Caractéristiques du Moteur à Courant Continu

Caractéristiques du Moteur à Courant Continu en Machines Électriques

Caractéristiques du Moteur à Courant Continu

Contexte : Le cheval de bataille de l'électromécanique.

Le moteur à courant continu (MCC)Aussi appelé moteur DC à balais. C'est une machine qui convertit l'énergie électrique en courant continu en énergie mécanique de rotation. Sa vitesse est facilement réglable par la tension d'alimentation. à excitation indépendante (ou à aimants permanents) est l'un des actionneurs les plus étudiés et les plus utilisés en raison de sa simplicité de commande et de la robustesse de ses caractéristiques. On le trouve dans d'innombrables applications, des jouets aux lève-vitres de voiture, en passant par les systèmes de convoyage industriels. Cet exercice a pour but de déterminer les grandeurs fondamentales qui régissent son comportement en charge à partir d'un essai à vide.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un classique de l'électrotechnique. Il permet de comprendre comment, à partir de quelques mesures simples (tension, courant, vitesse à vide), on peut construire un modèle complet du moteur. Ce modèle nous permettra ensuite de prédire son comportement (vitesse, courant, rendement) sous n'importe quelle charge mécanique, une compétence essentielle pour tout ingénieur ou technicien en génie électrique.


Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer la force contre-électromotrice (FCEM) à vide.
  • Calculer la constante de vitesse et de couple du moteur.
  • Calculer le courant d'induit et la vitesse de rotation en charge.
  • Établir un bilan de puissances et calculer le rendement du moteur.
  • Comprendre la relation entre le couple, le courant et la vitesse.

Données de l'étude

On étudie un moteur à courant continu à aimants permanents. Un essai à vide sous sa tension nominale a été réalisé, suivi d'un essai en charge où le moteur entraîne un treuil qui soulève une masse.

Schéma du Moteur et de la Charge
Modèle Électrique U Ra E I Moteur N, C Charge
Paramètre Symbole Valeur Unité
Tension nominale d'alimentation \(U_n\) 24 \(\text{V}\)
Résistance de l'induit \(R_a\) 0.8 \(\Omega\)
Vitesse de rotation à vide \(N_0\) 1200 \(\text{tr/min}\)
Courant consommé à vide \(I_0\) 0.5 \(\text{A}\)
Couple résistant de la charge \(C_r\) 0.4 \(\text{N} \cdot \text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la force contre-électromotrice à vide \(E_0\).
  2. En déduire la constante de vitesse et de couple \(K\) du moteur.
  3. Calculer le courant d'induit \(I\) consommé en charge.
  4. Déterminer la vitesse de rotation en charge \(N\) et le rendement \(\eta\) du moteur.

Les bases du Moteur à Courant Continu

Avant de commencer, rappelons les trois équations fondamentales qui régissent un moteur à courant continu à aimants permanents.

1. L'Équation Électrique :
Elle décrit le circuit de l'induit (le rotor). La tension d'alimentation \(U\) se répartit entre la force contre-électromotrice \(E\) et la chute de tension dans la résistance de l'induit \(R_a\). \[ U = E + R_a \cdot I \]

2. L'Équation de la FCEM :
La force contre-électromotrice \(E\) est directement proportionnelle à la vitesse de rotation. Le coefficient de proportionnalité est la constante du moteur \(K\). Attention aux unités : la vitesse \(\Omega\) doit être en radians par seconde. \[ E = K \cdot \Omega \quad (\text{avec } \Omega \text{ en rad/s}) \]

3. L'Équation du Couple :
Le couple électromagnétique \(C_{em}\) produit par le moteur est directement proportionnel au courant \(I\) qui traverse l'induit. Le coefficient de proportionnalité est la même constante \(K\). \[ C_{em} = K \cdot I \]


Correction : Caractéristiques du Moteur à Courant Continu

Question 1 : Calculer la force contre-électromotrice à vide (E₀)

Principe (le concept physique)

