Exercices Électricité

Calcul de l’intensité du courant

Calcul de l’Intensité du Courant

Calcul de l’Intensité du Courant

Comprendre le Calcul de l'Intensité du Courant

L'intensité du courant électrique, mesurée en Ampères (A), représente le débit de charges électriques à travers un point d'un circuit. Dans un circuit alimenté par une source de tension, ce courant est déterminé par la tension de la source et la résistance totale du circuit, conformément à la loi d'Ohm. Lorsque le circuit comporte plusieurs branches, comme dans un montage en parallèle, le courant total fourni par la source se divise entre ces branches. La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que la somme des courants entrant dans un nœud (un point de jonction) est égale à la somme des courants qui en sortent. Comprendre comment calculer ces courants est fondamental pour analyser le fonctionnement des circuits et la distribution de l'énergie.

Données de l'étude

On considère le circuit en courant continu suivant, alimenté par une source de tension \(V_{\text{s}}\). Il est composé d'une résistance \(R_1\) en série avec un groupement de deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) montées en parallèle.

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(12 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(6 \, \Omega\)
Schéma : Circuit DC pour Calcul des Courants
Vs 24V + − R1 4Ω A R2 12Ω R3 6Ω B → Itotal → I2 → I3

Circuit DC série-parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eqP}}\)) du groupement parallèle formé par \(R_2\) et \(R_3\).
  2. Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\)) du circuit.
  3. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source. Ce courant est également le courant \(I_1\) traversant \(R_1\).
  4. Calculer la tension (\(V_1\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
  5. Calculer la tension (\(V_{\text{par}}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_3\)). Cette tension est la même pour \(R_2\) et \(R_3\).
  6. Calculer le courant (\(I_2\)) traversant la résistance \(R_2\).
  7. Calculer le courant (\(I_3\)) traversant la résistance \(R_3\).
  8. Vérifier la loi des nœuds de Kirchhoff au nœud A.
  9. Vérifier la loi des mailles de Kirchhoff pour la boucle contenant la source, \(R_1\) et \(R_2\).

Correction : Calcul de l’Intensité du Courant

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eqP}}\)) de \(R_2 // R_3\)

Principe :

Lorsque deux résistances, \(R_2\) et \(R_3\), sont connectées en parallèle, cela signifie qu'elles offrent deux chemins distincts au courant. La résistance équivalente de ce groupement, notée \(R_{\text{eqP}}\), est toujours plus petite que la plus petite des deux résistances. Elle se calcule avec la formule : \(\frac{1}{R_{\text{eqP}}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\). Une forme plus directe pour deux résistances est \(R_{\text{eqP}} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eqP}} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 12 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 6 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eqP}} &= \frac{12 \, \Omega \times 6 \, \Omega}{12 \, \Omega + 6 \, \Omega} \\ &= \frac{72 \, \Omega^2}{18 \, \Omega} \\ &= 4 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_{\text{eqP}} = 4 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

La résistance \(R_1\) est connectée en série avec le groupement parallèle (dont la résistance équivalente est \(R_{\text{eqP}}\)). En série, les résistances s'ajoutent simplement pour donner la résistance totale du circuit vue par la source.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eqP}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 4 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eqP}} = 4 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{total}} &= 4 \, \Omega + 4 \, \Omega \\ &= 8 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{total}} = 8 \, \Omega\).

Question 3 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total \(I_{\text{total}}\) fourni par la source de tension \(V_{\text{s}}\) peut être trouvé en appliquant la loi d'Ohm à l'ensemble du circuit, en utilisant la résistance totale équivalente \(R_{\text{total}}\). Ce courant total est celui qui traverse la résistance \(R_1\) car elle est directement en série avec la source.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{total}} = 8 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{24 \, \text{V}}{8 \, \Omega} \\ &= 3 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total fourni par la source (et traversant \(R_1\)) est \(I_{\text{total}} = I_1 = 3 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la tension de la source était de \(12 \, \text{V}\) (au lieu de \(24 \, \text{V}\)) avec la même \(R_{\text{total}}\) de \(8 \, \Omega\), le courant total serait :

Question 4 : Tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

La chute de tension aux bornes d'une résistance est le produit de sa résistance et du courant qui la traverse (loi d'Ohm). Le courant traversant \(R_1\) est le courant total \(I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = R_1 \times I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 4 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= 4 \, \Omega \times 3 \, \text{A} \\ &= 12 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_1 = 12 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_{\text{par}}\)) aux bornes du groupement parallèle

Principe :

La tension aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_3\)) peut être trouvée en soustrayant la chute de tension aux bornes de \(R_1\) de la tension totale de la source (loi des mailles de Kirchhoff). Cette tension \(V_{\text{par}}\) est la même aux bornes de \(R_2\) et de \(R_3\) car elles sont en parallèle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{par}} = V_{\text{s}} - V_1 \quad \text{ou} \quad V_{\text{par}} = R_{\text{eqP}} \times I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
  • \(V_1 = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{eqP}} = 4 \, \Omega\) et \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\) (pour la deuxième méthode)
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} V_{\text{par}} &= 24 \, \text{V} - 12 \, \text{V} \\ &= 12 \, \text{V} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Vérification) :
\[ \begin{aligned} V_{\text{par}} &= 4 \, \Omega \times 3 \, \text{A} \\ &= 12 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_{\text{par}} = 12 \, \text{V}\).

