Calcul de résistances en série et en parallèle

Contexte : L'analyse de Circuits ÉlectriquesConcepts clés pour analyser le comportement du courant et de la tension dans un réseau de composants..

La capacité à analyser des circuits électriques est fondamentale en physique et en ingénierie. Comprendre comment les résistances s'associent, que ce soit en série ou en parallèle, est la première étape pour maîtriser des circuits plus complexes. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse d'un circuit "mixte", combinant les deux types d'associations, pour calculer la résistance équivalente totale et les grandeurs clés (courant et tension) en utilisant la Loi d'OhmLa relation fondamentale V = R x I qui lie la tension (V), la résistance (R) et le courant (I)..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour solidifier votre compréhension de la simplification de circuits. Savoir "réduire" un circuit complexe à une seule résistance équivalente est une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en électricité ou électronique.

Objectifs Pédagogiques

Identifier correctement les groupements de résistances en série et en parallèle dans un circuit mixte.
Calculer la résistance équivalenteLa valeur de résistance unique qui pourrait remplacer un réseau complexe de résistances tout en conservant le même courant total pour la même tension appliquée. (\(R_{\text{éq}}\)) d'associations en série, en parallèle et mixtes.
Appliquer la Loi d'Ohm (\(V = R \times I\)) pour déterminer le courant total et les chutes de tension partielles dans le circuit.

Données de l'étude

Soit le circuit électrique mixte ci-dessous, alimenté par une source de tension continue \(V\). Le circuit est composé de quatre résistances : \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) et \(R_4\).

Schéma du Circuit Électrique

Circuit mixte à analyser

Composant	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	\(V\)	12	V
Résistance 1	\(R_1\)	10	\(\Omega\)
Résistance 2	\(R_2\)	20	\(\Omega\)
Résistance 3	\(R_3\)	30	\(\Omega\)
Résistance 4	\(R_4\)	40	\(\Omega\)

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente du bloc parallèle (\(R_{23}\)) formé par \(R_2\) et \(R_3\).
Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{\text{éq}}\)) de l'ensemble du circuit.
Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) débité par la source de tension \(V\).
Calculer la chute de tension (\(V_1\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
Calculer la chute de tension (\(V_{23}\)) aux bornes du bloc parallèle (c'est-à-dire aux bornes de \(R_2\) et \(R_3\)).

Les bases sur les Circuits Électriques

Pour résoudre cet exercice, trois concepts fondamentaux de l'électricité sont nécessaires : l'association en série, l'association en parallèle et la loi d'Ohm.

1. Association en Série
Lorsque des résistances sont en série, elles sont traversées par le même courant. Leurs tensions s'ajoutent. La résistance équivalente est la somme des résistances individuelles. \[ R_{\text{série}} = R_A + R_B + \dots + R_N \]

2. Association en Parallèle
Lorsque des résistances sont en parallèle, elles sont soumises à la même tension. Leurs courants s'ajoutent. L'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses des résistances individuelles. \[ \frac{1}{R_{\text{parallèle}}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \dots + \frac{1}{R_N} \] Pour deux résistances, on utilise souvent la formule simplifiée : \(R_{\text{produit-somme}} = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B}\)

3. La Loi d'Ohm
C'est la relation la plus importante. Elle lie la tension (\(V\), en Volts), le courant (\(I\), en Ampères) et la résistance (\(R\), en Ohms) pour un composant donné. \[ V = R \times I \quad \text{ou} \quad I = \frac{V}{R} \quad \text{ou} \quad R = \frac{V}{I} \]

Correction : Calcul de Résistances en Série et Parallèle

Question 1 : Calculer la résistance équivalente du bloc parallèle (\(R_{23}\))

Principe

La première étape de la simplification est de combiner les résistances \(R_2\) et \(R_3\). En regardant le schéma, nous voyons qu'elles sont connectées aux deux mêmes points (nœuds). Elles sont donc en parallèle. Notre objectif est de remplacer ce duo par une seule résistance, \(R_{23}\), qui aurait le même effet sur le reste du circuit.

