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Calcul de résistances en série et en parallèle

Calcul de Résistances en Série et Parallèle

Calcul de Résistances en Série et Parallèle

Comprendre le Calcul des Résistances en Série et Parallèle

La capacité à calculer la résistance équivalente d'un groupement de résistances est une compétence fondamentale en analyse de circuits électriques. Les résistances peuvent être combinées de deux manières principales : en série ou en parallèle. Lorsqu'elles sont en série, le courant qui les traverse est le même, et leurs résistances s'additionnent. Lorsqu'elles sont en parallèle, la tension à leurs bornes est la même, et l'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses de chaque résistance. Les circuits complexes sont souvent des combinaisons de ces deux types de montages.

Données de l'étude

On considère le circuit résistif représenté ci-dessous. L'objectif est de déterminer la résistance équivalente totale vue entre les points A et B.

Valeurs des résistances :

  • Résistance \(R_1\) : \(10 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(20 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(30 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_4\) : \(40 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_5\) : \(50 \, \Omega\)
Schéma : Circuit Résistif Combiné
A R1 10Ω R2 20Ω R3 30Ω R4 40Ω R5 50Ω B

Circuit combinant des résistances en série et en parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq34}}\)) des résistances \(R_3\) et \(R_4\) montées en parallèle.
  2. La résistance \(R_2\) est en série avec le groupement (\(R_3 // R_4\)). Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq234}}\)) de cette branche.
  3. La résistance \(R_1\) est en parallèle avec la branche contenant \(R_{\text{eq234}}\). Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq1234}}\)) de ce nouveau groupement.
  4. Enfin, la résistance \(R_5\) est en série avec \(R_{\text{eq1234}}\). Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{AB}}\)) entre les points A et B.

Correction : Calcul de Résistances en Série et Parallèle

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq34}}\)) de \(R_3 // R_4\)

Principe :

Pour deux résistances \(R_3\) et \(R_4\) montées en parallèle, la résistance équivalente \(R_{\text{eq34}}\) est donnée par la formule : \(\frac{1}{R_{\text{eq34}}} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}\), ou de manière équivalente \(R_{\text{eq34}} = \frac{R_3 \times R_4}{R_3 + R_4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq34}} = \frac{R_3 \times R_4}{R_3 + R_4}\]
Données spécifiques :
  • \(R_3 = 30 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 40 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq34}} &= \frac{30 \, \Omega \times 40 \, \Omega}{30 \, \Omega + 40 \, \Omega} \\ &= \frac{1200 \, \Omega^2}{70 \, \Omega} \\ &\approx 17.1428... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente de \(R_3\) et \(R_4\) en parallèle est \(R_{\text{eq34}} \approx 17.14 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : Deux résistances de \(10 \, \Omega\) et \(10 \, \Omega\) en parallèle ont une résistance équivalente de :

Question 2 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq234}}\)) de la branche (\(R_2\) en série avec \(R_{\text{eq34}}\))

Principe :

La résistance \(R_2\) est en série avec la résistance équivalente \(R_{\text{eq34}}\). Pour des résistances en série, la résistance équivalente est la somme des résistances.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq234}} = R_2 + R_{\text{eq34}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 20 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eq34}} \approx 17.1428 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq234}} &= 20 \, \Omega + 17.1428... \, \Omega \\ &\approx 37.1428... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance équivalente de cette branche est \(R_{\text{eq234}} \approx 37.14 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(R_A = 5 \, \Omega\) est en série avec \(R_B = 15 \, \Omega\), la résistance équivalente est :

Question 3 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq1234}}\)) du groupement (\(R_1 // R_{\text{eq234}}\))

Principe :

La résistance \(R_1\) est en parallèle avec la branche de résistance équivalente \(R_{\text{eq234}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq1234}} = \frac{R_1 \times R_{\text{eq234}}}{R_1 + R_{\text{eq234}}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eq234}} \approx 37.1428 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq1234}} &= \frac{10 \, \Omega \times 37.1428... \, \Omega}{10 \, \Omega + 37.1428... \, \Omega} \\ &= \frac{371.428... \, \Omega^2}{47.1428... \, \Omega} \\ &\approx 7.8787... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance équivalente de ce groupement est \(R_{\text{eq1234}} \approx 7.88 \, \Omega\).

Question 4 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{AB}}\)) entre A et B

Principe :

La résistance \(R_5\) est en série avec le groupement de résistance équivalente \(R_{\text{eq1234}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{AB}} = R_{\text{eq1234}} + R_5\]
Données spécifiques :
  • \(R_{\text{eq1234}} \approx 7.8787 \, \Omega\)
  • \(R_5 = 50 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{AB}} &= 7.8787... \, \Omega + 50 \, \Omega \\ &\approx 57.8787... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La résistance totale équivalente entre les points A et B est \(R_{\text{AB}} \approx 57.88 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 3 : Pour simplifier un circuit, l'ordre typique est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lorsque deux résistances sont en série, leur résistance équivalente est :

2. Pour calculer la résistance équivalente de trois résistances \(R_a, R_b, R_c\) en parallèle, on utilise :

3. Si l'on simplifie un circuit complexe, on commence généralement par identifier :

Glossaire

Résistance en Série
Association de résistances connectées bout à bout, de sorte que le même courant les traverse. La résistance équivalente est la somme des résistances individuelles : \(R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + ... + R_n\).
Résistance en Parallèle
Association de résistances connectées aux mêmes deux points (nœuds), de sorte que la même tension s'applique à leurs bornes. L'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses des résistances individuelles : \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}\).
Résistance Équivalente (\(R_{\text{eq}}\) ou \(R_{\text{AB}}\))
Valeur d'une résistance unique qui, si elle remplaçait un groupement de résistances dans un circuit, aurait le même effet sur le reste du circuit (c'est-à-dire que le courant total et la tension totale aux bornes du groupement resteraient inchangés).
Circuit Combiné (ou Mixte)
Circuit électrique qui contient des combinaisons de montages en série et de montages en parallèle.
Nœud
Point dans un circuit où trois conducteurs ou plus se rencontrent. C'est un point de jonction pour le courant.
Branche
Partie d'un circuit comprise entre deux nœuds consécutifs, contenant un ou plusieurs composants.
Calcul de Résistances en Série et Parallèle

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