Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes

Un circuit RLC série est soumis à une tension d’entrée sinusoïdale. Le circuit est composé d’une résistance \(R\), d’une bobine d’inductance \(L\) et d’un condensateur \(C\). L’objectif est de calculer le rapport des amplitudes complexes entre la tension aux bornes du condensateur (\(V_C\)) et la tension d’entrée (\(V_0\)).

Données Fournies

Résistance : \(R = 200 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 0.5 \, \text{H}\)
Capacité : \(C = 10 \, \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Fréquence du signal d’entrée : \(f = 1000 \, \text{Hz}\)
Amplitude de la tension d’entrée : \(V_0 = 10 \, \text{V}\) (Note: L'amplitude \(V_0\) n'est pas nécessaire pour calculer le rapport \(\frac{V_C}{V_0}\), mais elle est donnée pour contexte).

Schéma du circuit RLC série.

Question

Calculez le rapport des amplitudes complexes \(\frac{V_C}{V_0}\), exprimé sous forme algébrique et polaire, et interprétez le résultat.

Correction : Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes

1. Calcul des Impédances Complexes

Pour analyser le circuit en régime sinusoïdal permanent, nous utilisons les impédances complexes des composants. L'impédance d'une résistance est \(Z_R = R\), celle d'une bobine est \(Z_L = jL\omega\), et celle d'un condensateur est \(Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega}\), où \(j\) est l'unité imaginaire (\(j^2 = -1\)) et \(\omega\) est la pulsation (fréquence angulaire) du signal, donnée par \(\omega = 2 \pi f\).

Données pour cette étape

\(R = 200 \, \Omega\)
\(L = 0.5 \, \text{H}\)
\(C = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
\(f = 1000 \, \text{Hz}\)

Calculs

Calcul de la pulsation \(\omega\) :

\omega = 2 \pi f = 2 \pi (1000 \, \text{Hz}) \] \[ \omega = 2000 \pi \, \text{rad/s} \] \[ \omega \approx 6283 \, \text{rad/s}

Calcul de l'impédance de la résistance \(Z_R\) :

Z_R = R = 200 \, \Omega

Calcul de l'impédance de la bobine \(Z_L\) :

Z_L = jL\omega \] \[ Z_L = j (0.5 \, \text{H}) (2000 \pi \, \text{rad/s}) \] \[ Z_L = j 1000 \pi \, \Omega \] \[ Z_L \approx j 3141.6 \, \Omega

Calcul de l'impédance du condensateur \(Z_C\) :

Z_C = \frac{1}{jC\omega} ;;\] \[ Z_C = \frac{1}{j (10 \times 10^{-6} \, \text{F}) (2000 \pi \, \text{rad/s})} \] \[ Z_C = \frac{1}{j (20 \pi \times 10^{-3})} \] \[ Z_C = \frac{1}{j 0.02 \pi} \] \[ Z_C = -\frac{j}{0.02 \pi} \, \Omega \] \[ Z_C \approx -j 15.915 \, \Omega

Résultats (Impédances)

\(Z_R = 200 \, \Omega\)
\(Z_L \approx j 3141.6 \, \Omega\)
\(Z_C \approx -j 15.9 \, \Omega\)

2. Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes \(\frac{V_C}{V_0}\)

Dans un circuit série, la tension aux bornes d'un composant peut être trouvée en utilisant la règle du diviseur de tension avec les impédances complexes. La tension aux bornes du condensateur (\(V_C\)) est donnée par : \[ V_C = V_0 \times \frac{Z_C}{Z_{tot}} \] où \(Z_{tot}\) est l'impédance totale du circuit série : \(Z_{tot} = Z_R + Z_L + Z_C\). Le rapport des amplitudes complexes est donc : \[ \frac{V_C}{V_0} = \frac{Z_C}{Z_{tot}} = \frac{Z_C}{R + Z_L + Z_C} \]

Données pour cette étape

\(Z_R = 200 \, \Omega\)
\(Z_L \approx j 3141.6 \, \Omega\)
\(Z_C \approx -j 15.9 \, \Omega\)

Calculs

Calcul de l'impédance totale \(Z_{tot}\) :

\begin{aligned} Z_{tot} &= R + Z_L + Z_C \\ Z_{tot} &\approx 200 + j 3141.6 - j 15.9 \\ Z_{tot} &\approx 200 + j 3125.7 \, \Omega \end{aligned}