Mini-Cours

Association en Parallèle : Lorsque deux ou plusieurs composants sont en parallèle, la tension à leurs bornes est identique. Le courant total qui entre dans le groupement se divise pour passer dans chaque branche. L'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses des résistances : \(\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \dots\)

Remarque Pédagogique

L'identification des nœuds est cruciale. Un "nœud" est un point de connexion où 3 fils ou plus se rencontrent. \(R_2\) et \(R_3\) partagent un nœud d'entrée commun et un nœud de sortie commun, c'est la définition même du parallèle.

Normes

Ce calcul découle de la Loi des Nœuds de Kirchhoff, qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant (\(I_{\text{total}} = I_2 + I_3\)). Combinée à la Loi d'Ohm, elle donne la formule de l'association parallèle.

Formule(s)

Pour deux résistances en parallèle, on peut utiliser la formule générale \(\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\). Cependant, la formule "produit-somme" (dérivée de la première) est souvent plus directe et rapide à calculer.

R_{23} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}

Hypothèses

Pour ce calcul (et tout l'exercice), nous posons les hypothèses suivantes :

Les fils de connexion sont parfaits : leur résistance est considérée comme nulle (0 \(\Omega\)).
Les résistances sont "ohmiques" pures : leur valeur ne change pas avec la température ou la tension.

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 2	\(R_2\)	20	\(\Omega\)
Résistance 3	\(R_3\)	30	\(\Omega\)

Astuces

Pour une association en parallèle, la résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des résistances du groupe. Ici, le résultat doit être inférieur à 20 \(\Omega\). C'est un excellent moyen de vérifier rapidement la plausibilité de son calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Le circuit de départ. Nous nous concentrons sur le bloc où \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle (surligné en bleu).

Circuit mixte à analyser (focus parallèle)

Calcul(s)

Étape 1 : Remplacer les symboles par les valeurs

On prend la formule produit-somme et on insère les valeurs de \(R_2 = 20 \, \Omega\) et \(R_3 = 30 \, \Omega\) (issues de la section "Donnée(s)" de cette question).

R_{23} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \] \[ R_{23} = \frac{20 \times 30}{20 + 30}

Étape 2 : Calculer le numérateur et le dénominateur

On effectue les opérations : le produit en haut (numérateur) et la somme en bas (dénominateur).

\begin{aligned} \text{Numérateur} &: 20 \times 30 = 600 \\ \text{Dénominateur} &: 20 + 30 = 50 \end{aligned}

Étape 3 : Finaliser la division

On divise le résultat du numérateur (600) par celui du dénominateur (50) pour obtenir la valeur finale.

\begin{aligned} R_{23} &= \frac{600}{50} \\ &= 12 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le bloc parallèle (\(R_2\) et \(R_3\)) est maintenant remplacé par une résistance unique \(R_{23} = 12 \, \Omega\).

Circuit simplifié (Étape 1)

Réflexions

Le résultat de 12 \(\Omega\) est bien inférieur à 20 \(\Omega\), ce qui valide notre astuce de vérification. En offrant deux chemins au courant, le bloc (R2 || R3) est globalement "plus facile" à traverser qu'un seul chemin (R2 seul). Nous pouvons maintenant remplacer mentalement ce bloc par une seule résistance de 12 \(\Omega\).

Points de vigilance

La formule produit-somme ne fonctionne que pour deux résistances à la fois ! Si vous en avez trois (\(R_A, R_B, R_C\)), vous devez utiliser \(\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \frac{1}{R_C}\) ou faire le calcul en deux étapes : \(R_{AB} = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B}\), puis \(R_{ABC} = \frac{R_{AB} \times R_C}{R_{AB} + R_C}\).

Le saviez-vous ?

