Calcul de l’énergie potentielle d’une sphère

Principe :

Pour une sphère conductrice en équilibre électrostatique, la charge \(Q\) se répartit uniformément sur sa surface. On utilise le théorème de Gauss pour déterminer le champ électrique.

Cas 1 : \(r < R\) (à l'intérieur de la sphère conductrice). La surface de Gauss tracée à l'intérieur de la sphère n'enferme aucune charge (\(Q_{\text{int}} = 0\)).

Cas 2 : \(r \ge R\) (à l'extérieur de la sphère). La surface de Gauss (sphère de rayon \(r\)) enferme la totalité de la charge \(Q\). Par symétrie sphérique, le champ est radial.

Formule(s) utilisée(s) (Théorème de Gauss) :

Calcul :

Pour \(r < R\) :

Pour \(r \ge R\) :

Le champ est radial et dirigé vers l'extérieur si \(Q>0\), vers l'intérieur si \(Q<0\). Donc \(\vec{E}(r) = k_e \frac{Q}{r^2} \hat{u}_r\).

Principe :

Le potentiel électrique est obtenu par \(V(B) - V(A) = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}\). En prenant la référence \(V(\infty) = 0\).

Cas 1 : \(r \ge R\) (à l'extérieur).

Cas 2 : \(r < R\) (à l'intérieur). Le champ électrique étant nul à l'intérieur d'un conducteur en équilibre, le potentiel est constant et égal au potentiel à la surface.

Calcul :

Pour \(r \ge R\) :

Pour \(r < R\) : Le potentiel est constant à l'intérieur et égal au potentiel à la surface \(V(R)\).

Donc, pour \(r < R\), \(V(r) = k_e \frac{Q}{R}\).

Principe :

Le potentiel à la surface de la sphère est obtenu en évaluant \(V(r)\) pour \(r=R\).

Données spécifiques :

• \(Q = +20,0 \, \text{nC} = +20,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
• \(R = 5,0 \, \text{cm} = 0,05 \, \text{m}\)
• \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

Calcul :

Principe :

L'énergie électrostatique d'un conducteur de charge \(Q\) à un potentiel \(V\) est donnée par \(U_e = \frac{1}{2} Q V\). Pour une sphère conductrice, \(V\) est le potentiel à sa surface.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(Q = 20,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
• \(V_S = 3600 \, \text{V}\)

Calcul :

Alternativement, en utilisant \(V_S = k_e Q/R\), on a \(U_e = \frac{1}{2} Q \left(k_e \frac{Q}{R}\right) = \frac{1}{2} k_e \frac{Q^2}{R}\).

Principe :

L'énergie électrostatique peut aussi être vue comme étant stockée dans le champ électrique lui-même. La densité d'énergie électrostatique (énergie par unité de volume) en un point où le champ est \(\vec{E}\) est \(u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\). Pour trouver l'énergie totale, on intègre cette densité sur tout le volume où le champ est non nul.

Formule(s) utilisée(s) :

Explication qualitative :

Pour la sphère conductrice, le champ électrique est nul à l'intérieur (\(r < R\)) et vaut \(E(r) = k_e Q/r^2\) à l'extérieur (\(r \ge R\)). La densité d'énergie \(u_e\) est donc nulle pour \(r < R\).

L'intégration se ferait sur le volume extérieur à la sphère, de \(r=R\) à \(r=\infty\). En coordonnées sphériques, l'élément de volume est \(d\tau = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi\).

On a \(\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi\), \(\int_0^\pi \sin\theta d\theta = [-\cos\theta]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2\), et \(\int_R^\infty \frac{1}{r^2} dr = [-\frac{1}{r}]_R^\infty = 0 - (-\frac{1}{R}) = \frac{1}{R}\).

En substituant \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0)\) :

Ceci confirme le résultat obtenu par la méthode \(U_e = \frac{1}{2}QV_S\).