Exercices Électricité

Calcul du Potentiel Électrique au Point P

Calcul du Potentiel Électrique au Point P

Calcul du Potentiel Électrique au Point P

Comprendre le Calcul du Potentiel Électrique au point P

Le potentiel électrique \(V\) en un point de l'espace est une grandeur scalaire qui caractérise l'énergie potentielle électrique par unité de charge qu'aurait une charge d'essai placée en ce point. Pour une charge ponctuelle \(q\), le potentiel qu'elle crée à une distance \(r\) est donné par \(V = k_e q/r\), où \(k_e\) est la constante de Coulomb. Lorsque plusieurs charges sont présentes, le potentiel électrique total en un point est la somme algébrique (scalaire) des potentiels créés individuellement par chaque charge. C'est une application directe du principe de superposition, plus simple à manier que pour le champ électrique vectoriel. Cet exercice illustre ce calcul.

Données de l'étude

On considère deux charges ponctuelles placées dans le vide :

  • Une charge \(q_A = +3,0 \, \text{nC}\) située au point A \((-2,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).
  • Une charge \(q_B = -2,0 \, \text{nC}\) située au point B \((+2,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).

On souhaite calculer le potentiel électrique total créé par ces deux charges au point P de coordonnées \((0 \, \text{cm}; 3,0 \, \text{cm})\).

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Système de Charges et Point P
{/* Axes */} {/* Axe X */} x (cm) {/* Axe Y au centre */} y (cm) O {/* Charge qA à A (-2,0) -> (125-2*20, 150) = (85,150) en SVG (échelle: 1cm = 20px) */} q_A A(-2,0) {/* Charge qB à B (2,0) -> (125+2*20, 150) = (165,150) en SVG */} q_B B(2,0) {/* Point P (0,3) -> (125, 150-3*20) = (125,90) en SVG */} P(0,3) {/* Distance r_AP de qA à P */} r_A {/* Approx angle */} {/* Distance r_BP de qB à P */} r_B {/* Approx angle */} Système de charges et point d'évaluation P

Configuration des charges \(q_A\), \(q_B\) et du point P.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance \(r_A\) entre la charge \(q_A\) et le point P.
  2. Calculer le potentiel électrique \(V_A\) créé par la charge \(q_A\) au point P.
  3. Calculer la distance \(r_B\) entre la charge \(q_B\) et le point P.
  4. Calculer le potentiel électrique \(V_B\) créé par la charge \(q_B\) au point P.
  5. En utilisant le principe de superposition, déterminer le potentiel électrique total \(V_P\) au point P.
  6. Quel travail \(W_{\text{ext}}\) un opérateur extérieur doit-il fournir pour amener une charge test \(q_C = +1,0 \, \text{nC}\) de l'infini (où le potentiel est nul) jusqu'au point P, sans variation d'énergie cinétique ?

Correction : Calcul du Potentiel Électrique au Point P

Question 1 : Distance \(r_A\) entre \(q_A\) et P

Principe :

La distance entre deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) dans un plan est donnée par \(r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Données spécifiques :
  • Position de \(q_A\) (Point A) : \((-2,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
  • Position de P : \((0 \, \text{cm}; 3,0 \, \text{cm})\)
Calcul :

Coordonnées en mètres : \(A(-0,02 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\), P\((0 \, \text{m}; 0,03 \, \text{m})\).

\[ \begin{aligned} r_A &= \sqrt{(x_P - x_A)^2 + (y_P - y_A)^2} \\ &= \sqrt{(0 \, \text{m} - (-0,02 \, \text{m}))^2 + (0,03 \, \text{m} - 0 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{(0,02 \, \text{m})^2 + (0,03 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0004 \, \text{m}^2 + 0,0009 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0013 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0,0360555 \, \text{m} \end{aligned} \]

On peut garder \(r_A = \sqrt{13} \times 10^{-2} \, \text{m}\) pour plus de précision dans les calculs intermédiaires.

Résultat Question 1 : La distance \(r_A \approx 0,0361 \, \text{m}\) (ou \(\sqrt{0,0013} \, \text{m}\)).

Question 2 : Potentiel électrique \(V_A\) créé par \(q_A\) au point P

Principe :

Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e \frac{q}{r}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_A = k_e \frac{q_A}{r_A}\]
Données spécifiques :
  • \(q_A = +3,0 \, \text{nC} = +3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r_A = \sqrt{0,0013} \, \text{m} \approx 0,0360555 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_A &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{\sqrt{0,0013} \, \text{m}} \\ &= \frac{27 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C}}{\sqrt{0,0013}} \\ &\approx \frac{27}{0,0360555} \, \text{V} \\ &\approx 748,86 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(V_A \approx 748,86 \, \text{V}\).

Question 3 : Distance \(r_B\) entre \(q_B\) et P

Principe :

Similaire à la question 1.