L'inverse de la résistance (\(1/R\)) a sa propre grandeur : la Conductance (G), mesurée en Siemens (S). La formule parallèle devient alors très simple : les conductances s'ajoutent ! \(G_{\text{éq}} = G_2 + G_3\). Ici : \(G_2 = 1/20 = 0.05 \, S\), \(G_3 = 1/30 \approx 0.0333 \, S\). \(G_{23} \approx 0.0833 \, S\). Et \(R_{23} = 1 / G_{23} = 1 / 0.0833 \approx 12 \, \Omega\).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La résistance équivalente du bloc parallèle \(R_{23}\) est de 12 \(\Omega\).

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Si \(R_2 = 10 \, \Omega\) et \(R_3 = 10 \, \Omega\), que vaudrait \(R_{23}\) ? (Astuce : c'est un cas particulier très courant).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Association Parallèle (tension identique).
Formule : \(R_{\text{éq}} = (R_A \times R_B) / (R_A + R_B)\).
Vérification : \(R_{\text{parallèle}} < \min(R_A, R_B)\).

Question 2 : Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{\text{éq}}\))

Principe

Après avoir calculé \(R_{23}\) à la question 1, notre circuit est simplifié. Nous pouvons remplacer mentalement le bloc parallèle (R2 et R3) par sa résistance équivalente \(R_{23}\). Le circuit devient alors beaucoup plus simple : \(R_1\), \(R_{23}\) et \(R_4\) sont connectées les unes à la suite des autres, sur le même fil. Elles sont donc en série.

Mini-Cours

Association en Série : Lorsque des composants sont en série, ils sont traversés par le même courant. Leurs tensions s'ajoutent (c'est la Loi des Mailles). La résistance équivalente d'une branche série est simplement la somme de toutes les résistances de cette branche.

Remarque Pédagogique

La méthode de simplification de circuits mixtes est toujours la même : "de l'intérieur vers l'extérieur". On identifie les plus petits blocs (série ou parallèle), on les calcule, on redessine le circuit simplifié, et on recommence jusqu'à n'avoir plus qu'une seule résistance.

Normes

Ce calcul découle de la Loi des Mailles de Kirchhoff, qui stipule que la somme des tensions dans une boucle fermée est nulle (\(V_{\text{source}} - V_1 - V_{23} - V_4 = 0\)). Combinée à la Loi d'Ohm, elle donne la formule d'additivité des résistances en série.

Formule(s)

Nous utilisons la formule d'addition pour les résistances en série.

R_{\text{éq}} = R_1 + R_{23} + R_4

Hypothèses

Nous gardons l'hypothèse des fils parfaits. Le fil entre \(R_1\) et \(R_{23}\) et celui entre \(R_{23}\) et \(R_4\) ont une résistance de 0 \(\Omega\), garantissant une connexion en série parfaite.

Donnée(s)

On utilise les valeurs de l'énoncé ainsi que le résultat de la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	\(R_1\)	10	\(\Omega\)
Résistance Parallèle (de Q1)	\(R_{23}\)	12	\(\Omega\)
Résistance 4	\(R_4\)	40	\(\Omega\)

Astuces

Contrairement au parallèle, pour une association en série, la résistance équivalente est toujours plus grande que la plus grande des résistances du groupe. Ici, le résultat doit être supérieur à 40 \(\Omega\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous partons du circuit simplifié à la Q1. Les trois résistances restantes sont en série (surligné en vert).

Circuit simplifié (Étape 1)

Calcul(s)

Étape 1 : Remplacer les symboles par les valeurs

On prend la formule d'addition en série et on insère les valeurs de \(R_1 = 10 \, \Omega\), \(R_4 = 40 \, \Omega\) (de l'énoncé) et \(R_{23} = 12 \, \Omega\) (calculé à la Q1).

