Calcul du vecteur de Poynting

1. Définition des vecteurs \( \vec{E} \) et \( \vec{B} \)

Données initiales

Champ électrique : \[ \vec{E}(t,z)=E_0\cos(\omega t-kz)\,\hat{x}, \] avec :

• \( E_0=50\,\mathrm{V/m} \)
• \( \omega=2\pi\times 10^6\,\mathrm{rad/s} \)
• \(k=\frac{\omega}{c}. \)

Champ magnétique : \[ \vec{B}(t,z)=B_0\cos(\omega t-kz)\,\hat{y}, \] avec : \[ B_0=\frac{E_0}{c} \quad\text{et}\quad c\approx3\times 10^8\,\mathrm{m/s}. \]

Substitution des valeurs

Pour le champ électrique, la forme reste \[ \vec{E}(t,z)=50\cos(\omega t-kz)\,\hat{x}\,. \]

Pour le champ magnétique, on calcule \( B_0 \) : \[ B_0=\frac{50}{3\times10^8} \] \[ \vec{B} \approx 1,67\times10^{-7}\,\mathrm{T}. \] Ainsi, \[ \vec{B}(t,z)=1,67\times10^{-7}\cos(\omega t-kz)\,\hat{y}\,. \]

2. Calcul du vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting est défini par : \[ \vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}\times\vec{B}\,. \]

Calcul du produit vectoriel \( \vec{E}\times\vec{B} \)

Les vecteurs sont donnés par :

• \( \vec{E}=50\cos(\omega t-kz)\,\hat{x} \)
• \( \vec{B}=1,67\times10^{-7}\cos(\omega t-kz)\,\hat{y} \)

Le produit vectoriel se calcule par : \[ \vec{E}\times\vec{B}=50\cos(\omega t-kz)\,\hat{x}\times 1,67\times10^{-7}\cos(\omega t-kz)\,\hat{y}\,. \] Utilisons la propriété \( \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z} \). On a donc : \[ \vec{E}\times\vec{B}=50\times1,67\times10^{-7}\cos^2(\omega t-kz)\,\hat{z}\,. \]

Calculons le produit numérique : \[ 50\times 1,67\times10^{-7}=8,35\times10^{-6}\,. \] Ainsi, \[ \vec{E}\times\vec{B}=8,35\times10^{-6}\cos^2(\omega t-kz)\,\hat{z}\,. \]

Incorporation de \( \frac{1}{\mu_0} \)

On a \( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m} \). Calculons : \[ \frac{1}{\mu_0}=\frac{1}{4\pi\times10^{-7}} \] \[ \approx\frac{1}{1,2566\times10^{-6}} \] \[ \approx7,96\times10^5\,\mathrm{N/A^2}\,. \]

En substituant : \[ \vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}\times\vec{B} \] \[ \vec{S} =7,96\times10^5\times 8,35\times10^{-6}\cos^2(\omega t-kz)\,\hat{z}\,. \]

Calculons le produit : \[ 7,96\times10^5\times8,35\times10^{-6}\approx6,65\,. \] On obtient ainsi : \[ \vec{S}\approx 6,65\,\cos^2(\omega t-kz)\,\hat{z}\,. \]

L’unité de \( \vec{S} \) est le watt par mètre carré (\(\mathrm{W/m^2}\)). Remarque : La valeur instantanée varie avec le facteur \(\cos^2(\omega t-kz)\), qui oscillera entre 0 et 1.

3. Analyse de la direction et de la magnitude du vecteur de Poynting

Direction

Direction de propagation : Le produit vectoriel \( \vec{E}\times\vec{B} \) donne une orientation selon \( \hat{z} \) (puisque \( \hat{x}\times \hat{y}=\hat{z} \)). Cela signifie que le flux d’énergie (représenté par le vecteur de Poynting) se propage dans la direction \( z \).

Magnitude

Expression de la magnitude : L’expression trouvée est : \[ S=6,65\,\cos^2(\omega t-kz)\quad \mathrm{(en\ W/m^2)}\,. \]

Variation temporelle et spatiale : La fonction \(\cos^2(\omega t-kz)\) implique que la densité du flux d’énergie oscille périodiquement en fonction du temps et de la position le long de \( z \). La valeur maximale de \( S \) est obtenue lorsque \(\cos^2(\omega t-kz)=1\) (c’est-à-dire \(S_{\max}\approx6,65\,\mathrm{W/m^2}\)).

Valeur moyenne : Sur une période complète, la valeur moyenne de \(\cos^2(\theta)\) est \( \frac{1}{2} \). Ainsi, la valeur moyenne du vecteur de Poynting sera : \[ \langle S \rangle\approx 6,65\times\frac{1}{2} \] \[ \langle S \rangle \approx 3,33\,\mathrm{W/m^2}\,. \]

4. Implication physique du résultat

• Flux d’énergie électromagnétique :

  Le vecteur de Poynting représente l’intensité et la direction du flux d’énergie transporté par le champ électromagnétique. Dans notre cas, le résultat indique que l’énergie se propage dans la direction \( z \).

• Caractéristique ondulatoire :

  La présence du terme \(\cos^2(\omega t-kz)\) met en évidence l’oscillation typique d’une onde électromagnétique. La valeur instantanée du flux peut varier entre 0 et \(6,65\,\mathrm{W/m^2}\), et sa moyenne sur une période d’oscillation est environ \(3,33\,\mathrm{W/m^2}\).

• Application en ingénierie et physique :

  Cette analyse est fondamentale pour la conception et l’évaluation de systèmes de télécommunications et d’équipements radiants, car elle permet d’estimer la puissance transmise par une onde électromagnétique dans l’espace libre.

• Observation sur les orientations :

  Le fait que les champs \( \vec{E} \) et \( \vec{B} \) soient perpendiculaires et que leur produit vectoriel se dirige selon \( z \) confirme le comportement des ondes électromagnétiques, où les champs oscillent perpendiculairement à la direction de propagation.