Lorsque le moteur tourne à vide, il n'entraîne aucune charge externe. Il doit simplement vaincre ses propres frottements internes. Le courant consommé (\(I_0\)) est donc très faible. La quasi-totalité de la tension d'alimentation \(U_n\) sert à compenser la force contre-électromotrice \(E_0\) générée par la rotation. Le calcul de \(E_0\) consiste à appliquer la loi des mailles au circuit de l'induit dans ces conditions spécifiques.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La FCEM est le cœur de la conversion d'énergie électromécanique. Elle représente la part de l'énergie électrique qui est transformée en puissance mécanique. À vide, cette puissance mécanique ne sert qu'à compenser les "pertes collectives" (pertes mécaniques dues aux frottements et pertes fer dues aux champs magnétiques variables). C'est pourquoi le courant à vide n'est pas nul, mais juste assez grand pour générer le petit couple nécessaire pour vaincre ces pertes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'essai à vide est fondamental car il nous permet d'isoler les caractéristiques intrinsèques du moteur. C'est un peu comme peser une voiture sans passagers pour connaître sa masse à vide. Une fois que l'on connaît cette base, on peut prédire comment elle se comportera en ajoutant des passagers (la charge).

Normes (la référence réglementaire)

La norme IEC 60034-1 définit les conditions générales pour les essais des machines électriques tournantes, y compris les essais à vide. Elle spécifie comment la machine doit être alimentée et comment les mesures doivent être effectuées pour garantir des résultats fiables et reproductibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On applique la loi des mailles au circuit de l'induit dans les conditions de l'essai à vide.

\[ U_n = E_0 + R_a \cdot I_0 \Rightarrow E_0 = U_n - R_a \cdot I_0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les mesures de l'essai à vide (tension, courant, vitesse) sont stables et précises. Le modèle électrique simple du moteur est considéré comme valide.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tension nominale, \(U_n = 24 \, \text{V}\)
  • Résistance de l'induit, \(R_a = 0.8 \, \Omega\)
  • Courant à vide, \(I_0 = 0.5 \, \text{A}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La chute de tension à vide (\(R_a \cdot I_0\)) est généralement très faible par rapport à la tension d'alimentation. Calculez-la en premier : \(0.8 \times 0.5 = 0.4 \, \text{V}\). Vous voyez immédiatement que \(E_0\) sera très proche de \(U_n\), ce qui est un bon indicateur que votre raisonnement est correct.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle Électrique à Vide
Un=24VRa=0.8ΩE₀ = ?I₀ = 0.5 A
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} E_0 &= U_n - R_a \cdot I_0 \\ &= 24 \, \text{V} - (0.8 \, \Omega \times 0.5 \, \text{A}) \\ &= 24 \, \text{V} - 0.4 \, \text{V} \\ &= 23.6 \, \text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition de la Tension à Vide
Tension d'Alim. Un = 24 VFCEM E₀ = 23.6 V
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme prévu, la FCEM à vide est très proche de la tension d'alimentation. La différence de 0.4 V représente la petite chute de tension nécessaire pour fournir le courant de 0.5 A qui sert à vaincre les frottements et autres pertes à vide. Cette valeur de \(E_0\) est cruciale car elle est directement liée à la vitesse à vide et nous permettra de calculer la constante du moteur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de négliger le courant à vide et de considérer que \(E_0 = U_n\). Bien que l'erreur soit faible, ce n'est pas physiquement correct et cela introduirait une imprécision dans le calcul de la constante du moteur à la question suivante.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'essai à vide permet de caractériser le moteur.
  • La FCEM à vide se calcule avec \(E_0 = U_n - R_a \cdot I_0\).
  • \(E_0\) est toujours légèrement inférieure à \(U_n\) à cause du courant à vide.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le système balais-collecteur est une merveille d'ingénierie mécanique qui permet d'inverser le sens du courant dans les sections du bobinage du rotor au bon moment pour maintenir un couple moteur continu. C'est aussi son principal point faible, car il est source de frottements, d'usure et de parasites électromagnétiques, ce qui a conduit au développement des moteurs brushless.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force contre-électromotrice à vide est de 23.6 \(\text{V}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la résistance de l'induit était de 1.2 Ω, quelle serait la nouvelle FCEM à vide ?