R_{\text{éq}} = R_1 + R_{23} + R_4 \] \[ R_{\text{éq}} = 10 + 12 + 40

Étape 2 : Effectuer la somme

On additionne simplement les trois valeurs pour trouver la résistance totale.

\begin{aligned} R_{\text{éq}} &= 10 + 12 + 40 \\ &= 22 + 40 \\ &= 62 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le circuit est maintenant totalement simplifié. L'ensemble se comporte comme une seule résistance \(R_{\text{éq}}\).

Circuit totalement simplifié (Étape 2)

Réflexions

La valeur de 62 \(\Omega\) est bien supérieure à 40 \(\Omega\), ce qui valide notre astuce. L'ensemble du circuit complexe se comporte, du point de vue de la source de tension, exactement comme une simple résistance de 62 \(\Omega\). C'est cette valeur que la source "voit".

Points de vigilance

Assurez-vous d'avoir bien identifié toutes les résistances en série. Une erreur courante est d'oublier un composant dans la somme. Ici, il y a bien 3 blocs : \(R_1\), \(R_{23}\) et \(R_4\).

Le saviez-vous ?

Cette méthode de réduction de circuit s'appelle la simplification par résistances équivalentes. Elle est fondamentale mais ne fonctionne que pour les circuits "série-parallèle" simples. Pour des circuits plus complexes (ex: un "pont de Wheatstone" déséquilibré), on doit utiliser des méthodes plus avancées comme la transformation Thévenin/Norton ou les lois de Kirchhoff (mailles et nœuds).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Le saviez-vous ?

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La résistance équivalente totale \(R_{\text{éq}}\) du circuit est de 62 \(\Omega\).

A vous de jouer

Si \(R_1 = 5 \, \Omega\), \(R_{23} = 10 \, \Omega\) et \(R_4 = 15 \, \Omega\), que vaudrait la nouvelle \(R_{\text{éq}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Association Série (courant identique).
Formule : \(R_{\text{éq}} = R_A + R_B + \dots\).
Vérification : \(R_{\text{série}} > \max(R_A, R_B, \dots)\).

Question 3 : Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe

Maintenant que nous avons réduit tout le circuit à une seule résistance équivalente (\(R_{\text{éq}} = 62 \, \Omega\)), nous pouvons calculer le courant total. Nous appliquons la Loi d'Ohm à l'ensemble du circuit, en utilisant la tension totale de la source (\(V\)) et la résistance totale (\(R_{\text{éq}}\)).

Mini-Cours

La Loi d'Ohm globale : La loi \(V = R \times I\) s'applique à un composant individuel (tension locale, résistance locale, courant local) mais aussi à l'ensemble du circuit. Dans ce cas, on utilise la tension totale de la source, la résistance équivalente totale du circuit, pour trouver le courant total qui sort de la source.

Remarque Pédagogique

C'est l'objectif principal de la simplification : transformer un problème complexe (plusieurs résistances) en un problème simple (\(V\), \(R_{\text{éq}}\)) pour trouver le courant de départ, \(I_{\text{total}}\). Ce courant est la clé pour "remonter" le circuit et trouver toutes les autres valeurs.

Formule(s)

Nous utilisons la Loi d'Ohm, réarrangée pour trouver le courant (\(I\)).

I_{\text{total}} = \frac{V}{R_{\text{éq}}}

Donnée(s)

Nous utilisons la tension de l'énoncé et le résultat de la Question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	\(V\)	12	V
Résistance équivalente (de Q2)	\(R_{\text{éq}}\)	62	\(\Omega\)

Astuces

Vérifiez toujours vos unités : Volts divisés par Ohms donnent bien des Ampères. Si vos données étaient en k\(\Omega\) (kilo-ohms) ou mV (millivolts), il faudrait impérativement les convertir en Ohms et Volts avant le calcul pour obtenir des Ampères.

Schéma (Avant les calculs)

On utilise le circuit totalement simplifié (de Q2) pour ce calcul. On cherche le courant \(I_{\text{total}}\) qui sort de la source.

