Champ Électrique en Utilisant la Superposition

Principe :

Un vecteur position \(\vec{r}_{XY}\) allant d'un point X\((x_X, y_X)\) à un point Y\((x_Y, y_Y)\) a pour composantes \((x_Y - x_X ; y_Y - y_X)\). Le module d'un vecteur \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) est \(||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).

Coordonnées : A\((-3 \, \text{cm} ; 0 \, \text{cm})\), B\((3 \, \text{cm} ; 0 \, \text{cm})\), P\((0 \, \text{cm} ; 4 \, \text{cm})\).

Conversion en mètres : A\((-0.03 \, \text{m} ; 0 \, \text{m})\), B\((0.03 \, \text{m} ; 0 \, \text{m})\), P\((0 \, \text{m} ; 0.04 \, \text{m})\).

Calcul pour \(\vec{r}_{AP}\) et \(r_{AP}\) :

Calcul pour \(\vec{r}_{BP}\) et \(r_{BP}\) :

Principe :

Le champ électrique \(\vec{E}\) créé par une charge ponctuelle \(q\) en un point M situé à une distance \(r\) de la charge est donné par \(\vec{E} = k \frac{q}{r^3} \vec{r}\), où \(\vec{r}\) est le vecteur position de la charge vers le point M.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q_A = +4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
• \(\vec{r}_{AP} = (0.03 \, \text{m}) \vec{i} + (0.04 \, \text{m}) \vec{j}\)
• \(r_{AP} = 0.05 \, \text{m}\)
• \(k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

Calcul des composantes de \(\vec{E}_1\) :

Calculons d'abord le facteur \( F_1 = k \frac{q_A}{r_{AP}^3} \) :

Ensuite, \(\vec{E}_1 = F_1 \times \vec{r}_{AP}\) :

Donc, \(\vec{E}_1 = (8.64 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{i} + (11.52 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{j}\).

Calcul du module \(E_1\) :

Vérification : \(E_1 = \sqrt{(8.64 \times 10^6)^2 + (11.52 \times 10^6)^2} = \sqrt{74.6496 \times 10^{12} + 132.7104 \times 10^{12}} = \sqrt{207.36 \times 10^{12}} = 14.4 \times 10^6 \, \text{N/C}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q_B = -4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
• \(\vec{r}_{BP} = (-0.03 \, \text{m}) \vec{i} + (0.04 \, \text{m}) \vec{j}\)
• \(r_{BP} = 0.05 \, \text{m}\)

Calcul des composantes de \(\vec{E}_2\) :

Calculons d'abord le facteur \( F_2 = k \frac{q_B}{r_{BP}^3} \) :

Ensuite, \(\vec{E}_2 = F_2 \times \vec{r}_{BP}\) :

Donc, \(\vec{E}_2 = (8.64 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{i} - (11.52 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{j}\).

Calcul du module \(E_2\) :

Vérification : \(E_2 = \sqrt{(8.64 \times 10^6)^2 + (-11.52 \times 10^6)^2} = 14.4 \times 10^6 \, \text{N/C}\).

Principe :

Le principe de superposition stipule que le champ électrique total en un point est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge individuelle.

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul des composantes de \(\vec{E}_P\) :

Principe :

Le module d'un vecteur \(\vec{V} = V_x \vec{i} + V_y \vec{j}\) est \(||\vec{V}|| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}\). L'angle \(\alpha\) qu'il fait avec l'axe Ox est tel que \(\tan(\alpha) = V_y / V_x\).

Calcul du module \(E_P\) :

Calcul de l'angle \(\alpha_P\) :

Puisque \(E_{Py} = 0\) et \(E_{Px} > 0\), le vecteur \(\vec{E}_P\) est dirigé le long de l'axe des abscisses positives.

Cela implique que \(\alpha_P = 0^\circ\) (ou \(0\) radians) par rapport à l'axe Ox positif.