Données spécifiques :
  • Position de \(q_B\) (Point B) : \((+2,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
  • Position de P : \((0 \, \text{cm}; 3,0 \, \text{cm})\)
Calcul :

Coordonnées en mètres : \(B(0,02 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\), P\((0 \, \text{m}; 0,03 \, \text{m})\).

\[ \begin{aligned} r_B &= \sqrt{(x_P - x_B)^2 + (y_P - y_B)^2} \\ &= \sqrt{(0 \, \text{m} - 0,02 \, \text{m})^2 + (0,03 \, \text{m} - 0 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{(-0,02 \, \text{m})^2 + (0,03 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0004 \, \text{m}^2 + 0,0009 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0013 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0,0360555 \, \text{m} \end{aligned} \]

On constate que \(r_B = r_A\) en raison de la symétrie du point P par rapport à l'axe y et des positions de A et B.

Résultat Question 3 : La distance \(r_B \approx 0,0361 \, \text{m}\) (ou \(\sqrt{0,0013} \, \text{m}\)).

Question 4 : Potentiel électrique \(V_B\) créé par \(q_B\) au point P

Principe :

Identique à la question 2, mais pour la charge \(q_B\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_B = k_e \frac{q_B}{r_B}\]
Données spécifiques :
  • \(q_B = -2,0 \, \text{nC} = -2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r_B = \sqrt{0,0013} \, \text{m} \approx 0,0360555 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_B &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{-2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{\sqrt{0,0013} \, \text{m}} \\ &= \frac{-18 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C}}{\sqrt{0,0013}} \\ &\approx \frac{-18}{0,0360555} \, \text{V} \\ &\approx -499,24 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(V_B \approx -499,24 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire : Si deux charges de signes opposés mais de même magnitude sont à la même distance d'un point P, le potentiel total en P dû à ces deux charges :

Question 5 : Potentiel électrique total \(V_P\) au point P

Principe :

Le principe de superposition stipule que le potentiel électrique total en un point dû à un ensemble de charges est la somme algébrique (scalaire) des potentiels créés par chaque charge individuelle en ce point.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_P = V_A + V_B\]
Données spécifiques :
  • \(V_A \approx 748,86 \, \text{V}\)
  • \(V_B \approx -499,24 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_P &= 748,86 \, \text{V} + (-499,24 \, \text{V}) \\ &= 748,86 \, \text{V} - 499,24 \, \text{V} \\ &= 249,62 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(V_P \approx 249,62 \, \text{V}\).

Question 6 : Travail \(W_{\text{ext}}\) pour amener \(q_C\) de l'infini à P

Principe :

Le travail \(W_{\text{ext}}\) qu'un opérateur extérieur doit fournir pour amener une charge \(q_C\) de l'infini (où le potentiel \(V_\infty = 0\)) à un point P (où le potentiel est \(V_P\)) sans variation d'énergie cinétique est égal à la variation de l'énergie potentielle électrique de la charge \(q_C\), soit \(W_{\text{ext}} = q_C (V_P - V_\infty) = q_C V_P\). Ce travail est l'opposé du travail effectué par le champ électrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{\text{ext}} = q_C V_P \]
Données spécifiques :
  • \(q_C = +1,0 \, \text{nC} = +1,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(V_P \approx 249,62 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{ext}} &= (1,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (249,62 \, \text{V}) \\ &= 249,62 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= 249,62 \, \text{nJ} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le travail fourni par un opérateur extérieur est \(W_{\text{ext}} \approx 249,62 \, \text{nJ}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Si le potentiel électrique en un point P est positif, cela signifie que :

2. Laquelle de ces affirmations concernant le potentiel électrique est FAUSSE ?

3. Si le travail effectué par le champ électrique pour déplacer une charge \(q > 0\) d'un point A à un point B est positif, alors :

Glossaire

Potentiel Électrique (\(V\))
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. Il est défini à une constante près ; on choisit souvent le potentiel nul à l'infini pour les distributions de charges localisées. Unité : Volt (V).
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point par rapport aux distances impliquées.
Loi de Coulomb (pour le potentiel)
Le potentiel électrique \(V\) créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e q/r\), où \(k_e\) est la constante de Coulomb.
Principe de Superposition (pour le potentiel)
Pour un système de plusieurs charges, le potentiel électrique total en un point est la somme algébrique (scalaire) des potentiels créés individuellement par chaque charge en ce point.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, valant environ \(9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\). Elle est reliée à la permittivité du vide \(\varepsilon_0\) par \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0)\).
Énergie Potentielle Électrique (\(U_e\))
Énergie stockée dans un système de charges en raison de leurs positions relatives. Pour une charge \(q\) placée en un point où le potentiel est \(V\), son énergie potentielle est \(U_e = qV\). L'énergie potentielle d'un système de charges est le travail nécessaire pour assembler ces charges depuis l'infini.
Travail du Champ Électrique
Lorsqu'une charge \(q\) se déplace d'un point A à un point B dans un champ électrique, le travail effectué par le champ électrique sur la charge est \(W_{AB} = -q(V_B - V_A) = q(V_A - V_B)\).
Volt (V)
Unité SI du potentiel électrique, de la différence de potentiel (tension) et de la force électromotrice. \(1 \, \text{V} = 1 \, \text{J/C}\).
Calcul du Potentiel Électrique au point P

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