre est:
\[ \lambda = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{0.6 \, \mu\text{m}}{1.5} = 0.4 \, \mu\text{m} \]
2. Calcul de la vitesse de phase
La vitesse de phase dans le verre est:
\[ v_p = \frac{c}{n} \] \[ v_p = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{1.5} \] \[ v_p = 2 \times 10^8 \, \text{m/s} \]
3. Détermination de la dépendance de l’indice de réfraction avec la fréquence
L’indice de réfraction varie avec la fréquence selon la relation donnée:
\[ n(f) = 1.5 + 0.1 \sin(2\pi \times 10^{-3} f) \]
Calculons \(n\) à \(f = 500.001 \, \text{THz}\):
\[ n(500.001 \times 10^{12}) = 1.5 + 0.1 \sin(2\pi \times 10^{-3} \times 500.001 \times 10^{12}) \] \[ n(500.001 \times 10^{12}) = 1.5 + 0.1 \sin(1000.002\pi) \] \[ n(500.001 \times 10^{12}) = 1.5 + 0.1 \sin(2\pi) = 1.5 \]
(Note: \(\sin(2\pi) = 0\), donc \(n\) reste à 1.5)
4. Calcul de la vitesse de groupe
Pour calculer \(\frac{dn}{df}\), nous prenons la dérivée de \(n\) par rapport à \(f\):
\[ \frac{dn}{df} = 0.1 \times 2\pi \times 10^{-3} \cos(2\pi \times 10^{-3} f) \]
Substituons \(f = 500 \times 10^{12}\):
\[ \frac{dn}{df} = 0.1 \times 2\pi \times 10^{-3} \cos(1000\pi) \] \[ \frac{dn}{df} = 0.1 \times 2\pi \times 10^{-3} \] \[ \frac{dn}{df} = 0.000628 \, \text{THz}^{-1} \]
Maintenant, calculons la vitesse de groupe:
\[ v_g \approx \frac{c}{n – f \frac{dn}{df}} \] \[ v_g= \frac{3 \times 10^8}{1.5 – 500 \times 10^{12} \times 0.000628 \times 10^{-12}} \] \[ v_g = \frac{3 \times 10^8}{1.5 – 0.314} \] \[ v_g = \frac{3 \times 10^8}{1.186} \] \[ v_g \approx 2.53 \times 10^8 \, \text{m/s} \]
Calcul de la vitesse de groupe d’une onde
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