Question 2 : En déduire la constante de vitesse et de couple (K)

Principe (le concept physique)

La constante du moteur, \(K\), est une caractéristique fondamentale qui lie les grandeurs électriques aux grandeurs mécaniques. Elle représente l'efficacité de la conversion d'énergie dans les deux sens. En mode moteur, elle lie le courant au couple (\(C = K \cdot I\)). En mode générateur, elle lie la vitesse à la FCEM (\(E = K \cdot \Omega\)). Puisque nous connaissons la FCEM (\(E_0\)) pour une vitesse donnée (\(N_0\)) grâce à l'essai à vide, nous pouvons calculer cette constante essentielle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La constante \(K\) dépend de la géométrie du moteur et du champ magnétique créé par l'inducteur (les aimants permanents). Plus précisément, \(K = p \cdot n \cdot \Phi\), où \(p\) est le nombre de paires de pôles, \(n\) le nombre de conducteurs actifs sur le rotor, et \(\Phi\) le flux magnétique par pôle. Comme ces valeurs sont fixes pour un moteur donné, \(K\) est bien une constante. L'unité de \(K\) dans le Système International est le \(\text{V} \cdot \text{s} / \text{rad}\) ou, de manière équivalente, le \(\text{N} \cdot \text{m} / \text{A}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La constante \(K\) est la "carte d'identité" du moteur. Une fois que vous l'avez, vous pouvez prédire la plupart de ses comportements. C'est le chaînon manquant qui nous permet de passer du monde électrique (Volts, Ampères) au monde mécanique (Newtons-mètres, rad/s).

Normes (la référence réglementaire)

Les fabricants spécifient cette constante dans leurs fiches techniques, mais souvent sous des formes différentes (\(K_v\), \(K_t\), \(K_e\)) avec des unités variées (tr/min/V, oz-in/A, V/krpm...). Savoir convertir ces unités et retrouver la constante \(K\) du SI est une compétence cruciale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Convertir la vitesse de tr/min en rad/s :

\[ \Omega \, (\text{rad/s}) = N \, (\text{tr/min}) \times \frac{2\pi}{60} \]

2. Calculer la constante K :

\[ E_0 = K \cdot \Omega_0 \Rightarrow K = \frac{E_0}{\Omega_0} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la relation entre la FCEM et la vitesse est parfaitement linéaire et passe par l'origine, ce qui est une très bonne approximation pour un moteur à aimants permanents.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • FCEM à vide, \(E_0 = 23.6 \, \text{V}\) (du calcul Q1)
  • Vitesse à vide, \(N_0 = 1200 \, \text{tr/min}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le facteur de conversion \(2\pi/60\) vaut environ \(0.1047\). Mémoriser cette valeur peut accélérer les conversions. Pour un calcul mental approximatif, on peut diviser les tr/min par 10 (ce qui donne \(\approx 120\)) pour avoir un ordre de grandeur de la vitesse en rad/s.

Schéma (Avant les calculs)
Relation Vitesse-FCEM
Point à vide(N₀, E₀)FCEM (E)Vitesse (Ω)Pente = K = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Convertir la vitesse à vide en rad/s :

\[ \begin{aligned} \Omega_0 &= N_0 \times \frac{2\pi}{60} \\ &= 1200 \times \frac{2\pi}{60} \\ &\approx 125.66 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