Question 6 : Courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\)

Principe :

Maintenant que nous connaissons la tension \(V_{\text{par}}\) aux bornes de \(R_2\), nous pouvons utiliser la loi d'Ohm pour trouver le courant \(I_2\) qui la traverse : \(I_2 = V_{\text{par}} / R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{\text{par}}}{R_2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{par}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 12 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{12 \, \text{V}}{12 \, \Omega} \\ &= 1 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_2 = 1 \, \text{A}\).

Question 7 : Courant (\(I_3\)) traversant \(R_3\)

Principe :

De même, le courant \(I_3\) traversant \(R_3\) est \(I_3 = V_{\text{par}} / R_3\). On peut aussi utiliser la loi des nœuds au nœud A : \(I_{\text{total}} = I_2 + I_3\), donc \(I_3 = I_{\text{total}} - I_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_3 = \frac{V_{\text{par}}}{R_3} \quad \text{ou} \quad I_3 = I_{\text{total}} - I_2\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{par}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_3 = 6 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
  • \(I_2 = 1 \, \text{A}\)
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{12 \, \text{V}}{6 \, \Omega} \\ &= 2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Vérification) :
\[ \begin{aligned} I_3 &= 3 \, \text{A} - 1 \, \text{A} \\ &= 2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le courant traversant \(R_3\) est \(I_3 = 2 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un groupement parallèle de deux résistances \(R_A\) et \(R_B\) (\(R_A > R_B\)), le courant le plus important passera dans :

Question 8 : Vérification de la Loi des Nœuds de Kirchhoff au Nœud A

Principe :

La loi des nœuds stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent. Au nœud A, le courant entrant est \(I_{\text{total}}\), et les courants sortants sont \(I_2\) et \(I_3\). Donc, \(I_{\text{total}} = I_2 + I_3\).

Données calculées :
  • \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
  • \(I_2 = 1 \, \text{A}\)
  • \(I_3 = 2 \, \text{A}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} I_2 + I_3 &= 1 \, \text{A} + 2 \, \text{A} \\ &= 3 \, \text{A} \end{aligned} \]

On compare cette somme à \(I_{\text{total}}\) :

\[3 \, \text{A} = 3 \, \text{A} \quad (\text{Vérifié})\]
Résultat Question 8 : La loi des nœuds est vérifiée au nœud A.

Question 9 : Vérification de la Loi des Mailles de Kirchhoff

Principe :

La loi des mailles stipule que la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée est nulle. Pour la maille extérieure passant par la source, \(R_1\), et \(R_2\) (ou \(R_1\) et \(R_3\)), on a \(V_{\text{s}} - V_1 - V_{\text{par}} = 0\).

Données calculées :
  • \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
  • \(V_1 = 12 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{par}} = 12 \, \text{V}\) (tension aux bornes de \(R_2\) ou \(R_3\))
Vérification :
\[ \begin{aligned} V_{\text{s}} - V_1 - V_{\text{par}} &= 24 \, \text{V} - 12 \, \text{V} - 12 \, \text{V} \\ &= 0 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : La loi des mailles est vérifiée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le courant total dans un circuit série-parallèle est déterminé par :

2. La formule du diviseur de courant pour deux résistances \(R_A\) et \(R_B\) en parallèle, avec un courant total \(I_T\) entrant dans le groupement, donne le courant \(I_A\) dans \(R_A\) comme :

3. Si une branche parallèle a une résistance beaucoup plus faible que l'autre :

Glossaire

Intensité du Courant (I)
Flux de charges électriques à travers un conducteur, mesuré en Ampères (A).
Loi d'Ohm
Relation \(V = IR\), où \(V\) est la tension, \(I\) le courant, et \(R\) la résistance.
Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)
La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Exprime la conservation de la charge.
Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL)
La somme algébrique des tensions dans une boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. Exprime la conservation de l'énergie.
Résistance Équivalente
Résistance unique qui produirait le même effet sur le circuit que le groupement de résistances qu'elle remplace.
Circuit Série
Les composants sont connectés bout à bout, le même courant les traverse.
Circuit Parallèle
Les composants sont connectés aux mêmes deux nœuds, la tension est la même à leurs bornes.
Diviseur de Courant
Principe utilisé pour calculer comment le courant se répartit entre des branches parallèles. Le courant dans une branche est inversement proportionnel à sa résistance.
Calcul de l’Intensité du Courant

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