Champ Magnétique Variable sur une Plaque

1. Force électromotrice induite E(t)

La f.e.m. autour d’un contour fermé est donnée par la loi de Faraday :

\[ \mathcal{E}(t)= -\frac{\mathrm{d}\Phi(t)}{\mathrm{d}t},\qquad \Phi(t)=B(t)\,A \]

où \(\Phi(t)\) est le flux magnétique traversant la surface de la plaque, \(A\) son aire et \(B(t)\) le champ appliqué.

Formule

\[ \mathcal{E}(t)= -A\,\frac{\mathrm{d}B(t)}{\mathrm{d}t} \]

avec \(B(t)=B_0\sin(\omega t)\).

Données

• Longueur : \(L = 0,5\,\text{m}\)
• Largeur : \(W = 0,3\,\text{m}\)
• Aire de la plaque : \(A = L\times W = 0,5 \times 0,3 = 0,15\,\text{m}^2\)
• Amplitude du champ : \(B_0 = 0,05\,\text{T}\)
• Pulsation : \(\omega = 300\,\text{rad·s}^{-1}\)

Calcul

\[ \frac{\mathrm{d}B(t)}{\mathrm{d}t}=B_0\omega\cos(\omega t) \]

\[ \mathcal{E}(t)= -A\bigl(B_0\omega\cos(\omega t)\bigr)\] \[ \mathcal{E}(t)= -\bigl(0,15\bigr)\bigl(0,05\bigr)\bigl(300\bigr)\cos(300\,t) \]

\[ \;\mathcal{E}(t)= -2,25\cos(300\,t)\ \text{V}\; \]

L’amplitude (valeur maximale) de la f.e.m. est donc \[ \mathcal{E}_\text{max} = 2,25\ \text{V}. \]

2. Courant surfacique \(\vec K(t)\)

La loi d’Ohm locale dans un conducteur donne la densité de courant volumique \(\vec J=\sigma\vec E\). Pour une plaque mince, on assimile le courant surfacique \(\vec K\) (A·m⁻¹) à la projection de \(\vec J\) dans le plan ; on supposera ici le champ interne uniforme sur l’épaisseur.

L’intensité du champ électrique induit moyen est la f.e.m. divisée par le périmètre, car \(\oint\vec E\cdot\mathrm d\vec l=\mathcal{E}(t)\).

Formule

\[ \vec K(t) = \sigma\,\frac{\mathcal{E}(t)}{P}\;\hat u_{\parallel} \]

où \(P=2(L+W)\) est le périmètre et \(\hat u_{\parallel}\) la direction tangentielle au bord.

Données

• Conductivité : \(\sigma = 5,8\times10^{7}\,\text{S·m}^{-1}\)
• Périmètre : \(P = 2(L+W)=2(0,5+0,3)=1,6\,\text{m}\)

Calculs

Valeur crête du champ électrique moyen :

\[ E_{\text{max}}=\frac{\mathcal{E}_{\text{max}}}{P} \] \[ E_{\text{max}} = \frac{2,25}{1,6} \] \[ E_{\text{max}} = 1,406\,25\ \text{V·m}^{-1} \]

Courant surfacique crête :

\[ K_{\text{max}}=\sigma E_{\text{max}} \] \[ K_{\text{max}} = \bigl(5,8\times10^{7}\bigr)\bigl(1,406\,25\bigr)\] \[ K_{\text{max}} = 8,156\,25\times10^{7}\ \text{A·m}^{-2} \]

soit

\[ \;K_{\text{max}} \simeq 8,16\times10^{7}\ \text{A·m}^{-2}\; \]

Expression temporelle :

\[ \;\vec K(t)=K_{\text{max}}\cos(300\,t)\,\hat u_{\parallel}\; \]

Remarque : Sans l’épaisseur \(e\) de la plaque, on assimile \(\vec K\) à \(\vec J\). Si \(e\) était connu, on écrirait \(\vec K=e\,\vec J\).

3. Effet d’une charge positive initiale sur \(\sigma\)

Calcul (conceptuel) de la nouvelle répartition de charge

L’équation de continuité : \( \nabla_{\!s}\!\cdot\vec K + \frac{\partial \sigma}{\partial t}=0 \) couple courant surfacique et densité de charge surfacique.

Une charge positive initiale uniforme \(\sigma_0>0\) se superpose à la charge induite \(\sigma_{\text{ind}}(t)\) créée par les courants tourbillonnants.

Formule

\[ \sigma(t,\vec r)=\sigma_0+\sigma_{\text{ind}}(t,\vec r) \]

Données

• \(\sigma_0\) uniforme, signe +
• \(\vec K(t)\) obtenu question 2

Discussion

Les courants induits génèrent des concentrations de charge aux bords ; celles‑ci oscillent en phase avec \(\cos(\omega t)\).

La présence de \(\sigma_0>0\) décale simplement la référence : les zones déjà positives deviennent encore plus chargées lorsque \(\sigma_{\text{ind}}>0\) et restent positives (mais moins) lorsque \(\sigma_{\text{ind}}<0\).

Aucun renversement de signe ne peut apparaître tant que \(|\sigma_{\text{ind}}|<\sigma_0\).

Spatialement, le gradient de \(\sigma(t)\) reste gouverné par \(\nabla_{\!s}\!\cdot\vec K\) ; seul le niveau de base est relevé par \(\sigma_0\).

4. Influence d’une augmentation de \(\omega\)

Calcul de l’effet sur les grandeurs induites

La f.e.m. crête est proportionnelle à \(\omega\) : \(\mathcal{E}_{\text{max}}=A B_0 \omega\).

Le courant surfacique crête suit directement : \(K_{\text{max}}\propto \omega\).

En conducteurs réels, l’augmentation de \(\omega\) réduit la profondeur de peau \(\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu\sigma\omega}}\), concentrant le courant plus près de la surface.

Formule

\[ \mathcal{E}'_{\text{max}}=\mathcal{E}_{\text{max}}\frac{\omega'}{\omega} \quad;\quad K'_{\text{max}}=K_{\text{max}}\frac{\omega'}{\omega} \]

Données

• \(\omega=300\,\text{rad·s}^{-1}\) initial
• Nouvelle pulsation \(\omega'>\omega\) (valeur non précisée)

Prédiction qualitative

Doublement de \(\omega\) → doublement de \(\mathcal{E}_{\text{max}}\) et de \(K_{\text{max}}\).

Réduction de \(\delta\) d’un facteur \(1/\sqrt{2}\) : le courant se concentre d’autant plus à la surface, augmentant les pertes ohmiques (effet Joule) et la susceptibilité à l’échauffement.

Conclusion : augmenter la fréquence renforce l’amplitude du courant induit mais limite la pénétration et accroît les effets de peau.