Exercices Électricité

Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique

Calcul de la Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

Comprendre le Rôle des Condensateurs et des Diélectriques

Le condensateur est un composant électronique fondamental, capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique. Sa capacité à accumuler des charges électriques, appelée capacité (mesurée en Farads), dépend de sa géométrie (surface et distance entre ses armatures) et du matériau isolant placé entre elles, appelé diélectrique. L'introduction d'un diélectrique modifie les propriétés électriques du condensateur de manière significative. Cet exercice vise à quantifier cet impact en comparant un condensateur plan fonctionnant avec de l'air, puis avec un matériau diélectrique spécifique.

Remarque Pédagogique : L'utilisation de diélectriques est une stratégie essentielle en conception électronique. Non seulement ils permettent d'augmenter la capacité d'un condensateur pour une taille donnée (favorisant la miniaturisation), mais ils augmentent aussi la tension maximale que le composant peut supporter avant de "claquer". Cet exercice se concentre sur le premier aspect : l'augmentation de la capacité.

Données de l'étude

On étudie un condensateur plan dont les armatures carrées sont de côté \(L = 10 \, \text{cm}\) et séparées par une distance \(d = 1 \, \text{mm}\). Ce condensateur est soumis à une tension de \(V = 12 \, \text{V}\).

Caractéristiques et constantes :

  • On insère entre les armatures une plaque de téflon qui remplit tout l'espace.
  • Permittivité relative du téflon (\(\epsilon_r\)) : \(2.1\)
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Schémas du Condensateur
Condensateur avec air d Air (ε₀) Armature (A)

Cas 1 : Diélectrique Air

Condensateur avec diélectrique d Téflon (εr)

Cas 2 : Diélectrique Téflon

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire \(A\) des armatures en \(m^2\).
  2. Calculer la capacité \(C_0\) du condensateur lorsque le diélectrique est de l'air (\(\epsilon_r \approx 1\)).
  3. Calculer la nouvelle capacité \(C\) du condensateur après l'insertion de la plaque de téflon.
  4. Calculer l'énergie stockée (\(E_0\) et \(E\)) dans les deux cas pour la tension donnée, et commenter le résultat.

Correction : Calcul de la Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

Question 1 : Calcul de l'aire des armatures (\(A\))

Principe :

L'aire d'une surface carrée est le carré de la longueur de son côté. Les unités doivent être converties en mètres pour être cohérentes avec le Système International (SI).

Remarque Pédagogique : Cette première étape est fondamentale. Une erreur sur l'unité (oublier de convertir les cm² en m²) entraînerait une erreur de facteur 10 000 sur le résultat final. La rigueur sur les unités est cruciale en physique.

Calcul :
\[ \begin{aligned} L &= 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} \\ A &= L^2 = (0.1 \, \text{m})^2 \\ &= 0.01 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Question 2 : Capacité avec l'Air (\(C_0\))

Principe :

La capacité d'un condensateur plan dans le vide (ou l'air, dont la permittivité relative est très proche de 1) est directement proportionnelle à l'aire de ses armatures et inversement proportionnelle à la distance qui les sépare.

Remarque Pédagogique : Le résultat est en picofarads (pF), une unité très courante pour les condensateurs utilisés en électronique. Cela illustre que le Farad est une unité très grande, rarement rencontrée en pratique. Cette valeur \(C_0\) sert de référence pour évaluer l'apport du diélectrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_0 = \epsilon_0 \frac{A}{d} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_0 &= (8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}) \times \frac{0.01 \, \text{m}^2}{0.001 \, \text{m}} \\ &= 8.854 \times 10^{-11} \, \text{F} \\ &= 88.54 \times 10^{-12} \, \text{F} \\ &= 88.54 \, \text{pF} \end{aligned} \]
Résultat : La capacité initiale du condensateur avec l'air est \(C_0 \approx 88.54 \, \text{pF}\).

Quiz Intermédiaire 1

Si l'on double la surface des armatures (\(A\)) et que l'on double la distance (\(d\)) qui les sépare, la capacité du condensateur à air :

Question 3 : Capacité avec le Diélectrique (\(C\))

Principe :

L'insertion d'un matériau diélectrique de permittivité relative \(\epsilon_r\) entre les armatures multiplie la capacité initiale (dans le vide) par ce facteur \(\epsilon_r\).

Remarque Pédagogique : C'est le concept central de cette leçon. Le facteur \(\epsilon_r\) montre directement l'efficacité d'un matériau pour augmenter la capacité. C'est ainsi que les fabricants peuvent offrir des condensateurs de valeurs très différentes tout en gardant des dimensions similaires, simplement en changeant le matériau diélectrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \epsilon_r \epsilon_0 \frac{A}{d} = \epsilon_r C_0 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} C &= 2.1 \times C_0 \\ &= 2.1 \times 88.54 \, \text{pF} \\ &\approx 185.93 \, \text{pF} \end{aligned} \]
Résultat : La capacité avec le téflon est \(C \approx 185.93 \, \text{pF}\).

Question 4 : Énergie Stockée (\(E_0\) et \(E\))

Principe :

L'énergie stockée dans un condensateur est proportionnelle à sa capacité et au carré de la tension à ses bornes. En augmentant la capacité tout en maintenant la tension constante, on augmente la quantité d'énergie que le condensateur peut stocker.

Remarque Pédagogique : La capacité de stocker plus d'énergie est cruciale. Un condensateur de plus grande capacité peut libérer une plus grande quantité d'énergie en un temps très court, ce qui est le principe de base d'un flash d'appareil photo ou d'un défibrillateur cardiaque. Le diélectrique est donc un multiplicateur d'énergie stockée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E = \frac{1}{2} C V^2 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_0 (\text{air}) &= \frac{1}{2} C_0 V^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (88.54 \times 10^{-12} \, \text{F}) \times (12 \, \text{V})^2 \\ &\approx 6.37 \times 10^{-9} \, \text{J} = 6.37 \, \text{nJ} \\ \\ E (\text{téflon}) &= \frac{1}{2} C V^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (185.93 \times 10^{-12} \, \text{F}) \times (12 \, \text{V})^2 \\ &\approx 13.39 \times 10^{-9} \, \text{J} = 13.39 \, \text{nJ} \end{aligned} \]
Commentaire :

L'insertion du diélectrique a multiplié la capacité par 2.1. Comme l'énergie est directement proportionnelle à la capacité (à tension constante), l'énergie stockée a également été multipliée par 2.1 (\(13.39 / 6.37 \approx 2.1\)). Le diélectrique a permis au condensateur de stocker plus d'énergie pour la même tension appliquée.

Simulation Interactive de la Capacité

Utilisez les contrôles ci-dessous pour explorer comment la géométrie du condensateur et le choix du diélectrique influencent sa capacité et l'énergie qu'il peut stocker.

Paramètres de Simulation
Résultats Calculés
Capacité (C)
Charge (Q)
Énergie (E)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Champ de Claquage

Chaque diélectrique possède une "rigidité diélectrique", qui est le champ électrique maximal qu'il peut supporter avant de devenir conducteur (provoquant un court-circuit). L'air a une rigidité d'environ 3 MV/m. Le téflon, lui, a une rigidité de 60 MV/m. Le diélectrique permet donc non seulement d'augmenter la capacité, mais aussi la tension de service maximale du condensateur.

Condensateur Partiellement Rempli

Si le diélectrique ne remplit que la moitié de l'espace entre les armatures, le calcul se complique. On doit alors modéliser le système comme deux condensateurs en série : un avec le diélectrique sur la moitié de la distance, et un avec l'air sur l'autre moitié. La capacité totale sera alors inférieure à celle du condensateur entièrement rempli.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi un diélectrique augmente-t-il la capacité ?

Lorsqu'un diélectrique est placé dans un champ électrique, ses molécules se polarisent (les charges positives et négatives se séparent légèrement). Cela crée un champ électrique interne qui s'oppose au champ principal. Le champ électrique net entre les armatures est donc réduit. Pour maintenir la même tension \(V\) (qui est l'intégrale du champ \(E\) sur la distance \(d\)), plus de charges doivent être accumulées sur les armatures. Puisque \(C = Q/V\), une augmentation de \(Q\) pour un même \(V\) signifie une augmentation de la capacité \(C\).

Quels sont les matériaux diélectriques courants ?

Outre l'air et le téflon, on trouve couramment la céramique, le mica, le verre, certains plastiques (polyester, polypropylène) et des oxydes métalliques (oxyde d'aluminium, oxyde de tantale) pour les condensateurs électrolytiques, qui offrent de très hautes permittivités.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'unité de la capacité est le Farad (F). Un picofarad (pF) équivaut à :

2. L'insertion d'un diélectrique avec \(\epsilon_r > 1\) dans un condensateur maintenu à une tension constante V :

Glossaire

Condensateur
Composant électronique passif formé de deux conducteurs (armatures) séparés par un isolant (diélectrique), conçu pour stocker de l'énergie électrostatique.
Capacité (C)
Grandeur physique caractérisant la capacité d'un condensateur à stocker des charges électriques pour une tension donnée. Elle est définie par \(C = Q/V\) et s'exprime en Farads (F).
Diélectrique
Matériau isolant qui ne conduit pas le courant électrique mais qui peut être polarisé par un champ électrique. Son insertion dans un condensateur augmente sa capacité.
Permittivité (\(\epsilon\))
Mesure de la façon dont un champ électrique est affecté par un milieu diélectrique. La permittivité relative \(\epsilon_r\) est le rapport de la permittivité du matériau \(\epsilon\) à celle du vide \(\epsilon_0\).
Champ de Claquage
Intensité maximale du champ électrique qu'un matériau isolant peut supporter sans perdre ses propriétés isolantes et devenir conducteur.
Calcul de la Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

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