2. Calculer la constante K :

\[ \begin{aligned} K &= \frac{E_0}{\Omega_0} \\ &= \frac{23.6 \, \text{V}}{125.66 \, \text{rad/s}} \\ &\approx 0.1878 \, \text{V} \cdot \text{s} / \text{rad} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Constante du Moteur Déterminée
FCEM (E)Vitesse (Ω)K ≈ 0.188
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La constante \(K \approx 0.188\) est la "clé de voûte" de notre modèle. Elle signifie que pour chaque Ampère de courant, le moteur produira 0.188 N·m de couple. Et inversement, pour chaque rad/s de vitesse, il générera 0.188 V de FCEM. Nous allons maintenant utiliser cette constante pour analyser le comportement en charge.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion de la vitesse de tr/min en rad/s. Si vous ne le faites pas, votre constante K sera fausse d'un facteur \(60/(2\pi) \approx 9.55\), ce qui rendra tous les calculs suivants incorrects. Utilisez toujours les unités du Système International (rad/s) pour le calcul de K.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La constante \(K\) lie l'électrique et le mécanique.
  • Elle se calcule à partir des conditions à vide : \(K = E_0 / \Omega_0\).
  • La vitesse doit impérativement être en rad/s pour ce calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La puissance d'un moteur est donnée par \(P = C \cdot \Omega\). En remplaçant par les équations du moteur, on obtient \(P_{em} = (K \cdot I) \cdot (E/K) = E \cdot I\). La puissance électromagnétique convertie est bien égale au produit de la FCEM et du courant, ce qui confirme la cohérence du modèle.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La constante du moteur est \(K \approx 0.188 \, \text{V} \cdot \text{s} / \text{rad}\) (ou \(\text{N} \cdot \text{m} / \text{A}\)).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la vitesse à vide était de 1500 tr/min (avec E₀=23.6V), quelle serait la nouvelle valeur de K ?

Question 3 : Calculer le courant d'induit (I) consommé en charge

Principe (le concept physique)

Lorsque le moteur est en charge, il doit fournir un couple pour entraîner le treuil. Ce couple mécanique est directement lié au couple électromagnétique produit par le moteur. Comme le couple électromagnétique est proportionnel au courant (\(C_{em} = K \cdot I\)), une augmentation du couple de charge entraîne nécessairement une augmentation du courant consommé par le moteur. Nous allons donc utiliser cette relation pour trouver le courant nécessaire pour fournir le couple résistant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

À l'équilibre, en régime permanent, le couple électromagnétique \(C_{em}\) produit par le moteur doit compenser deux choses : le couple utile \(C_u\) (ici, le couple résistant \(C_r\)) et le couple de pertes \(C_p\) (dû aux frottements). On a donc : \(C_{em} = C_u + C_p\). Le couple de pertes est celui que le moteur doit vaincre à vide, il peut donc être calculé à partir du courant à vide : \(C_p = K \cdot I_0\). En combinant ces équations, on peut trouver le courant total en charge.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le courant est "l'effort" du moteur. Pensez à vous-même en train de monter une côte à vélo. Sur le plat (à vide), vous pédalez avec un petit effort (courant \(I_0\)). Dans la montée (en charge), votre effort doit augmenter pour vaincre la pente (couple \(C_r\)) ET pour continuer à vaincre les frottements du vélo (couple \(C_p\)). Le courant total \(I\) est la somme de ces deux efforts.

Normes (la référence réglementaire)

Les essais en charge des moteurs sont également encadrés par la norme IEC 60034. Ils sont réalisés à l'aide de freins dynamométriques qui permettent d'appliquer un couple résistant contrôlé et de mesurer simultanément toutes les grandeurs électriques et mécaniques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Couple électromagnétique total :

\[ C_{em} = C_r + C_p = C_r + (K \cdot I_0) \]

