Exercices Électricité

Champ électrique créé par une charge ponctuelle

Champ Électrique Créé par une Charge Ponctuelle

Champ Électrique Créé par une Charge Ponctuelle

Comprendre le Champ Électrique d'une Charge Ponctuelle

Une charge ponctuelle \(q\) crée un champ électrique \(\vec{E}\) dans l'espace qui l'entoure. Ce champ est une propriété de la charge source et de l'espace ; il existe indépendamment de la présence d'autres charges. La force exercée sur une autre charge (charge test) placée dans ce champ est alors donnée par \(\vec{F} = q_{\text{test}} \vec{E}\). Le champ électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est donné par la loi de Coulomb pour le champ : \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}_r\), où \(\hat{u}_r\) est un vecteur unitaire pointant de la charge source vers le point où le champ est évalué. Cet exercice se concentre sur le calcul de ce champ vectoriel en un point donné.

Données de l'étude

On considère une charge ponctuelle \(q = -5,0 \, \text{nC}\) située à l'origine O \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\) d'un repère cartésien.

On souhaite calculer le champ électrique \(\vec{E}\) créé par cette charge au point P de coordonnées \((3,0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\).

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Charge Ponctuelle et Point P
{/* Axes */} {/* Axe X */} x (cm) {/* Axe Y */} y (cm) O {/* Charge q à l'origine (0,0) -> (50,150) en SVG */} {/* Charge négative */} q {/* Point P (3,4) -> (50+3*20, 150-4*20) = (110,70) en SVG (échelle: 1cm = 20px) */} P(3,4) {/* Vecteur r de q à P */} r {/* Angle approx tan(8/6)=tan(4/3) */} {/* Champ E (vers q car q est négative) */} {/* E: P -> P - u_r * k = (110,70) - (0.6, -0.8) * 30 = (110-18, 70+24) = (92, 94) approx */} E Charge q et point d'évaluation P

Charge ponctuelle q à l'origine et point P où le champ est calculé.

Questions à traiter

  1. Calculer le vecteur \(\vec{r}\) allant de la charge \(q\) au point P, ainsi que sa norme \(r\).
  2. Déterminer le vecteur unitaire \(\hat{u}_r\) dirigé de la charge \(q\) vers le point P.
  3. Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) créé par la charge \(q\) au point P.
  4. Calculer la magnitude (norme) du champ électrique \(|\vec{E}|\) au point P.
  5. Déterminer l'angle que fait le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) avec l'axe des x positifs.
  6. Si une charge test \(q_0 = +2,0 \, \text{nC}\) est placée au point P, quelle est la force électrique \(\vec{F}\) exercée sur cette charge test ?

Correction : Champ Électrique Créé par une Charge Ponctuelle

Question 1 : Vecteur \(\vec{r}\) et norme \(r\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{r}\) va de la source (charge \(q\) à l'origine O) au point d'observation P. Si P a les coordonnées \((x_P, y_P)\), alors \(\vec{r} = x_P\hat{i} + y_P\hat{j}\). La norme est \(r = |\vec{r}| = \sqrt{x_P^2 + y_P^2}\).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Position de P : \((3,0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\) \(\Rightarrow P(0,03 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{r} &= 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r &= |\vec{r}| \\ &= \sqrt{(0,03 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0009 \, \text{m}^2 + 0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0025 \, \text{m}^2} \\ &= 0,05 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{r} = 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r = 0,05 \, \text{m}\)

Question 2 : Vecteur unitaire \(\hat{u}_r\)

Principe :

Le vecteur unitaire \(\hat{u}_r\) est obtenu en divisant le vecteur \(\vec{r}\) par sa norme \(r\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\hat{u}_r = \frac{\vec{r}}{r}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \hat{u}_r &= \frac{0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}}{0,05 \, \text{m}} \\ &= \frac{0,03}{0,05}\hat{i} + \frac{0,04}{0,05}\hat{j} \\ &= 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(\hat{u}_r = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\).

Question 3 : Vecteur champ électrique \(\vec{E}\) au point P

Principe :

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) est \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}_r\).

