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Calcul de l’impédance totale du circuit

Calcul de l’Impédance Totale d’un Circuit

Calcul de l’Impédance Totale d’un Circuit

Calculer l'impédance totale d'un circuit RLC série en régime sinusoïdal permanent, en déterminant d'abord les réactances inductive et capacitive.

L'impédance (Z) dans un circuit en courant alternatif (CA) est l'opposition totale au passage du courant. Elle généralise la notion de résistance aux circuits contenant des inductances et des capacités. L'impédance est un nombre complexe qui combine la résistance (R) et la réactance (X).

Formules clés :

  • Réactance inductive : XL=ωL=2πfL
  • Réactance capacitive : XC=1ωC=12πfC
  • Impédance d'un circuit RLC série : Ztot=R+j(XLXC)
  • Module de l'impédance : |Ztot|=R2+(XLXC)2
  • Phase de l'impédance : ϕZ=arctan(XLXCR)

L'impédance peut être exprimée en forme rectangulaire (Z=R+jX) ou en forme polaire (Z=|Z|ϕZ).

Données du Problème

Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative.

  • Fréquence de la source : f=50 Hz
  • Résistance : R=30Ω
  • Inductance : L=75 mH
  • Capacité : C=100μF
Vs R L C
Schéma du circuit RLC série.

Questions

  1. Calculer la pulsation (ω) de la source.
  2. Calculer la réactance inductive (XL) de la bobine.
  3. Calculer la réactance capacitive (XC) du condensateur.
  4. Déterminer la réactance totale (Xtot) du circuit.
  5. Calculer l'impédance totale du circuit (Ztot) en forme rectangulaire.
  6. Calculer le module de l'impédance totale (|Ztot|).
  7. Calculer la phase de l'impédance totale (ϕZ).
  8. Exprimer l'impédance totale (Ztot) en forme polaire.
  9. Le circuit est-il globalement inductif, capacitif ou résistif à cette fréquence ? Justifier.

Correction : Calcul de l’Impédance Totale d’un Circuit

1. Calcul de la Pulsation (ω)

La pulsation ω est liée à la fréquence f par la formule ω=2πf.

Donnée : f=50 Hz

ω=2π×50 Hz=100π rad/s314.159 rad/s

La pulsation est ω=100π rad/s314.16 rad/s.

2. Calcul de la Réactance Inductive (XL)

La réactance inductive est donnée par XL=ωL.

Données :
ω=100π rad/s
L=75 mH=75×103 H

XL=100π rad/s×75×103 H=7.5πΩ23.5619Ω

La réactance inductive est XL23.56Ω.

3. Calcul de la Réactance Capacitive (XC)

La réactance capacitive est donnée par XC=1ωC.

Données :
ω=100π rad/s
C=100μF=100×106 F

XC=1100π rad/s×100×106 F=10.01πΩ=100πΩ31.8309Ω

La réactance capacitive est XC31.83Ω.

Quiz Intermédiaire : Réactances Individuelles

Question : Si la fréquence de la source augmente, comment évoluent XL et XC ?

4. Détermination de la Réactance Totale (Xtot)

Pour un circuit RLC série, la réactance totale est la différence entre la réactance inductive et la réactance capacitive : Xtot=XLXC.

Données :
XL23.56Ω
XC31.83Ω

Xtot=23.56Ω31.83Ω=8.27Ω

La réactance totale du circuit est Xtot8.27Ω.

5. Calcul de l'Impédance Totale (Ztot) en Forme Rectangulaire

L'impédance totale en forme rectangulaire est Ztot=R+jXtot.

Données :
R=30Ω
Xtot8.27Ω

Ztot=30j8.27Ω

L'impédance totale en forme rectangulaire est Ztot30j8.27Ω.

Quiz Intermédiaire : Nature de l'Impédance

Question : La partie imaginaire de Ztot est négative (8.27). Cela signifie que le circuit a un comportement globalement :

6. Calcul du Module de l'Impédance Totale (|Ztot|)

Le module de l'impédance Ztot=R+jXtot est |Ztot|=R2+Xtot2.