2. Courant en charge :

\[ C_{em} = K \cdot I \Rightarrow I = \frac{C_{em}}{K} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le couple de pertes \(C_p\) est constant et ne dépend pas de la vitesse. En réalité, il augmente légèrement avec la vitesse, mais cette approximation est généralement acceptable pour les calculs de base.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Couple résistant, \(C_r = 0.4 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
  • Constante du moteur, \(K \approx 0.188 \, \text{N} \cdot \text{m} / \text{A}\) (du calcul Q2)
  • Courant à vide, \(I_0 = 0.5 \, \text{A}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut regrouper les formules : \(I = (C_r + K \cdot I_0) / K = (C_r / K) + I_0\). Cela montre que le courant en charge est simplement le courant nécessaire pour la charge utile, auquel on ajoute le courant à vide. C'est plus rapide et plus intuitif.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des Couples sur l'Arbre Moteur
Cem = ?Cr = 0.4Cp = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le couple de pertes :

\[ \begin{aligned} C_p &= K \times I_0 \\ &= 0.188 \, \text{N} \cdot \text{m} / \text{A} \times 0.5 \, \text{A} \\ &= 0.094 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Calculer le couple électromagnétique total :

\[ \begin{aligned} C_{em} &= C_r + C_p \\ &= 0.4 \, \text{N} \cdot \text{m} + 0.094 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 0.494 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

3. Calculer le courant d'induit en charge :

\[ \begin{aligned} I &= \frac{C_{em}}{K} \\ &= \frac{0.494 \, \text{N} \cdot \text{m}}{0.188 \, \text{N} \cdot \text{m} / \text{A}} \\ &\approx 2.63 \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des Couples et Courant
Cem=0.494Cr=0.4Cp=0.094I ≈ 2.63 A
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le courant nécessaire pour entraîner la charge est de 2.63 A. C'est une augmentation significative par rapport au courant à vide de 0.5 A, ce qui est tout à fait logique. Le moteur doit fournir un effort bien plus important. Cette valeur de courant va maintenant nous permettre de déterminer la nouvelle vitesse et le rendement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est d'oublier le couple de pertes et de calculer le courant uniquement à partir du couple résistant (\(I = C_r / K\)). Cela sous-estimerait le courant réel, car le moteur doit aussi vaincre ses propres frottements. Le courant à vide n'est pas négligeable dans le bilan de couple.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le couple électromagnétique total est la somme du couple utile et du couple de pertes.
  • Le couple de pertes se calcule à partir du courant à vide : \(C_p = K \cdot I_0\).
  • Le courant en charge se déduit du couple électromagnétique total : \(I = C_{em} / K\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le couple de démarrage (ou couple de décrochage) d'un moteur CC est le couple maximal qu'il peut fournir à l'arrêt. À ce moment, la vitesse est nulle, donc \(E=0\), et le courant est maximal (\(I_{dem} = U/R\)). Le couple de démarrage est donc \(C_{dem} = K \cdot I_{dem} = K \cdot U / R\). C'est une caractéristique très importante pour les applications qui doivent démarrer avec une charge lourde.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le courant d'induit consommé en charge est d'environ 2.63 \(\text{A}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le couple résistant était de 0.6 N·m, quel serait le nouveau courant en charge ?

Question 4 : Déterminer la vitesse en charge (N) et le rendement (η)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons le courant consommé en charge, nous pouvons déterminer le point de fonctionnement complet du moteur. La vitesse en charge dépend de la nouvelle FCEM (qui a diminué à cause de la chute de tension \(R_a \cdot I\)). Le rendement est le bilan final : il compare la puissance mécanique réellement fournie à la charge à la puissance électrique totale prélevée sur l'alimentation. C'est l'indicateur ultime de l'efficacité du moteur dans ces conditions.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le bilan de puissance complet est le suivant : La puissance absorbée \(P_a = U \cdot I\) se divise en pertes Joule dans l'induit (\(P_j = R_a \cdot I^2\)) et en puissance électromagnétique (\(P_{em} = E \cdot I\)). Cette puissance électromagnétique est la puissance convertie. Elle se divise à son tour en pertes collectives (\(P_c = C_p \cdot \Omega\)) et en puissance mécanique utile (\(P_u = C_r \cdot \Omega\)). Le rendement est \(\eta = P_u / P_a\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape de synthèse. Toutes les briques que nous avons posées (calcul de E, K, I) s'assemblent ici pour donner une image complète des performances. Remarquez comment chaque grandeur dépend de la précédente. C'est une chaîne logique qu'il est important de maîtriser.

