Champ Magnétique Variable sur une Plaque
Comprendre le Champ Magnétique Variable sur une Plaque
Dans une étude sur les interactions électromagnétiques dans les matériaux composites utilisés dans l’aviation, il est nécessaire d’analyser la distribution des charges et des courants surfaciques sur une plaque métallique exposée à un champ électromagnétique variable.
La plaque, de forme rectangulaire, est placée dans un champ magnétique perpendiculaire et variable avec le temps, induisant des courants selon la loi de Faraday.
Pour comprendre le Calcul de la Densité Surfacique de Courant, cliquez sur le lien.
Données:
- Dimensions de la plaque : longueur \( L = 0.5 \, \text{m} \), largeur \( W = 0.3 \, \text{m} \).
- Champ magnétique \( \vec{B}(t) \) perpendiculaire à la plaque et variant selon \( B(t) = B_0 \sin(\omega t) \), où \( B_0 = 0.05 \, \text{T} \) et \( \omega = 300 \, \text{rad/s} \).
Objectif:
Déterminer les charges surfaciques (\(\sigma\)) et les courants surfaciques (\(\vec{K}\)) induits sur la plaque.
Questions:
1. Calculer la force électromotrice (f.e.m.) induite (\(\mathcal{E}\)) autour du périmètre de la plaque due à la variation du champ magnétique.
2. Utiliser la loi d’Ohm pour les surfaces (\(\vec{J} = \sigma \vec{E}\)) pour déterminer le courant surfacique (\(\vec{K}\)) si la conductivité de la plaque est \( \sigma = 5.8 \times 10^7 \, \text{S/m}\).
3. Décrire comment la distribution des charges surfaciques (\(\sigma\)) serait affectée si la plaque était initialement chargée positivement.
4. Prévoir l’effet de l’augmentation de la fréquence d’oscillation du champ magnétique (\(\omega\)) sur le courant induit.
Correction : Champ Magnétique Variable sur une Plaque
1. Calcul de la f.e.m. induite (\( \mathcal{E} \))
La formule générale pour la f.e.m. induite est :
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} \]
où \( \Phi \) est le flux magnétique à travers la surface de la plaque. Le flux \( \Phi \) est donné par :
\[ \Phi = B(t) \cdot A = B_0 \sin(\omega t) \cdot L \cdot W \]
Substituons les valeurs données :
- \( B_0 = 0.05 \, \text{T} \)
- \( L = 0.5 \, \text{m} \)
- \( W = 0.3 \, \text{m} \)
- \( \omega = 300 \, \text{rad/s} \)
Calculons \( \Phi \) :
\[ \Phi = 0.05 \sin(300 t) \cdot 0.5 \cdot 0.3 \] \[ \Phi = 0.0075 \sin(300 t) \, \text{Wb} \quad (\text{Weber}) \]
La dérivée de \( \Phi \) par rapport au temps \( t \) est :
\[ \frac{d\Phi}{dt} = 0.0075 \cdot 300 \cos(300 t) = 2.25 \cos(300 t) \, \text{Wb/s} \]
La f.e.m. induite est donc :
\[ \mathcal{E} = -2.25 \cos(300 t) \, \text{V} \quad (\text{Volts}) \]
2. Calcul du courant surfacique (\( \vec{K} \))
D’abord, calculons le périmètre \( P \) de la plaque :
\[ P = 2(L + W) \] \[ P = 2(0.5 + 0.3) \] \[ P = 1.6 \, \text{m} \]
Le champ électrique induit (\( \vec{E} \)) le long de la plaque est :
\[ |\vec{E}| = \frac{|-2.25 \cos(300 t)|}{1.6} \] \[ |\vec{E}| \approx 1.40625 \cos(300 t) \, \text{V/m} \]
La conductivité \( \sigma \) est donnée comme \( 5.8 \times 10^7 \, \text{S/m} \). Le courant surfacique \( \vec{K} \) est alors :
\[ \vec{K} = \sigma \vec{E} = 5.8 \times 10^7 \cdot 1.40625 \cos(300 t) \] \[ \vec{K} \approx 8.15625 \times 10^7 \cos(300 t) \, \text{A/m}^2 \]
3. Distribution des charges surfaciques (\( \sigma \))
Les charges surfaciques initialement positives seront redistribuées en réponse à ce champ électrique induit.
Les extrémités de la plaque pourraient avoir une accumulation de charges négatives due à l’attraction opposée par le champ électrique.
4. Effet de l’augmentation de \( \omega \)
Si \( \omega \) augmente :
- La variation de \( B(t) \) est plus rapide, ce qui augmente la rapidité des changements de \( \mathcal{E} \) et donc de \( \vec{K} \).
- Cela pourrait augmenter la dissipation d’énergie et affecter les propriétés matérielles de la plaque si les fréquences sont suffisamment élevées.
Champ Magnétique Variable sur une Plaque
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