Données spécifiques :
  • \(q = -5,0 \, \text{nC} = -5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r = 0,05 \, \text{m} \Rightarrow r^2 = 0,0025 \, \text{m}^2\)
  • \(\hat{u}_r = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E} &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{-5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(0,05 \, \text{m})^2} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{-5,0 \times 10^{-9}}{0,0025} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= \frac{-45}{0,0025} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= -18000 (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= (-18000 \times 0,6)\hat{i} + (-18000 \times 0,8)\hat{j} \, \text{N/C} \\ &= -10800\hat{i} - 14400\hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(\vec{E} = -10800\hat{i} - 14400\hat{j} \, \text{N/C}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge source \(q\) était positive au lieu de négative, la direction du vecteur champ électrique \(\vec{E}\) au point P serait :

Question 4 : Magnitude du champ électrique \(|\vec{E}|\)

Principe :

La magnitude est \(|\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}\) ou directement \(|\vec{E}| = k_e \frac{|q|}{r^2}\).

Données spécifiques :
  • \(E_x = -10800 \, \text{N/C}\)
  • \(E_y = -14400 \, \text{N/C}\)
  • Ou : \(|q| = 5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\), \(r = 0,05 \, \text{m}\), \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Calcul :

Méthode 1 (à partir des composantes) :

\[ \begin{aligned} |\vec{E}| &= \sqrt{(-10800)^2 + (-14400)^2} \, \text{N/C} \\ &= \sqrt{116640000 + 207360000} \, \text{N/C} \\ &= \sqrt{324000000} \, \text{N/C} \\ &= 18000 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Méthode 2 (directe) :

\[ \begin{aligned} |\vec{E}| &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(0,05 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{45}{0,0025} \, \text{N/C} \\ &= 18000 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La magnitude du champ électrique est \(|\vec{E}| = 18000 \, \text{N/C}\).

Question 5 : Angle du vecteur champ électrique \(\vec{E}\)

Principe :

L'angle \(\alpha\) que fait \(\vec{E}\) avec l'axe des x positifs est \(\alpha = \text{atan2}(E_y, E_x)\).

Données spécifiques :
  • \(E_x = -10800 \, \text{N/C}\)
  • \(E_y = -14400 \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan(\alpha') &= \frac{|E_y|}{|E_x|} \\ &= \frac{14400}{10800} = \frac{144}{108} = \frac{4}{3} \end{aligned} \]
\[ \alpha' = \arctan(4/3) \approx 53,13^{\circ} \]

Comme \(E_x < 0\) et \(E_y < 0\), le vecteur \(\vec{E}\) est dans le troisième quadrant. L'angle par rapport à l'axe des x positifs est \(\alpha = 180^{\circ} + \alpha' \approx 180^{\circ} + 53,13^{\circ} = 233,13^{\circ}\).

Alternativement, le vecteur \(\hat{u}_r = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\) fait un angle \(\arctan(0,8/0,6) = \arctan(4/3) \approx 53,13^{\circ}\) avec l'axe x. Puisque \(q < 0\), \(\vec{E}\) est opposé à \(\hat{u}_r\). Donc l'angle de \(\vec{E}\) est \(53,13^{\circ} + 180^{\circ} = 233,13^{\circ}\).

Résultat Question 5 : L'angle du champ électrique \(\vec{E}\) avec l'axe des x positifs est \(\alpha \approx 233,13^{\circ}\) (ou \(-126,87^{\circ}\)).

Question 6 : Force électrique \(\vec{F}\) sur \(q_0\)

Principe :

La force électrique est \(\vec{F} = q_0 \vec{E}\).