Données :
R=30Ω
Xtot8.27Ω

|Ztot|=(30)2+(8.27)2=900+68.3929=968.392931.119Ω

Le module de l'impédance totale est |Ztot|31.12Ω.

7. Calcul de la Phase de l'Impédance Totale (ϕZ)

La phase de l'impédance Ztot=R+jXtot est ϕZ=arctan(XtotR).

Données :
R=30Ω
Xtot8.27Ω

ϕZ=arctan(8.2730)=arctan(0.27566...)15.41

La phase de l'impédance totale est ϕZ15.41.

8. Expression de l'Impédance Totale (Ztot) en Forme Polaire

La forme polaire de l'impédance est Ztot=|Ztot|ϕZ.

Données :
|Ztot|31.12Ω
ϕZ15.41

Ztot31.1215.41Ω

L'impédance totale en forme polaire est Ztot31.1215.41Ω.

Quiz Intermédiaire : Angle de l'Impédance

Question : Un angle d'impédance ϕZ négatif signifie que :

9. Nature Globale du Circuit

La nature du circuit (inductif, capacitif ou résistif) est déterminée par le signe de la réactance totale Xtot ou par l'angle de l'impédance ϕZ.

Données :
Xtot8.27Ω
ϕZ15.41

Puisque Xtot est négative (XL<XC) et que ϕZ est négatif, le circuit est globalement capacitif à cette fréquence.

Cela signifie que le courant total dans le circuit sera en avance sur la tension totale appliquée au circuit.

Le circuit est globalement capacitif à 50 Hz.

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : L'unité de l'impédance et de la réactance est :

Question 2 : Dans un circuit RLC série, si XL>XC, l'impédance totale aura un angle ϕZ :

Question 3 : L'impédance d'un condensateur idéal :

Question 4 : Laquelle de ces affirmations est vraie pour un circuit RLC série à la résonance ?

Glossaire des Termes Clés

Impédance (Z) :

Mesure de l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est un nombre complexe Z=R+jX, où R est la résistance et X la réactance. Unité : Ohm (Ω).

Résistance (R) :

Partie de l'impédance qui dissipe l'énergie sous forme de chaleur (effet Joule). Elle ne dépend pas de la fréquence. Unité : Ohm (Ω).

Réactance (X) :

Partie imaginaire de l'impédance, due aux éléments qui stockent de l'énergie (inductances et capacités). Elle dépend de la fréquence. Unité : Ohm (Ω).

Réactance Inductive (XL) :

Opposition au changement de courant due à une inductance. XL=ωL. Augmente avec la fréquence.

Réactance Capacitive (XC) :

Opposition au changement de tension due à une capacité. XC=1/(ωC). Diminue avec la fréquence.

Pulsation (ω) :

Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence f par ω=2πf. Unité : radian par seconde (rad/s).

Forme Rectangulaire (de l'impédance) :

Expression de l'impédance sous la forme Z=R+jX.

Forme Polaire (de l'impédance) :

Expression de l'impédance sous la forme Z=|Z|ϕZ, où |Z| est le module et ϕZ est l'angle de phase.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment l'impédance totale d'un circuit RLC parallèle serait-elle calculée ? En quoi diffère-t-elle du circuit série ?

2. Expliquez le concept de résonance dans un circuit RLC série. Que se passe-t-il avec l'impédance à la fréquence de résonance ?

3. Si la fréquence de la source était de 60 Hz au lieu de 50 Hz, comment cela affecterait-il l'impédance totale du circuit étudié ? Serait-il plus inductif ou plus capacitif ?

4. Dans quelles applications pratiques est-il crucial de connaître et de contrôler l'impédance d'un circuit ?

5. Comment l'admittance (inverse de l'impédance) peut-elle simplifier l'analyse des circuits en parallèle ?

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