Calcul de \(I_{\text{total}}\)

Calcul(s)

Étape 1 : Remplacer les symboles par les valeurs

On prend la Loi d'Ohm \(I = V/R\). On utilise la tension totale \(V = 12 \, \text{V}\) (de l'énoncé) et la résistance totale \(R_{\text{éq}} = 62 \, \Omega\) (calculée à la Q2).

I_{\text{total}} = \frac{V}{R_{\text{éq}}} \] \[ I_{\text{total}} = \frac{12}{62}

Étape 2 : Effectuer la division

On divise la tension par la résistance pour obtenir le courant en Ampères.

\begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{12}{62} \, \text{A} \\ &\approx 0.193548... \, \text{A} \end{aligned}

Pour la suite, nous pouvons arrondir à \(193.5 \, \text{mA}\) (milliampères) ou garder \(0.19355 \, \text{A}\) pour plus de précision.

Réflexions

Ce courant \(I_{\text{total}}\), souvent noté \(I\), est le courant qui sort de la borne positive de la source. C'est aussi le courant qui traverse \(R_1\), puis le bloc \(R_{23}\) et enfin \(R_4\), avant de retourner à la source.

Points de vigilance

Pour les calculs suivants, il est préférable de garder la valeur la plus précise possible (par exemple, 0.1935 A) ou même la fraction (12/62 A) pour éviter les erreurs d'arrondi. Nous arrondirons seulement le résultat final. Utiliser 0.19 A serait trop imprécis.

Le saviez-vous ?

Le courant est souvent exprimé en milliampères (mA). \(1 \, \text{A} = 1000 \, \text{mA}\). Notre résultat \(\approx 0.1935 \, \text{A}\) est donc égal à \(193.5 \, \text{mA}\). C'est une valeur très typique en électronique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Le courant total \(I_{\text{total}}\) débité par la source est d'environ 0.194 A (ou 194 mA).

A vous de jouer

Si la tension \(V\) était de 24 V (le double) mais que la \(R_{\text{éq}}\) restait à 62 \(\Omega\), que vaudrait le courant total ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Loi d'Ohm appliquée au circuit global.
Formule : \(I_{\text{total}} = V_{\text{source}} / R_{\text{éq}}\).
Point de Vigilance : Ce courant est le courant "parent" qui se divise ensuite dans les branches parallèles.

Question 4 : Calculer la chute de tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe

Maintenant que nous connaissons le courant total (\(I_{\text{total}}\)) qui circule dans le circuit, nous pouvons "remonter" et calculer les valeurs locales. On sait que \(R_1\) est en série sur la branche principale. Par conséquent, le courant qui la traverse est le courant total \(I_{\text{total}}\). Nous pouvons appliquer la Loi d'Ohm localement à \(R_1\).

Mini-Cours

Loi d'Ohm locale : La tension aux bornes d'un composant (\(V_x\)) est égale à la résistance de ce composant (\(R_x\)) multipliée par le courant qui le traverse effectivement (\(I_x\)). C'est la clé : on utilise les valeurs "locales".

Remarque Pédagogique

On appelle cela une "chute de tension" car la tension "tombe" en traversant la résistance. C'est l'énergie que "consomme" la résistance pour laisser passer le courant (elle la dissipe en chaleur).

Formule(s)

Nous utilisons la Loi d'Ohm, sous sa forme \(V = R \times I\), appliquée à \(R_1\).

V_1 = R_1 \times I_{\text{total}}

Hypothèses

L'hypothèse clé ici est que \(R_1\) est en série, donc le courant qui la traverse (\(I_1\)) est égal au courant total (\(I_{\text{total}}\)).

