Calcul du Facteur de Qualité Q d'un Circuit

Dans les circuits électroniques, le facteur de qualité \(Q\) d’un circuit résonnant, notamment un circuit RLC série, est une mesure importante qui évalue l’efficacité du circuit à résonner à une fréquence spécifique sans dissiper trop d’énergie. Le facteur \(Q\) est directement lié à la sélectivité et la bande passante du circuit, qui sont cruciales dans les applications telles que les filtres et les oscillateurs.

Pour comprendre le Calcul de la Fréquence Angulaire de Coupure, cliquez sur le lien.

Données

Résistance : \(R = 50 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 150 \, \mu\text{H} = 150 \times 10^{-6} \, \text{H}\)
Capacité : \(C = 47 \, \text{nF} = 47 \times 10^{-9} \, \text{F}\)

Schéma d'un circuit RLC série.

Questions

Calculez la fréquence de résonance \(f_0\) du circuit.
Déterminez le facteur de qualité \(Q\) du circuit en utilisant les valeurs données.
Discutez de l’impact d’une augmentation de la résistance \(R\) sur le facteur \(Q\).

Correction : Calcul du Facteur de Qualité Q d’un Circuit

1. Calcul de la Fréquence de Résonance (\(f_0\))

La fréquence de résonance (ou fréquence propre non amortie) \(f_0\) d'un circuit RLC série est la fréquence à laquelle les réactances inductive (\(X_L = L\omega_0\)) et capacitive (\(X_C = 1/(C\omega_0)\)) sont égales en magnitude, ce qui conduit à une impédance minimale (égale à \(R\)) pour le circuit série. Elle est donnée par la formule : \[ f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \] Il est important d'utiliser les unités de base du Système International (Henry pour L, Farad pour C) pour obtenir une fréquence en Hertz.

Données pour cette étape

Inductance : \(L = 150 \, \mu\text{H} = 150 \times 10^{-6} \, \text{H}\)
Capacité : \(C = 47 \, \text{nF} = 47 \times 10^{-9} \, \text{F}\)

Calcul

Calcul du produit LC :

\begin{aligned} LC &= (150 \times 10^{-6} \, \text{H}) \times (47 \times 10^{-9} \, \text{F}) \\ LC &= (150 \times 47) \times 10^{-15} \, \text{s}^2 \\ LC &= 7050 \times 10^{-15} \, \text{s}^2 \\ LC &= 7.05 \times 10^{-12} \, \text{s}^2 \end{aligned}

Calcul de \(\sqrt{LC}\) :

\sqrt{LC} = \sqrt{7.05 \times 10^{-12} \, \text{s}^2} \] \[ \sqrt{LC} \approx 2.655 \times 10^{-6} \, \text{s}

Calcul de la fréquence de résonance \(f_0\) :

\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \\ f_0 &\approx \frac{1}{2 \pi \times (2.655 \times 10^{-6} \, \text{s})} \\ f_0 &\approx \frac{1}{16.6818 \times 10^{-6}} \, \text{Hz} \\ f_0 &\approx 0.059945 \times 10^{6} \, \text{Hz} \\ f_0 &\approx 59945 \, \text{Hz} \end{aligned}

Convertissons en kilohertz (kHz) : \(1 \, \text{kHz} = 1000 \, \text{Hz}\).

f_0 \approx \frac{59945}{1000} \, \text{kHz} \] \[ f_0 \approx 59.95 \, \text{kHz}

Résultat

La fréquence de résonance du circuit RLC est \(f_0 \approx 59.95 \, \text{kHz}\) (environ 60 kHz).

2. Détermination du Facteur de Qualité (\(Q\))

Le facteur de qualité \(Q\) d'un circuit RLC série est une mesure de la "qualité" de la résonance. Il peut être défini de plusieurs manières équivalentes à la résonance : \[ Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{RC\omega_0} \] où \(\omega_0 = 2 \pi f_0\) est la pulsation de résonance. Nous utiliserons la première formule qui est directe avec les valeurs données.

Données pour cette étape

Résistance : \(R = 50 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 150 \times 10^{-6} \, \text{H}\)
Capacité : \(C = 47 \times 10^{-9} \, \text{F}\)

Calcul

Calcul de \(\sqrt{\frac{L}{C}}\) :

\begin{aligned} \frac{L}{C} &= \frac{150 \times 10^{-6} \, \text{H}}{47 \times 10^{-9} \, \text{F}} \\ \frac{L}{C} &\approx 3191.49 \, \Omega^2 \\ \sqrt{\frac{L}{C}} &\approx \sqrt{3191.49} \, \Omega \approx 56.49 \, \Omega \end{aligned}

Calcul du facteur de qualité \(Q\) :

\begin{aligned} Q &= \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \\ Q &\approx \frac{1}{50 \, \Omega} \times 56.49 \, \Omega \\ Q &\approx 1.1298 \end{aligned}

Résultat

Le facteur de qualité du circuit RLC est \(Q \approx 1.13\).

Un facteur Q supérieur à 0.5 indique un circuit sous-amorti qui peut résonner. Un Q de 1.13 indique une résonance modérément sélective.

3. Impact d'une Augmentation de la Résistance (\(R\)) sur le Facteur \(Q\)

La formule du facteur de qualité \(Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\) montre clairement la relation entre \(Q\) et \(R\).

Analyse

Si la résistance \(R\) augmente, et que \(L\) et \(C\) restent constants, le terme \(\frac{1}{R}\) diminue. Par conséquent, le facteur de qualité \(Q\) diminue.

Diminution de la Sélectivité : Un facteur \(Q\) plus faible signifie que le circuit est moins sélectif. La résonance est moins "pointue", et le filtre laissera passer une bande de fréquences plus large autour de la fréquence de résonance. La bande passante (\(BW = f_0/Q\)) augmente lorsque \(Q\) diminue.
Augmentation de l'Amortissement : Une résistance plus élevée dissipe plus d'énergie par cycle d'oscillation. Le circuit devient plus amorti. Si \(R\) devient suffisamment grande, le circuit peut devenir critiquement amorti (\(Q=0.5\)) ou sur-amorti (\(Q<0.5\)), et il ne présentera plus de pic de résonance clair dans sa réponse en fréquence.
Réponse Transitoire : Dans le domaine temporel, un \(Q\) plus faible (dû à un \(R\) plus élevé) signifie que les oscillations transitoires s'amortissent plus rapidement.

Conclusion

Une augmentation de la résistance \(R\) dans un circuit RLC série entraîne une diminution du facteur de qualité \(Q\). Cela rend le circuit moins sélectif (bande passante plus large) et plus amorti.