Caractéristiques du Moteur à Courant Continu
Calculs relatifs à la force contre-électromotrice, au courant d'induit et au couple d'un moteur CC.
Énoncé : Caractéristiques du Moteur à Courant Continu
Un moteur à courant continu (CC) convertit l'énergie électrique en énergie mécanique. Son fonctionnement est régi par plusieurs grandeurs interdépendantes : la tension d'alimentation, le courant d'induit, la vitesse de rotation, la force contre-électromotrice (f.c.e.m.) et le couple moteur.
Contexte
Les moteurs à courant continu sont largement utilisés dans des applications variées allant des jouets aux véhicules électriques, en passant par les outils portatifs et la robotique. Comprendre leurs caractéristiques de base permet de les dimensionner correctement pour une application donnée, d'analyser leur performance et de concevoir des systèmes de commande adaptés.
Données du Problème
On étudie un moteur à courant continu à aimants permanents.
- Tension d'alimentation nominale : \(U = 24 \, \text{V}\)
- Résistance d'induit : \(R_a = 0,5 \, \Omega\)
- Constante de f.c.e.m. (et de couple) : \(K = 0,1 \, \text{V} \cdot \text{s/rad}\) (ou \(0,1 \, \text{N} \cdot \text{m/A}\))
- Le moteur tourne à une vitesse \(\Omega = 200 \, \text{rad/s}\) sous une certaine charge.
On rappelle les relations pour un moteur CC :
- Force contre-électromotrice (f.c.e.m.) : \(E = K \times \Omega\)
- Loi d'Ohm pour l'induit : \(U = E + R_a \times I_a\)
- Couple électromagnétique : \(C_{em} = K \times I_a\)
- Puissance électrique absorbée par l'induit : \(P_{abs} = U \times I_a\)
- Puissance électromagnétique (convertie en puissance mécanique) : \(P_{em} = E \times I_a = C_{em} \times \Omega\)
Questions
- Calculer la force contre-électromotrice (f.c.e.m.) \(E\) lorsque le moteur tourne à \(\Omega = 200 \, \text{rad/s}\).
- Calculer le courant d'induit \(I_a\) absorbé par le moteur lorsqu'il est alimenté sous \(U = 24 \, \text{V}\) et tourne à \(\Omega = 200 \, \text{rad/s}\).
- Calculer le couple électromagnétique \(C_{em}\) développé par le moteur dans ces conditions.
- Calculer la puissance électromagnétique \(P_{em}\) développée par le moteur.
- Calculer la puissance électrique \(P_{abs}\) absorbée par l'induit du moteur.
- En déduire les pertes par effet Joule (\(P_J\)) dans la résistance d'induit et vérifier la relation entre \(P_{abs}\), \(P_{em}\) et \(P_J\).
Correction : Caractéristiques du Moteur à Courant Continu
1. Calcul de la Force Contre-Électromotrice (f.c.e.m.) \(E\)
La f.c.e.m. \(E\) est proportionnelle à la vitesse de rotation \(\Omega\) et à la constante de f.c.e.m. \(K\). \[ E = K \times \Omega \]
Données pour cette étape
- Constante de f.c.e.m. \(K = 0,1 \, \text{V} \cdot \text{s/rad}\)
- Vitesse de rotation \(\Omega = 200 \, \text{rad/s}\)
Calcul
Résultat
La force contre-électromotrice est \(E = 20 \, \text{V}\).
2. Calcul du Courant d'Induit \(I_a\)
On utilise la loi d'Ohm appliquée à l'induit du moteur : \(U = E + R_a \times I_a\). On en déduit \(I_a = \frac{U - E}{R_a}\).
Données pour cette étape
- Tension d'alimentation \(U = 24 \, \text{V}\)
- F.C.E.M. \(E = 20 \, \text{V}\) (calculée à l'étape 1)
- Résistance d'induit \(R_a = 0,5 \, \Omega\)
Calcul
Résultat
Le courant d'induit absorbé par le moteur est \(I_a = 8 \, \text{A}\).
3. Calcul du Couple Électromagnétique \(C_{em}\)
Le couple électromagnétique \(C_{em}\) est proportionnel au courant d'induit \(I_a\) et à la constante de couple \(K\) (qui est la même que la constante de f.c.e.m. dans le système d'unités SI). \[ C_{em} = K \times I_a \]
Données pour cette étape
- Constante de couple \(K = 0,1 \, \text{N} \cdot \text{m/A}\)
- Courant d'induit \(I_a = 8 \, \text{A}\) (calculé à l'étape 2)
Calcul
Résultat
Le couple électromagnétique développé par le moteur est \(C_{em} = 0,8 \, \text{N} \cdot \text{m}\).
4. Calcul de la Puissance Électromagnétique \(P_{em}\)
La puissance électromagnétique \(P_{em}\) est la puissance convertie de forme électrique en forme mécanique. Elle peut être calculée par \(P_{em} = E \times I_a\) ou \(P_{em} = C_{em} \times \Omega\).
Données pour cette étape
- F.C.E.M. \(E = 20 \, \text{V}\)
- Courant d'induit \(I_a = 8 \, \text{A}\)
- (Alternativement : \(C_{em} = 0,8 \, \text{N} \cdot \text{m}\) et \(\Omega = 200 \, \text{rad/s}\))
Calcul
Résultat
La puissance électromagnétique développée par le moteur est \(P_{em} = 160 \, \text{W}\).
5. Calcul de la Puissance Électrique Absorbée \(P_{abs}\)
La puissance électrique absorbée par l'induit du moteur est donnée par le produit de la tension d'alimentation \(U\) et du courant d'induit \(I_a\). \[ P_{abs} = U \times I_a \]
Données pour cette étape
- Tension d'alimentation \(U = 24 \, \text{V}\)
- Courant d'induit \(I_a = 8 \, \text{A}\)
Calcul
Résultat
La puissance électrique absorbée par l'induit est \(P_{abs} = 192 \, \text{W}\).
6. Pertes par Effet Joule (\(P_J\)) et Bilan de Puissance
Les pertes par effet Joule dans la résistance d'induit sont données par \(P_J = R_a \times I_a^2\). Le bilan de puissance pour l'induit s'écrit : \(P_{abs} = P_{em} + P_J\).
Données pour cette étape
- Résistance d'induit \(R_a = 0,5 \, \Omega\)
- Courant d'induit \(I_a = 8 \, \text{A}\)
- \(P_{abs} = 192 \, \text{W}\)
- \(P_{em} = 160 \, \text{W}\)
Calculs
Calcul des pertes Joule \(P_J\) :
Vérification du bilan de puissance :
Résultat
Les pertes par effet Joule dans l'induit sont \(P_J = 32 \, \text{W}\). Le bilan de puissance \(P_{abs} = P_{em} + P_J\) est vérifié (\(192 \, \text{W} = 160 \, \text{W} + 32 \, \text{W}\)).
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