Calcul du rapport \(\frac{V_C}{V_0}\) (forme algébrique) :

\begin{aligned} \frac{V_C}{V_0} &= \frac{Z_C}{Z_{tot}} \\ \frac{V_C}{V_0} &\approx \frac{-j 15.9}{200 + j 3125.7} \end{aligned}

Pour simplifier, multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (\(200 - j 3125.7\)) :

\begin{aligned} \frac{V_C}{V_0} &\approx \frac{-j 15.9 \times (200 - j 3125.7)}{(200 + j 3125.7) \times (200 - j 3125.7)} \\ &= \frac{-j (15.9 \times 200) - (j^2) (15.9 \times 3125.7)}{200^2 + 3125.7^2} \\ &= \frac{-j 3180 - (-1) (49698.6)}{40000 + 9770000} \\ &= \frac{49698.6 - j 3180}{9810000} \\ &= \frac{49698.6}{9810000} - j \frac{3180}{9810000} \\ &\approx 0.005066 - j 0.000324 \end{aligned}

Calcul de la forme polaire (Magnitude et Phase) :

Magnitude : \( |\frac{V_C}{V_0}| = \sqrt{(\text{Partie Réelle})^2 + (\text{Partie Imaginaire})^2} \)

|\frac{V_C}{V_0}| \approx \sqrt{(0.005066)^2 + (-0.000324)^2} \] \[ |\frac{V_C}{V_0}| \approx \sqrt{2.566 \times 10^{-5} + 0.105 \times 10^{-6}} \] \[ |\frac{V_C}{V_0}| \approx \sqrt{2.577 \times 10^{-5}} \] \[ |\frac{V_C}{V_0}| \approx 0.005076

Phase : \( \phi = \arctan\left(\frac{\text{Partie Imaginaire}}{\text{Partie Réelle}}\right) \)

\phi \approx \arctan\left(\frac{-0.000324}{0.005066}\right) \] \[ \phi \approx \arctan(-0.06395) \] \[ \phi \approx -3.66^{\circ}

Alternativement, en utilisant les formes polaires des impédances : \(Z_C \approx 15.9 \angle -90^{\circ}\) et \(Z_{tot} \approx \sqrt{200^2 + 3125.7^2} \angle \arctan(3125.7/200) \approx 3132 \angle 86.34^{\circ}\).

\[ \frac{V_C}{V_0} = \frac{Z_C}{Z_{tot}} \] \[ \frac{V_C}{V_0} \approx \frac{15.9 \angle -90^{\circ}}{3132 \angle 86.34^{\circ}} \] \[ \frac{V_C}{V_0} = \frac{15.9}{3132} \angle (-90^{\circ} - 86.34^{\circ}) \] \[ \frac{V_C}{V_0} \approx 0.00508 \angle -176.34^{\circ} \] Note : Les légères différences sont dues aux arrondis. L'angle \(-176.34^{\circ}\) est équivalent à \(-3.66^{\circ}\) si on considère le signe des parties réelle et imaginaire (\(+,- \rightarrow\) quadrant IV, mais très proche de l'axe réel négatif).

Résultats

Le rapport des amplitudes complexes \(\frac{V_C}{V_0}\) est :

Forme algébrique : \(\approx 0.0051 - j 0.0003\)
Forme polaire : \(\approx 0.0051 \angle -3.7^{\circ}\) (ou \(\approx 0.0051 \angle -176.3^{\circ}\))

Interprétation

Le résultat indique que, à la fréquence de 1000 Hz :

Gain (Magnitude) : L'amplitude de la tension aux bornes du condensateur (\(|V_C|\)) est très faible par rapport à l'amplitude de la tension d'entrée (\(|V_0|\)). Le gain est d'environ 0.0051 (soit -45.9 dB). Cela est attendu car à 1000 Hz, l'impédance de la bobine (\(Z_L\)) est très grande comparée à celle de la résistance et surtout du condensateur, dominant l'impédance totale. Le circuit est fortement inductif à cette fréquence.
Déphasage (Phase) : La tension aux bornes du condensateur (\(V_C\)) est déphasée par rapport à la tension d'entrée (\(V_0\)). L'angle d'environ \(-176.3^{\circ}\) (ou \(-3.7^{\circ}\), selon la méthode d'arrondi et d'interprétation de l'arctan) indique ce déphasage. Un angle proche de \(-180^{\circ}\) ou \(0^{\circ}\) est cohérent avec un circuit où l'impédance est dominée par un élément (ici, la bobine), mais la tension est mesurée aux bornes du condensateur. Le déphasage exact dépend des valeurs relatives de R, L\(\omega\), et 1/(C\(\omega\)).