Données spécifiques :
  • \(q_0 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(\vec{E} = -10800\hat{i} - 14400\hat{j} \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F} &= (2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (-10800\hat{i} - 14400\hat{j} \, \text{N/C}) \\ &= (-21600\hat{i} - 28800\hat{j}) \times 10^{-9} \, \text{N} \\ &= -2,16 \times 10^{-5}\hat{i} - 2,88 \times 10^{-5}\hat{j} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : \(\vec{F} = -2,16 \times 10^{-5}\hat{i} - 2,88 \times 10^{-5}\hat{j} \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la charge test \(q_0\) était négative, la force \(\vec{F}\) sur elle serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le champ électrique créé par une charge ponctuelle négative en un point P :

2. La magnitude du champ électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est :

3. Si la distance à une charge ponctuelle est doublée, la magnitude du champ électrique :

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel créé par des charges électriques, décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : Newton par Coulomb (N/C) ou Volt par mètre (V/m).
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point par rapport aux distances impliquées.
Loi de Coulomb (pour le champ)
Le champ électrique \(\vec{E}\) créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}_r\), où \(\hat{u}_r\) est le vecteur unitaire dirigé de la charge vers le point d'observation.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité, \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Vecteur Unitaire (\(\hat{u}_r\))
Vecteur de norme (longueur) égale à 1, pointant dans la direction du vecteur \(\vec{r}\).
Force Électrique (\(\vec{F}\))
Force subie par une charge \(q_0\) dans un champ électrique \(\vec{E}\), donnée par \(\vec{F} = q_0\vec{E}\). Unité : Newton (N).
Nanocoulomb (nC)
Unité de charge électrique égale à \(10^{-9}\) coulombs.
Champ Électrique créé par Charge Ponctuelle

D’autres exercices d’électricité statique:

Vérification de la conservation de la charge
Vérification de la conservation de la charge

Exercice: Conservation de la Charge Vérification de la Conservation de la Charge Statique Contexte : L'Électricité StatiqueL'étude des charges électriques au repos et de leurs interactions. et le Transfert de Charge. Cet exercice explore le principe fondamental de la...

Fonctionnement d’un électroscope
Fonctionnement d’un électroscope

Le fonctionnement d'un électroscope pour la mesure de charge Le fonctionnement d'un électroscope pour la mesure de charge Contexte : Visualiser l'Invisible L'électroscope est l'un des plus anciens instruments de mesure électrique. Son principe est simple mais puissant...

Etapes du phénomène de la foudre
Etapes du phénomène de la foudre

Expliquer les étapes du phénomène de la foudre Expliquer les étapes du phénomène de la foudre Contexte : Une Giga-Étincelle Naturelle La foudre est l'un des phénomènes naturels les plus puissants et spectaculaires. Il s'agit d'une décharge électrostatique massive qui...

Vérification de la conservation de la charge
Vérification de la conservation de la charge

Exercice: Conservation de la Charge Vérification de la Conservation de la Charge Statique Contexte : L'Électricité StatiqueL'étude des charges électriques au repos et de leurs interactions. et le Transfert de Charge. Cet exercice explore le principe fondamental de la...

Fonctionnement d’un électroscope
Fonctionnement d’un électroscope

Le fonctionnement d'un électroscope pour la mesure de charge Le fonctionnement d'un électroscope pour la mesure de charge Contexte : Visualiser l'Invisible L'électroscope est l'un des plus anciens instruments de mesure électrique. Son principe est simple mais puissant...

Etapes du phénomène de la foudre
Etapes du phénomène de la foudre

Expliquer les étapes du phénomène de la foudre Expliquer les étapes du phénomène de la foudre Contexte : Une Giga-Étincelle Naturelle La foudre est l'un des phénomènes naturels les plus puissants et spectaculaires. Il s'agit d'une décharge électrostatique massive qui...

Calcul du travail des forces électrostatiques
Calcul du travail des forces électrostatiques

Physique : Calcul du travail des forces électrostatiques Calcul du travail des forces électrostatiques Contexte : L'Énergie d'un Déplacement Électrique Lorsqu'une charge électrique se déplace dans un champ électriqueRégion de l'espace où une charge électrique est...

Modélisation simplifiée d’un paratonnerre
Modélisation simplifiée d’un paratonnerre

Modélisation simplifiée d'un paratonnerre Modélisation simplifiée d'un paratonnerre Contexte : Le Pouvoir des Pointes Les orages génèrent d'immenses différences de potentiel entre les nuages et le sol, créant un champ électriqueRégion de l'espace où une charge...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *