Champ électrique créé par une charge ponctuelle

Comprendre le Champ Électrique d'une Charge Ponctuelle

Une charge ponctuelle \(q\) crée un champ électrique \(\vec{E}\) dans l'espace qui l'entoure. Ce champ est une propriété de la charge source et de l'espace ; il existe indépendamment de la présence d'autres charges. La force exercée sur une autre charge (charge test) placée dans ce champ est alors donnée par \(\vec{F} = q_{\text{test}} \vec{E}\). Le champ électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est donné par la loi de Coulomb pour le champ : \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}_r\), où \(\hat{u}_r\) est un vecteur unitaire pointant de la charge source vers le point où le champ est évalué. Cet exercice se concentre sur le calcul de ce champ vectoriel en un point donné.

Données de l'étude

On considère une charge ponctuelle \(q = -5,0 \, \text{nC}\) située à l'origine O \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\) d'un repère cartésien.

On souhaite calculer le champ électrique \(\vec{E}\) créé par cette charge au point P de coordonnées \((3,0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\).

Constante :

Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

Schéma : Charge Ponctuelle et Point P

Charge ponctuelle q à l'origine et point P où le champ est calculé.

Questions à traiter

Calculer le vecteur \(\vec{r}\) allant de la charge \(q\) au point P, ainsi que sa norme \(r\).
Déterminer le vecteur unitaire \(\hat{u}_r\) dirigé de la charge \(q\) vers le point P.
Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) créé par la charge \(q\) au point P.
Calculer la magnitude (norme) du champ électrique \(|\vec{E}|\) au point P.
Déterminer l'angle que fait le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) avec l'axe des x positifs.
Si une charge test \(q_0 = +2,0 \, \text{nC}\) est placée au point P, quelle est la force électrique \(\vec{F}\) exercée sur cette charge test ?

Correction : Champ Électrique Créé par une Charge Ponctuelle

Question 1 : Vecteur \(\vec{r}\) et norme \(r\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{r}\) va de la source (charge \(q\) à l'origine O) au point d'observation P. Si P a les coordonnées \((x_P, y_P)\), alors \(\vec{r} = x_P\hat{i} + y_P\hat{j}\). La norme est \(r = |\vec{r}| = \sqrt{x_P^2 + y_P^2}\).

Données spécifiques (converties en mètres) :

Position de P : \((3,0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\) \(\Rightarrow P(0,03 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\)

Calcul :

\begin{aligned} \vec{r} &= 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} r &= |\vec{r}| \\ &= \sqrt{(0,03 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0009 \, \text{m}^2 + 0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0025 \, \text{m}^2} \\ &= 0,05 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 :

\(\vec{r} = 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
\(r = 0,05 \, \text{m}\)

Question 2 : Vecteur unitaire \(\hat{u}_r\)

Principe :

Le vecteur unitaire \(\hat{u}_r\) est obtenu en divisant le vecteur \(\vec{r}\) par sa norme \(r\).

Formule(s) utilisée(s) :

\hat{u}_r = \frac{\vec{r}}{r}

Calcul :

\begin{aligned} \hat{u}_r &= \frac{0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}}{0,05 \, \text{m}} \\ &= \frac{0,03}{0,05}\hat{i} + \frac{0,04}{0,05}\hat{j} \\ &= 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j} \end{aligned}

Résultat Question 2 : \(\hat{u}_r = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\).

Question 3 : Vecteur champ électrique \(\vec{E}\) au point P

Principe :

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) est \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}_r\).

Données spécifiques :

\(q = -5,0 \, \text{nC} = -5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
\(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
\(r = 0,05 \, \text{m} \Rightarrow r^2 = 0,0025 \, \text{m}^2\)
\(\hat{u}_r = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\)

Calcul :

\begin{aligned} \vec{E} &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{-5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(0,05 \, \text{m})^2} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{-5,0 \times 10^{-9}}{0,0025} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= \frac{-45}{0,0025} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= -18000 (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= (-18000 \times 0,6)\hat{i} + (-18000 \times 0,8)\hat{j} \, \text{N/C} \\ &= -10800\hat{i} - 14400\hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned}

Résultat Question 3 : \(\vec{E} = -10800\hat{i} - 14400\hat{j} \, \text{N/C}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge source \(q\) était positive au lieu de négative, la direction du vecteur champ électrique \(\vec{E}\) au point P serait :

Dans la même direction que pour \(q < 0\).
Opposée à celle pour \(q < 0\) (c.-à-d. dans la direction de \(\hat{u}_r\)).
Perpendiculaire à celle pour \(q < 0\).
Nulle.

Question 4 : Magnitude du champ électrique \(|\vec{E}|\)

Principe :

La magnitude est \(|\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}\) ou directement \(|\vec{E}| = k_e \frac{|q|}{r^2}\).