Normes (la référence réglementaire)

La détermination du rendement est une procédure standardisée (ex: IEC 60034-2-1) qui peut se faire par méthode directe (mesure de la puissance mécanique en sortie avec un couplemètre) ou par méthode indirecte (méthode des pertes séparées, où l'on mesure ou calcule chaque type de perte individuellement).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. FCEM en charge :

\[ E = U_n - R_a \cdot I \]

2. Vitesse en charge (en rad/s puis tr/min) :

\[ \Omega = \frac{E}{K} \quad \text{et} \quad N = \Omega \times \frac{60}{2\pi} \]

3. Puissances et rendement :

\[ P_a = U_n \cdot I \quad | \quad P_u = C_r \cdot \Omega \quad | \quad \eta = \frac{P_u}{P_a} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue de supposer que le modèle est valide et que les constantes R et K ne varient pas. On utilise les valeurs calculées dans les questions précédentes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tension nominale, \(U_n = 24 \, \text{V}\)
  • Résistance de l'induit, \(R_a = 0.8 \, \Omega\)
  • Courant en charge, \(I \approx 2.63 \, \text{A}\) (du calcul Q3)
  • Constante du moteur, \(K \approx 0.188 \, \text{N} \cdot \text{m} / \text{A}\) (du calcul Q2)
  • Couple résistant, \(C_r = 0.4 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour le rendement, une fois la puissance utile et la puissance absorbée calculées, faites un calcul mental rapide pour vérifier l'ordre de grandeur. \(P_u\) est un peu moins de 50 W, \(P_a\) un peu plus de 60 W. Le rapport sera donc de l'ordre de 5/6, soit environ 83%. Cela permet de détecter une erreur de calcul grossière.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique à Quantifier
EntréePa = ?MOTEURSortiePu = ?PertesPertes = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la FCEM en charge :

\[ \begin{aligned} E &= U_n - R_a \cdot I \\ &= 24 \, \text{V} - (0.8 \, \Omega \times 2.63 \, \text{A}) \\ &= 24 \, \text{V} - 2.104 \, \text{V} \\ &= 21.896 \, \text{V} \end{aligned} \]

2. Calculer la vitesse angulaire \(\Omega\) :

\[ \begin{aligned} \Omega &= \frac{E}{K} \\ &= \frac{21.896 \, \text{V}}{0.188 \, \text{V} \cdot \text{s} / \text{rad}} \\ &\approx 116.47 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

3. Convertir la vitesse en tr/min :

\[ \begin{aligned} N &= \Omega \times \frac{60}{2\pi} \\ &= 116.47 \times \frac{60}{2\pi} \\ &\approx 1112 \, \text{tr/min} \end{aligned} \]

4. Calculer les puissances :

\[ \begin{aligned} P_a &= U_n \times I = 24 \, \text{V} \times 2.63 \, \text{A} \approx 63.12 \, \text{W} \\ P_u &= C_r \times \Omega = 0.4 \, \text{N} \cdot \text{m} \times 116.47 \, \text{rad/s} \approx 46.59 \, \text{W} \end{aligned} \]