Donnée(s)

On utilise la valeur de \(R_1\) de l'énoncé et le résultat (\(I_{\text{total}}\)) de la Question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	\(R_1\)	10	\(\Omega\)
Courant total (de Q3)	\(I_{\text{total}}\)	\(\approx 0.19355\)	A

Astuces

Ce calcul est la base du diviseur de tension. La tension \(V_1\) est une "part" de la tension totale \(V\). Cette part est proportionnelle à la valeur de \(R_1\) par rapport à la résistance totale \(R_{\text{éq}}\). On peut vérifier : \(V_1 = V \times \frac{R_1}{R_{\text{éq}}} = 12 \, \text{V} \times \frac{10 \, \Omega}{62 \, \Omega} \approx 1.935 \, \text{V}\). Les deux méthodes fonctionnent !

Schéma (Avant les calculs)

On revient au circuit simplifié de l'étape 1. On cherche \(V_1\), la tension aux bornes de \(R_1\).

Calcul de \(V_1\)

Calcul(s)

Étape 1 : Remplacer les symboles par les valeurs

On prend la Loi d'Ohm locale \(V_1 = R_1 \times I_{\text{total}}\). On utilise \(R_1 = 10 \, \Omega\) (de l'énoncé) et \(I_{\text{total}} \approx 0.19355 \, \text{A}\) (calculé à la Q3).

V_1 = R_1 \times I_{\text{total}} \] \[ V_1 = 10 \times 0.193548...

Étape 2 : Effectuer la multiplication

On multiplie la résistance par le courant pour obtenir la tension en Volts. (Utiliser la valeur non arrondie \(12/62\) est plus précis).

\begin{aligned} V_1 &= 10 \, \Omega \times \left(\frac{12}{62}\right) \, \text{A} \\ &= \frac{120}{62} \, \text{V} \\ &\approx 1.935 \, \text{V} \end{aligned}

Réflexions

Cela signifie que 1.935 V (sur les 12 V de la source) sont "consommés" par la résistance \(R_1\) pour faire passer le courant \(I_{\text{total}}\). Cette tension est perdue pour le reste du circuit.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre les tensions. \(V_1\) (1.94 V) n'est PAS la tension de la source (12 V). C'est seulement la chute de tension aux bornes de ce composant spécifique.

Le saviez-vous ?

La puissance dissipée par R1 (en chaleur) peut aussi être calculée : \(P_1 = V_1 \times I_{\text{total}} \approx 1.935 \, \text{V} \times 0.1935 \, \text{A} \approx 0.374 \, \text{W}\) (Watts). On peut aussi utiliser \(P_1 = R_1 \times I_{\text{total}}^2 = 10 \times (0.1935)^2 \approx 0.374 \, \text{W}\). Les résultats concordent.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La chute de tension \(V_1\) aux bornes de \(R_1\) est d'environ 1.94 V.

A vous de jouer

Avec les mêmes données, quelle serait la chute de tension \(V_4\) aux bornes de \(R_4\) (qui vaut 40 \(\Omega\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Loi d'Ohm locale (\(V_x = R_x \times I_x\)).
Application : Le courant dans un composant série est le courant total (\(I_1 = I_{\text{total}}\)).
Formule : \(V_1 = R_1 \times I_{\text{total}}\).

Question 5 : Calculer la chute de tension (\(V_{23}\)) aux bornes du bloc parallèle

Principe

Similaire à la Q4, nous cherchons la tension aux bornes du bloc \(R_{23}\). Ce bloc est en série avec \(R_1\) et \(R_4\), il est donc traversé par le même courant \(I_{\text{total}}\). Nous pouvons appliquer la Loi d'Ohm au bloc équivalent \(R_{23}\) en utilisant sa résistance (calculée à la Q1) et le courant total (calculé à la Q3).

Mini-Cours

Tension aux bornes d'un bloc : On peut traiter un groupe de composants (comme notre bloc parallèle \(R_{23}\)) comme un seul "super-composant". On lui applique la Loi d'Ohm en utilisant sa résistance équivalente (\(R_{23}\)) et le courant total qui y entre (\(I_{\text{total}}\)). Le résultat (\(V_{23}\)) est la tension aux bornes de l'ensemble du bloc.

Remarque Pédagogique

C'est une étape cruciale. Une fois \(V_{23}\) connu, comme \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle, on saura que la tension aux bornes de \(R_2\) est \(V_{23}\) et que la tension aux bornes de \(R_3\) est aussi \(V_{23}\). Cela nous permettra ensuite de trouver les courants "dérivés" \(I_2\) et \(I_3\).

Formule(s)

Nous utilisons la Loi d'Ohm, appliquée au bloc \(R_{23}\).

V_{23} = R_{23} \times I_{\text{total}}

Hypothèses

L'hypothèse est que le courant \(I_{\text{total}}\) traverse le bloc \(R_{23}\) (ce qui est vrai, car il est en série dans le circuit simplifié).

Donnée(s)

On utilise les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance du bloc (de Q1)	\(R_{23}\)	12	\(\Omega\)
Courant total (de Q3)	\(I_{\text{total}}\)	\(\approx 0.19355\)	A

Astuces

Nous pouvons (et devrions !) utiliser la Loi des Mailles pour vérifier tous nos calculs de tension. On calcule la dernière tension, \(V_4\), et on vérifie si la somme fait bien 12 V.

\(V_4 = R_4 \times I_{\text{total}} = 40 \, \Omega \times 0.19355 \, \text{A} \approx 7.742 \, \text{V}\)
Vérification : \(V_1 + V_{23} + V_4 \approx 1.935 \, \text{V} + 2.322 \, \text{V} + 7.742 \, \text{V} \approx 11.999 \, \text{V}\)

C'est égal à 12 V (aux erreurs d'arrondi près). Nos calculs sont corrects !

Schéma (Avant les calculs)

On cherche \(V_{23}\), la tension aux bornes du bloc \(R_{23}\) dans le circuit simplifié.

Calcul de \(V_{23}\)

Calcul(s)

Étape 1 : Remplacer les symboles par les valeurs

On prend la Loi d'Ohm locale \(V_{23} = R_{23} \times I_{\text{total}}\). On utilise \(R_{23} = 12 \, \Omega\) (calculé à la Q1) et \(I_{\text{total}} \approx 0.19355 \, \text{A}\) (calculé à la Q3).

V_{23} = R_{23} \times I_{\text{total}} \] \[ V_{23} = 12 \times 0.193548...

Étape 2 : Effectuer la multiplication

On multiplie la résistance équivalente du bloc par le courant total qui le traverse. (Utiliser la valeur non arrondie \(12/62\) est plus précis).

\begin{aligned} V_{23} &= 12 \, \Omega \times \left(\frac{12}{62}\right) \, \text{A} \\ &= \frac{144}{62} \, \text{V} \\ &\approx 2.322 \, \text{V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce résultat \(V_{23} \approx 2.32 \text{V}\) est la tension aux bornes du bloc, ce qui signifie qu'elle est la tension aux bornes de \(R_2\) ET de \(R_3\).

Tension \(V_{23}\) appliquée au bloc parallèle

Réflexions

Cette tension \(V_{23} \approx 2.32 \, \text{V}\) est la tension commune aux bornes de \(R_2\) ET \(R_3\). On peut maintenant calculer les courants dérivés (qui n'étaient pas demandés) pour vérifier la cohérence de tous nos calculs via la Loi des Nœuds.

Calcul du courant dérivé \(I_2\) (dans \(R_2\))

On applique la Loi d'Ohm localement à \(R_2\), en utilisant la tension commune \(V_{23}\) et la résistance \(R_2\). On utilise la valeur non arrondie de \(V_{23} = 144/62 \, \text{V}\).

\begin{aligned} I_2 &= \frac{V_{23}}{R_2} \\ &= \frac{(144/62) \, \text{V}}{20 \, \Omega} \\ &= \frac{144}{62 \times 20} \, \text{A} \\ &\approx 0.1161 \, \text{A} \end{aligned}

Calcul du courant dérivé \(I_3\) (dans \(R_3\))

De même pour \(R_3\), en utilisant la tension commune \(V_{23}\) et la résistance \(R_3\).

\begin{aligned} I_3 &= \frac{V_{23}}{R_3} \\ &= \frac{(144/62) \, \text{V}}{30 \, \Omega} \\ &= \frac{144}{62 \times 30} \, \text{A} \\ &\approx 0.0774 \, \text{A} \end{aligned}

Vérification (Loi des Nœuds)

La somme de ces deux courants dérivés (\(I_2 + I_3\)) doit être égale au courant total (\(I_{\text{total}}\)) qui est entré dans le bloc.

\begin{aligned} I_2 + I_3 &= 0.1161... + 0.0774... \\ &= 0.193548... \, \text{A} \end{aligned}

Comparons cela à \(I_{\text{total}}\) (calculé à la Q3) :

\begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{12}{62} \, \text{A} \\ &\approx 0.193548... \, \text{A} \end{aligned}

Puisque \(I_2 + I_3 = I_{\text{total}}\), nos calculs sont parfaitement cohérents. La Loi des Nœuds est respectée.

Points de vigilance

Ne jamais multiplier \(R_2\) par \(I_{\text{total}}\) ! C'est l'erreur la plus grave. Le courant \(I_{\text{total}}\) ne traverse pas \(R_2\), il se divise avant. Il faut d'abord trouver la tension aux bornes du bloc parallèle (\(V_{23}\)), puis l'appliquer à \(R_2\) pour trouver \(I_2\).

Le saviez-vous ?

Le principe du diviseur de courant est l'inverse du diviseur de tension. Le courant \(I_{\text{total}}\) se divise dans R2 et R3. La formule est : \(I_2 = I_{\text{total}} \times \frac{R_3}{R_2 + R_3}\) (notez l'inversion : on utilise R3 au numérateur pour trouver I2 !).
Vérifions : \(I_2 = 0.19355 \times \frac{30}{20 + 30} = 0.19355 \times (30/50) = 0.116 \, \text{A}\). Cela fonctionne parfaitement.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La chute de tension \(V_{23}\) aux bornes du bloc parallèle est d'environ 2.32 V.

A vous de jouer

Si \(R_{23}\) valait 10 \(\Omega\) et que le courant total était de 0.2 A, que vaudrait \(V_{23}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : La tension est la même aux bornes d'éléments en parallèle.
Calcul : On applique la Loi d'Ohm au bloc équivalent : \(V_{\text{bloc}} = R_{\text{éq\_bloc}} \times I_{\text{total\_bloc}}\).
Suite logique : Utiliser cette tension pour trouver les courants dérivés (\(I_x = V_{\text{bloc}} / R_x\)).

Outil Interactif : Simulateur de la Loi d'Ohm

Utilisez ce simulateur pour explorer la relation entre la tension, la résistance et le courant. Le graphique montre comment le courant (\(I\)) change en fonction de la tension (\(V\)) pour une résistance (\(R\)) donnée.

Paramètres d'Entrée

Tension (V) 12 V

Résistance (R) (en \(\Omega\)) 50 \(\Omega\)

Résultats Clés

Courant (I) - A

Puissance (P) - W

Glossaire

Résistance (\(\Omega\)): Composant ou propriété d'un matériau qui s'oppose au passage du courant électrique. L'unité est l'Ohm (\(\Omega\)).
Loi d'Ohm: Principe physique fondamental qui établit la relation \(V = R \times I\) entre la tension \(V\), la résistance \(R\), et le courant \(I\).
Circuit Série: Une association de composants électriques connectés bout à bout, ne formant qu'un seul chemin pour le courant.
Circuit Parallèle: Une association de composants électriques connectés aux mêmes deux points (nœuds), offrant plusieurs chemins pour le courant.
Résistance Équivalente (\(R_{\text{éq}}\)): La valeur d'une résistance unique qui pourrait remplacer un réseau de résistances tout en conservant le même courant total pour la même tension appliquée à l'ensemble.