Données spécifiques :

\(E_x = -10800 \, \text{N/C}\)
\(E_y = -14400 \, \text{N/C}\)
Ou : \(|q| = 5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\), \(r = 0,05 \, \text{m}\), \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

Calcul :

Méthode 1 (à partir des composantes) :

\begin{aligned} |\vec{E}| &= \sqrt{(-10800)^2 + (-14400)^2} \, \text{N/C} \\ &= \sqrt{116640000 + 207360000} \, \text{N/C} \\ &= \sqrt{324000000} \, \text{N/C} \\ &= 18000 \, \text{N/C} \end{aligned}

Méthode 2 (directe) :

\begin{aligned} |\vec{E}| &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(0,05 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{45}{0,0025} \, \text{N/C} \\ &= 18000 \, \text{N/C} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La magnitude du champ électrique est \(|\vec{E}| = 18000 \, \text{N/C}\).

Question 5 : Angle du vecteur champ électrique \(\vec{E}\)

Principe :

L'angle \(\alpha\) que fait \(\vec{E}\) avec l'axe des x positifs est \(\alpha = \text{atan2}(E_y, E_x)\).

Données spécifiques :

\(E_x = -10800 \, \text{N/C}\)
\(E_y = -14400 \, \text{N/C}\)

Calcul :

\begin{aligned} \tan(\alpha') &= \frac{|E_y|}{|E_x|} \\ &= \frac{14400}{10800} = \frac{144}{108} = \frac{4}{3} \end{aligned}

\alpha' = \arctan(4/3) \approx 53,13^{\circ}

Comme \(E_x < 0\) et \(E_y < 0\), le vecteur \(\vec{E}\) est dans le troisième quadrant. L'angle par rapport à l'axe des x positifs est \(\alpha = 180^{\circ} + \alpha' \approx 180^{\circ} + 53,13^{\circ} = 233,13^{\circ}\).

Alternativement, le vecteur \(\hat{u}_r = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\) fait un angle \(\arctan(0,8/0,6) = \arctan(4/3) \approx 53,13^{\circ}\) avec l'axe x. Puisque \(q < 0\), \(\vec{E}\) est opposé à \(\hat{u}_r\). Donc l'angle de \(\vec{E}\) est \(53,13^{\circ} + 180^{\circ} = 233,13^{\circ}\).

Résultat Question 5 : L'angle du champ électrique \(\vec{E}\) avec l'axe des x positifs est \(\alpha \approx 233,13^{\circ}\) (ou \(-126,87^{\circ}\)).

Question 6 : Force électrique \(\vec{F}\) sur \(q_0\)

Principe :

La force électrique est \(\vec{F} = q_0 \vec{E}\).

Données spécifiques :

\(q_0 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
\(\vec{E} = -10800\hat{i} - 14400\hat{j} \, \text{N/C}\)

Calcul :

\begin{aligned} \vec{F} &= (2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (-10800\hat{i} - 14400\hat{j} \, \text{N/C}) \\ &= (-21600\hat{i} - 28800\hat{j}) \times 10^{-9} \, \text{N} \\ &= -2,16 \times 10^{-5}\hat{i} - 2,88 \times 10^{-5}\hat{j} \, \text{N} \end{aligned}

Résultat Question 6 : \(\vec{F} = -2,16 \times 10^{-5}\hat{i} - 2,88 \times 10^{-5}\hat{j} \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la charge test \(q_0\) était négative, la force \(\vec{F}\) sur elle serait :

Dans la même direction que \(\vec{E}\).
Dans la direction opposée à \(\vec{E}\).
Perpendiculaire à \(\vec{E}\).
Nulle.

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\)): Champ vectoriel créé par des charges électriques, décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : Newton par Coulomb (N/C) ou Volt par mètre (V/m).
Charge Ponctuelle: Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point par rapport aux distances impliquées.
Loi de Coulomb (pour le champ): Le champ électrique \(\vec{E}\) créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}_r\), où \(\hat{u}_r\) est le vecteur unitaire dirigé de la charge vers le point d'observation.
Constante de Coulomb (\(k_e\)): Constante de proportionnalité, \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Vecteur Unitaire (\(\hat{u}_r\)): Vecteur de norme (longueur) égale à 1, pointant dans la direction du vecteur \(\vec{r}\).
Force Électrique (\(\vec{F}\)): Force subie par une charge \(q_0\) dans un champ électrique \(\vec{E}\), donnée par \(\vec{F} = q_0\vec{E}\). Unité : Newton (N).
Nanocoulomb (nC): Unité de charge électrique égale à \(10^{-9}\) coulombs.

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