5. Calculer le rendement :

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{P_u}{P_a} \times 100 \\ &= \frac{46.59 \, \text{W}}{63.12 \, \text{W}} \times 100 \\ &\approx 73.8 \, \% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan Énergétique Quantifié
EntréePa=63.1WMOTEURSortiePu=46.6WPertes16.5Wη=73.8%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moteur se stabilise à une vitesse de 1112 tr/min pour fournir le couple de 0.4 N·m. La chute de vitesse par rapport au fonctionnement à vide est d'environ 7.3%. Pour réaliser ce travail, il consomme 63.1 W à la source d'alimentation et en convertit 46.6 W en puissance mécanique utile. Le rendement de 73.8% est une valeur typique pour ce type de moteur à ce point de charge. Les 16.5 W de pertes sont principalement dissipés en chaleur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien utiliser le couple utile \(C_r\) pour le calcul de la puissance utile \(P_u\), et non le couple électromagnétique \(C_{em}\). La puissance utile est celle qui est effectivement transmise à la charge. De plus, la vitesse \(\Omega\) doit être en rad/s pour le calcul de la puissance mécanique (\(P_u = C_r \cdot \Omega\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vitesse en charge se déduit de la FCEM en charge : \(E = U - R_a \cdot I\).
  • La puissance utile est le produit du couple UTILE et de la vitesse ANGULAIRE : \(P_u = C_r \cdot \Omega\).
  • Le rendement est le rapport de la puissance utile sur la puissance absorbée : \(\eta = P_u / P_a\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le point de rendement maximal d'un moteur à courant continu ne coïncide pas avec son point de puissance maximale. La puissance maximale est atteinte à environ la moitié de la vitesse à vide (et la moitié du courant de démarrage), mais le rendement à ce point est souvent inférieur à 50%. Les ingénieurs cherchent donc à faire fonctionner les moteurs dans une plage de couple où le rendement est élevé, et non là où la puissance est maximale.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse en charge est d'environ 1112 \(\text{tr/min}\) et le rendement est d'environ 73.8 %.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour le courant de 3.69 A (calculé dans le "À vous de jouer" précédent), quelle serait la nouvelle vitesse en tr/min ?


Outil Interactif : Point de Fonctionnement

Modifiez le couple résistant pour observer son influence sur les performances du moteur.

Paramètres d'Entrée
0.40 N·m
Résultats Clés
Courant Consommé (A) -
Vitesse (tr/min) -
Rendement (%) -

Le Saviez-Vous ?

Le contrôle de vitesse le plus courant pour un moteur à courant continu est la modulation de largeur d'impulsion (PWM - Pulse Width Modulation). Au lieu de baisser la tension (ce qui est inefficace), on hache la tension nominale à haute fréquence. En faisant varier le rapport cyclique (le pourcentage de temps où la tension est appliquée), on fait varier la tension moyenne vue par le moteur, ce qui permet de contrôler sa vitesse de manière très efficace.


Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si on inverse la polarité de la tension d'alimentation ?

Pour un moteur à courant continu à aimants permanents, inverser la polarité de la tension d'alimentation inverse le sens du courant dans l'induit. Conformément à la loi de Laplace (force électromagnétique), cela inverse le sens du couple et donc le sens de rotation du moteur. C'est l'une des grandes simplicités de ce type de moteur.

Quelle est la différence avec un moteur à excitation série ou shunt ?

Dans un moteur à aimants permanents, le champ magnétique du stator (l'inducteur) est constant. Dans les moteurs à excitation bobinée, ce champ est créé par un électroaimant. S'il est en série avec l'induit (moteur série), son champ augmente avec le courant de charge, donnant un couple de démarrage énorme. S'il est en parallèle (moteur shunt), son champ est quasi constant, lui donnant un comportement proche du moteur à aimants permanents.


Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le couple de charge appliqué à un moteur CC augmente, le courant d'induit...

2. À l'arrêt (vitesse nulle), la force contre-électromotrice (FCEM) d'un moteur est...


Moteur à Courant Continu (MCC)
Machine électrique convertissant une énergie électrique en courant continu en une énergie mécanique de rotation. Les modèles classiques utilisent un collecteur et des balais pour la commutation.
Induit
Partie tournante (rotor) d'un moteur à courant continu, qui contient les enroulements dans lesquels le courant circule et où la force électromotrice est induite.
Force Contre-Électromotrice (FCEM)
Tension générée par le moteur due à sa propre rotation, qui s'oppose à la tension d'alimentation. Elle est directement proportionnelle à la vitesse.
Caractéristiques du Moteur à Courant Continu

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